第七章 量纲分析与相似理论

第七章量纲分析与相似理论第一页，共二十七页，2022年，8月28日§7-1量纲分析

一、量纲与单位1.单位：表征各物理量的大小。

如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等2.量纲：表征各物理量单位的种类。

如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。第二页，共二十七页，2022年，8月28日3.基本量纲和导出量纲（1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。

长度量纲质量量纲时间量纲（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量纲的指数乘积来表示。力粘度

速度第三页，共二十七页，2022年，8月28日4.量纲分类

（1）几何学量纲：

（2）运动学量纲：

（3）动力学量纲：

（4）无量纲数：

第四页，共二十七页，2022年，8月28日二、量纲和谐性原理1.量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。连续性方程

伯诺里方程

2.在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。

动量方程

第五页，共二十七页，2022年，8月28日三、量纲分析法量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。瑞利法若某一物理过程与个物理量有关，即

其中一个物理量可以表示成其它物理量的指数乘积形式

无量纲数

待定系数

第六页，共二十七页，2022年，8月28日例7-1已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力，与物体的质量、速度和圆周半径有关，试用瑞利法推导离心力公式。[解]根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据量纲和谐性，有

第七页，共二十七页，2022年，8月28日例7-2由实验得知：恒定有压管流的临界流速与管径、流体密度和粘度有关，试用瑞利法求出它们之间的关系式。[解]根据已知条件，有以下待定函数关系根据量纲和谐性有

第八页，共二十七页，2022年，8月28日2.定理法

(布金汉法)

若物理方程为

而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n–m)个无量纲π数的函数关系，即…这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征第九页，共二十七页，2022年，8月28日必须相互独立

表征流体物性：密度、粘度等

表征几何特性:管径、管长等

表征运动特性：速度、重力加速度等

第十页，共二十七页，2022年，8月28日定理法的运用步骤：

（1）找出对物理过程有影响的个物理量，写成函数形式。所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立因素（2）选出个相互独立的基本量，一般取个（4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数、、。

（3）将个基本量依次与其余量组成个无量纲项

（5）写出描述该物理过程的关系式

第十一页，共二十七页，2022年，8月28日例7-3已知圆球的绕流阻力与流体的密度和粘度、圆球的直径、来流的流速相关，试用定理推导绕流阻力公式。[解]（1）建立函数关系式

（2）选取、、为三个基本量，求各项。

第十二页，共二十七页，2022年，8月28日根据量纲和谐性原理

同理

（3）写出无量纲方程

第十三页，共二十七页，2022年，8月28日例7-4根据实验，某气体管流现象的物理方程为

压强损失：

气体密度：

流速：

动力粘度：

管径：

管长：

管壁粗糙度：

试用定理推导气体管路压强损失公式。[解]

（1）取、、作为三个基本量，求各项

第十四页，共二十七页，2022年，8月28日（2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为（3）写出无量纲方程

第十五页，共二十七页，2022年，8月28日§7-2相似的基本概念一、几何相似模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。长度比尺

面积比尺

体积比尺

第十六页，共二十七页，2022年，8月28日二、运动相似

两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

时间比尺

重力加速度比尺

第十七页，共二十七页，2022年，8月28日三、动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

第十八页，共二十七页，2022年，8月28日四、初始条件和边界条件相似1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。几何相似是运动相似和动力相似的前提；动力相似是决定流动相似的主要因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现。第十九页，共二十七页，2022年，8月28日§7-3相似准则

1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。一、牛顿相似准则

2.牛顿相似准则惯性力比尺

力的比尺

牛顿数

牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件

第二十页，共二十七页，2022年，8月28日二、动力相似准则

1.雷诺准则（粘性力准则）粘性力比尺

雷诺数

雷诺准则：粘性力起主要作用。第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日2.佛汝德准则（重力准则）重力比尺

佛汝德数

佛如德准则：重力起主要作用。第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日3.欧拉准则（压力准则）压力比尺

欧拉数

欧拉准则：动压力起主要作用。第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日4.其它准则韦伯准则（表面张力准则）

柯西准则（弹性力准则）马赫准则（弹性力准则）韦伯数

柯西数

马赫数

水击、水流诱发振动超音速气流小规模流动，表面张力显著第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日例7-5一潜艇长为L＝78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。

解：实验应按佛汝德准则进行。已知船模长度：实艇水面航速为：故实验时船模的拖曳速度为：第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日

例7-6已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差，试求100m长的输油管两端的压强差？解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则因，上式可简化为第二十六页，共二十七页，2022年，8月28日流量比尺，所以模型中水的流量为（2）流动的压降满足欧拉准则

因，则5m长输油管两端的压强差为