第一节重积分的概念及其性质

第一节重积分的概念及其性质第一页，共三十七页，2022年，8月28日重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质

第十章

第二页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”第三页，共三十七页，2022年，8月28日重积分1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第四页，共三十七页，2022年，8月28日重积分4)“取极限”令第五页，共三十七页，2022年，8月28日重积分2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.第六页，共三十七页，2022年，8月28日重积分2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量第七页，共三十七页，2022年，8月28日重积分两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第八页，共三十七页，2022年，8月28日重积分二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,第九页，共三十七页，2022年，8月28日重积分引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作这时第十页，共三十七页，2022年，8月28日重积分定理1.二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.第十一页，共三十七页，2022年，8月28日重积分三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则第十二页，共三十七页，2022年，8月28日重积分特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有第十三页，共三十七页，2022年，8月28日重积分7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此第十四页，共三十七页，2022年，8月28日重积分8.

设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有第十五页，共三十七页，2022年，8月28日重积分例1.

比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上第十六页，共三十七页，2022年，8月28日重积分例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项第十七页，共三十七页，2022年，8月28日重积分例3.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D第十八页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解第十九页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解第二十页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日重积分设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的四、曲顶柱体体积的计算第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日重积分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为例1.

求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日重积分内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日重积分被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日重积分的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有2.设D

是第二象限的一个有界闭域，且0<y<1，则第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日重积分解:3.计算第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日重积分其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.4.证明:第三十页，共三十七页，2022年，8月28日重积分例5计算其中为圆心在坐标原点，半径为的圆所围成的园盘区域。解由于被积函数在园盘D上连续，D的面积为。由二重积分的积分中值定理知，在D内存在点使当时于是，所求的极限为第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日重积分其中则√(2005考研（三）4分)例6

设第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日重积分如图，正方形被其对角线划分为四个区域则(A);(B);(C);(D)A[2009考研一]第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日重积分设区域为上的正值连续函数，为常数，则(A);(B)