2015年全国中考数学试卷解析分类汇编第三期专题26图形的相似与位似

（2015•宁德第8题4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ 考点：分析：直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．解答：解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，B．点评：（2015•甘南州第7题4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ m=5B．m=4C．m=3D．OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可．解答：解：∵AB∥CD，又∵EAB解得m=4．（2015•93分）如图，D、E分别是△ABCAB、BC上的点，DE∥AC B C D D．（2015•酒泉第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ BPE∽△CDPy与x的函数关系式，根据函数的CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，又∵直角△BPE∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．C．y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．（2015，广西柳州，12，3分）如图，G，EABCDAB，BC①BE=其中，正确的结论有 1个 B．2个 C．3个 D．4个 ②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBEECH解答：ABCD在△GAE和△CEF中∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；2个．（2015，广西钦州，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于 分析：B作BE∥ACADEBE∥ACAD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BADBE=AB，等量代换即可证．解答：BBE∥ACAD又∵AD点评：此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键7（2015•A（﹣4，2，B（﹣6，﹣4，O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ A（﹣2，1） B．（﹣8，4） 考点：k，那么位似图形对应k或﹣k，即可求得答案．A（﹣4，2，B（﹣6，﹣4，（﹣2，1）（2，﹣1点评：此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．（2015•FBCEFAD，CDG，H A．=B．=C．=D．分析：根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．解答：解：∵ABCD是平行四边形，C．（2015•内呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的 考点：几何变换的类型．分析：开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意A．解答：点评：（2015•内呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′ B．C．1 考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质．专题：A′BAA′就可以了．解答：解：设BCA′C′E，A．点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过（2015•青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，解答：ABCDA．点评：出△DEF∽△BCF（2015•省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面 B．： 考点：分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．解答：解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9．点评：（5，6B（7，2再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标 A（2，3） 考点：位似变换；坐标与图形变化-平移．专题：几何变换．A点平移后的对应点的坐标为（4，6，然后根据在平面直角坐标系kk或﹣k求解．解答：AB∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6，（2，3A．k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣14（2015• B．EF= D．AD平分考点：分析：解答：解：AD、E、F分别为△ABCBA选项的思路可知，B∴AD不平分∠BAC，C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三15（4（2015•（ A．1：2B．2：1C．1：4D．解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，，16（4（2015•（（0，2，PMN（n，0m=时，n的值为 A． B． ﹣4C．﹣D．分析：先根据已知条件得出△PDEPF⊥DE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM∽△PON，利用∵AB=3，△PDEDEy轴建立直角坐标系，∵△PDEy∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x ﹣ FM的长是解答此17.（2015•103）如图，在钝角△ABCABAC为斜边向△ABCN，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A1个B2C．3D．4分析：①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN；EMD≌△DNFDE=DF．DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°DE⊥DF．∵DBC中点，NAC∴DN是△ABC∵ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEBAB∴MAB∴∴S△CDN=S四边形∴结论②正确；∵DBC中点，MAB∴DM是△ABC∵ACF是等腰直角三角形，NAC∴AMDN又在△EMD和△DNF，∴∵ABE是等腰直角三角形，EM平分∴MAB∴∵DBC中点，MAB∴DM是△ABC∵ACF是等腰直角三角形，NAC 在△EMD和△∠EAF又∴∴4个：①②③④．（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，45°，而高又为内切圆的直径．（2015•辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO= ，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2 时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．当 时，PQ∥EF；P、QOP′、Q′P′Q′EF有公共点时，t的取值范围是＜t≤1且t≠考点：分析：（1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBAP′Q′EF（1） （2）∵ABAB∴△FBA∴当PO=OA=时，此时Q′与F重合，A与P′重合∴PA=2，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，故当t的取值范围是：0＜t≤1，由（1）得，t≠．故答案为：0＜t≤1且t≠点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系t的最值是解题关键．（2015•辽宁省盘锦,143分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3DABACD=∠B，则线段AD的长 考点：分析：由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求AD的值．解答：∴=点评：（2015•辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是 考点：分析：根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得△ODC是等腰三角形，先根据等腰直角AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角BMM的坐标．解答：解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=在Rt△BAC中，BC=在Rt△OAC中 Rt△OAD解得AD=2﹣ 在Rt△BAD中，BD==21，△BMC∽△CDOMMF⊥AB 解得BM=，∵MF⊥AB，CAOB 解得BF=1，MF=﹣1，∴点M的坐标是（1，2，△BCM∽△CDOMMF⊥AB 解得BM=2 ∵MF⊥AB，CAOB ， ∴点M的坐标是（﹣，综上所述，点M的坐标是（1， （1， 点评：考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂BM（2015•山西,第15题3分）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DCB，CEF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm．考点：分析：分别过点AAM⊥BFMFFN⊥ABNBN的长，再利解答：AAM⊥BFMFFN⊥AB=7（cm故点A到地面的距离是：+4= 点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA是解题关（2015•E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为3.6 考点：分析：根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．解答：解：∵AD=3，DB=2，∴∴点评：本题考查了相似三角形的性质和判定关键是求出相似后得出比例式题目比较典型难度适中．6（2015•湖南张家界，第12题3分）如图，在△ABC中，已知DE∥BC，，则△ADE与△ABC的面积比为4：25 ADE∽△ABC，然后根据面积比为相似比的平方求解．解答：解：在△ABC中，∵7（2015•AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 专题：应用题．ABE∽△ACDCD的值．解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴E 8（2015对应边的高之比

ABC与

4:1，则ABC与解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△ 的相似比为4∴△ABCDEF4：1，故答案为：4：1．9（4（2015• ∵∴（2015，广西柳州，18，3分）EFGH内接于△ABCFGBCBC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．EH=3xEFAD﹣EFAEHEHAEH与三角ABCxEH的长．解答：EFGH则EH=．故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解O256的正方形OABCOA1OA2

21

2

n 的边长为正方形OABC边长的倒数，则 解答：=点评：12（2015•如果S△DEF=a，那么S△BCF= AD∥BC和△EFD∽△CFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平解答：ABCD∵EAD（2015•黑龙江省大庆,279分）ABCD内接于⊙O，AD∥BC，PBD（2）专题：证明题．分析：（1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出=，进而得出答案（1）∵AD∥BC，BD2=AB2+AD•BC．（2015•辽宁省盘锦,2312分）1，AB为⊙OPABCD⊥ABPBADF若CD=2，BP=4，求⊙O的半径BF是⊙OPOA作⊙OBCE，在其它条件不变的情况AEBF2中补全图象并证明你的结论．考点：分析：（1）PCOCAE=BF，AE∥BFAEBF是平行四边形．解答：（1）解：CD⊥AB， OC，设⊙OrPO=PB﹣r=4﹣r，RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即 （2）BF是⊙O（3）AEBF2所示：∵CD⊥ABPO∵AE是⊙O∴OC是△ABE∴OD是△ABFAEBF点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，（2015•⊥lA，交⊙OP，OA=5，AB与⊙OB，BPl若PC=2，求⊙O的半径考点：分析：（1）OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠（2）AP交⊙ODBDrOP=OB=r，PA=5﹣rAB=AC 解答：证明：（1）1OB．∵AB切⊙O（2）2AP交⊙ODAB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，∵PD ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直（2015•2512）如图，AB、CD为⊙OAE∥CDBECDF，过E作直线EPCDP，使∠PED=∠C．求证：PE是⊙O求证：ED平分若⊙O5，CF=2EFPD（1）OEPE是⊙OOE⊥PEPF=，即可求得PD的长解答：（1）∵CDO又∵E∴PE是⊙O证明：∵AB、CD为⊙OED平分解：设EF=x∵⊙Ox=4，∵AB为⊙O（2015•226）1画出△ABC65B为位似中心，将△ABC2倍，得到△A2B2C2-位似变换；作图-分析：（1）根据三角形的面积求出即可．（1）如图所示：；；△CC1C2的面积为点评：本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积的应用，能根据性质的特点进行画图是（2015•2810）Rt△AOBOA、xyOA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线x轴于点CCABDyE．AB求直线CEMBCPA、B、M、P为顶点的四边形是P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）OAOBABOCCCD⊥ABABCE的解析式；（3）MAABBCMABPMAPBM（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，在直角△AOB中，AB==在△OBC和△DBC，∵△ACD和△ABOOC=3C的坐标是（﹣3，0ABy=kx+b，根据题意得则直线AB的解析式是y=设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；设直线BC的解析式是y=nx+d，则解得：BC设经过A且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x+e，则+e=0，解得：e=﹣，则过A且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x﹣．根据题意得 解得 M的坐标是（﹣5，﹣4当四边形ABPM是矩形时，同理求得过B且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x+6，过M且与直线AB平行的直线的解析式是y=x+． 解得 则P的坐标是（，（﹣4，3（e，f则P的坐标是（﹣，M的坐标是本题的关键．（2015•218）已知：如图，在△ABC中，AB=ACAC为直径的⊙OABMBCNAN,CABAM （1）AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB∠PBC=∠AMNBPC∽△MNA，即可得到结论．（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠NAC+∴∠BAN=∵PC是⊙O∴∠ACN+∴∠BCP=∴∠BCP=∠BAN（2∴∠ABC=∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∴∠PBC=∠AMN由（1）知∠BCP=∠BAN∴AMCB 38（20153

x2

xB两点（点AB的左侧yWCxD求直线BCE（m，0，F（m+2，0）

，F，交BC于点M，N，当MENF的值最大时，在y轴上找一点R，使得RF RRF2xP

3P3

x使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为QPG，设QPG与△ADC的 部分面积为s，当点Q到x轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。（1）（2）E′、FE′M、F′N，用二次函数的顶点坐标求出当m=3时，ME′+NFE′、FE′FR在直E′Fy轴的交点时，|RF′﹣RE′|R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最（3）分类讨论Q点在∠CAB的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC 的部分面积为S．解答：y⑵E'M

3x3333m23m (3m63)3m223m333 F'N

3m23mEMFN

3m233m323m

32(3

3EMFN2此E'(3,153)F'(57 ∴E'F':y

3x274，∴R(0，4

3),RF'RE

⑶由题意，Q点在CAB的角平分①Q点在CAB的角平分3Q'MQ'N ,CW3

93，RN2

93323△CRN∽△CWOCN23 =42S131320

3110 MMQC ②Q点在CAB的外角平分△Q’RN∽△WCO，故QR，故

93RM2313

93323Rt△Q’MP’AM

3QM3，故CPMP'CM3

313Rt△CP’SPS

3CP

311S76311

yyCWGGNQMSCP'DPBxR9（12（2015•CD⊥xPxCD上的一点，且△OCP与△OBCPy=﹣2x+4C、BOC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，P的双曲线解析式．解答：y=﹣2x+4C、BC（2，0，OC=2，x=0y=4B（0，4，OB=4，1，当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC∴P（2，﹣1设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣1=，解得∴过点P的双曲线解析式y=2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC在△OCP和△COB设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得﹣4=，解得∴过点P的双曲线解析式 10（8（2015•BBA3cmANCCB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜，连接若△BMN与△ABCtAN，CMAN⊥CMt专题：动点型．（1）BM，CNBN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形t的值；CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．（1）=10（cm当△BMN∽△BAC时，，当△BMN∽△BCA时， ，解得：t=∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：t（cm∴∴ 11（9（2015•△ADCACB，DAC填空 2（cm，DC= 2M，NA点，C1cmAD，CBA→D，C→BNAD的距离（x的式子表示）y（cm2中，△PMNyy的最大值．分析：（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC= ，由三角函数求出AD即可过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=x+2 FNPF，△PMNy=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNFy是xy的最大值．（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm， NNE⊥ADENF⊥DCDCF，如图所示：NE=DF， ∴点N到AD的距离为 ∵PDC ∴△PMNy=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF ﹣x（ y是x的二次函数，∵∴y当 y有最大值为=点评：本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最（2（3）12（13（2015MNDt．MNACDABMN若△DMNt考点：分析：（1）分别取△ABCAC，AB，BCE，F，GEG，FGMN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积求解即可；MD=MN=3MD=DNDN=MN时，分别求解△DMN为等腰三角（1）∵在△ADC中，MAD的