第七章 第三节 三重积分

第七章第三节三重积分第一页，共二十七页，2022年，8月28日一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为机动目录上页下页返回结束第二页，共二十七页，2022年，8月28日定义.设存在,称为体积微元,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作机动目录上页下页返回结束第三页，共二十七页，2022年，8月28日二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束第四页，共二十七页，2022年，8月28日方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束第五页，共二十七页，2022年，8月28日方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束第六页，共二十七页，2022年，8月28日投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束第七页，共二十七页，2022年，8月28日当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动目录上页下页返回结束第八页，共二十七页，2022年，8月28日小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动目录上页下页返回结束第九页，共二十七页，2022年，8月28日其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面机动目录上页下页返回结束第十页，共二十七页，2022年，8月28日例2.

计算三重积分解:

用“先二后一”机动目录上页下页返回结束第十一页，共二十七页，2022年，8月28日2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束第十二页，共二十七页，2022年，8月28日如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束第十三页，共二十七页，2022年，8月28日其中为由例3.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束第十四页，共二十七页，2022年，8月28日例4.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束第十五页，共二十七页，2022年，8月28日3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动目录上页下页返回结束第十六页，共二十七页，2022年，8月28日如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束第十七页，共二十七页，2022年，8月28日例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面机动目录上页下页返回结束第十八页，共二十七页，2022年，8月28日例6.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz

机动目录上页下页返回结束第十九页，共二十七页，2022年，8月28日内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束第二十页，共二十七页，2022年，8月28日1.

计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.机动目录上页下页返回结束思考与练习第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日2.计算其中解:利用对称性机动目录上页下页返回结束第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且