近代物理导论曹禺第十三章

PAGEPAGE82第十三章近独立粒子的最概然分布概率基础知识在概率理论中，被研究对象所出现的每一个结果称为一个“事件”，在一定条件下必然会发生的事件，称为必然事件。必然不会发生的事，称为不可能事件。这两种事件有一个共同的特点，就是事先可以对其发生与否作肯定性回答，它们统称为确定性事件。随机事件的概率在一定的条件下，如果一个事件可能发生也可能不发生，称此事件为随机事件，与其相应的自然现象称为随机现象。如投掷硬币时，正面朝上是一个随机事件。对于随机事件，在一次试验或观测中是无法预知其结果的，但当观测次数N趋于无穷时，某一事件（事件A）发生的次数与总观测次数N的比值将趋于某一稳定的极限值。这个极限值可以作为随机事件A出现可能性的客观量度，称为事件A发生的概率：，当＝0时，A不可能发生；当＝1时，A肯定发生。显然，事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可以用来表示事件发生的概率，如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几此，正面向上和北面向上的次数可能相差很大，但随着掷的次数的增加，会发现正面向上和背面向上各有的可能性，于是可以说掷硬币时，正面向上和北面向上的概率各为。2、互斥事件概率的加法定律在一定的条件下，不可能同时发生的两个事件，称为互斥事件，如掷硬币时，正面、背面不可能同时向上，所以正面向上和背面向上是互斥事件。设A、B是互斥事件，在N次观测中，事件A出现次，事件B出现次，则出现事件A或B次数为，所以，A、B中任意一个出现的概率为两个互斥事件中任意一个出现的概率等于两个事件出现的概率之和，称为概率的加法定理，推广至n个互斥事件：如掷硬币时，正面向上，背面向上出现的概率为：若某一随机现象总共包含n种互斥事件，则由概率加法定理知：，称为概率的归一化条件，它表明，在一次观测中，全部互斥事件中总有一个是要发生的。3、独立事件概率的乘法定理如果两个随机事件彼此没有任何关联，一个事件发生与否与另一事件发生与否毫不相关，这两个事件称为独立事件，如同时掷二硬币，第一枚出现正面向上与第二枚出现背面向上是毫无关联的，是两个独立事件。设A、B是两个独立事件，这两事件同时（依次）发生记为。以表示在N次观测中事件A发生的次数。表示在N次观测中事件A和事件B同时发生的次数，这也是在事件Ａ发生的次数中事件B发生的次数则事件A和B同时发生的概率为：两个独立事件同时发生的概率等于两事件各自发生的概率的乘积，称为概率的乘法定理。如同时掷两枚硬币时，第一枚正面向上，第二枚背面向上同时发生的概率为，推广至n个独立事件:4、随机变量的概率分布如果一变量以一定的概率取各种可能值，这变量称作随机变量，分为离散型和连续型。离散型：离散型随机变量所取的数值是可数的分立值，以X表示随机变量，表示离散型随机变量的可能取值，表示取相应值的概率，称为随机变量X的概率分布。显然，连续型：连续型随机变量可取某一区间内的一切数值，以X表示连续型随机变量，假设它的取值x在a与b之间，随机变量x取值在的概率表为，称为概率密度，满足以下条件：5、统计平均值和涨落离散型：设随机变量X的可能取值为。设在N次试验或观测中，测得X取上述数值的次数相应为则X的算术平均值为。当X的算术平均值趋于一定的极限，称作X的统计平均值。取的概率。连续型随机变量X，统计平均值，积分遍及x的取值范围。独立，另一类平均值，方均值，定义为由于各次观测结果不一定等于统计平均值，引入一个量描述X在其统计平均值上下涨落的平均幅度，由于不能用来表示涨落。用方差描述涨落对大的偏差是敏感的，它表明了随机变量取值的分散程度，越小，随机变量的取值越靠近平均值。还可引入相对涨落更能说明精确度。1粒子运动状态的经典描述统计物理学是从物质的微观运动来阐明物质宏观性质的科学。由于物质是大量微观粒子组成的，每个粒子在不停地运动，在统计物理中把物质的宏观性质看作是大量粒子作热运动的平均效果，而把系统的宏观量看作是对应微观量的统计平均值。统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有数量级，描述大量粒子组成的系统的宏观性质的量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。一般来说，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条件下，经典理论还是有意义的。粒子运动状态的经典描述对于一个自由度为的粒子，它在任一时刻的运动状态，由粒子的个广义坐标和与之共轭的个广义动量在该时刻的值确定，粒子的能量是其广义坐标和广义动量的函数：如果存在外场，还是描述外场参量的函数。为了形象地描述粒子的力学运动状态，用共个变量为直角坐标，构成维空间，称为相空间或空间。粒子在某一时刻的力学状态可用相空间的一个点来表示，称为粒子运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描绘出一条轨迹，称为相轨迹，空间中的广义体积，称为相体积。统计物理中的几个例子（1）自由粒子当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度为3，所以相空间是6维的，粒子在任一时刻的位置由坐标确定，共轭的动量分别为，相空间坐标分别为当自由粒子在一维空间运动时，自由度为1，相空间维数为2，坐标。（2）一维线性谐振子质量为m的粒子，沿着轴在平衡位置附近作角频率为的谐振动，称为线形谐振子，其自由度为1，可以用一个坐标和一个动量来确定其运动状态，其空间是二维的，谐振子的能量Px等能面是相空间中的一条椭圆曲线，改写为:两个半轴长分别为和椭圆面积：而能量在之间的相体积为：谐振子能量不同，椭圆不同。2.粒子运动状态的量子描述微观粒子服从量子力学规律波粒二象性：粒子波，粒子量，波量普朗克常量海森堡不确定关系经典：粒子沿轨道运动。量子：无轨道。不能同时确定。量子态——量子力学中微观粒子的运动状态量子态数的计算，量子的描述（1）自由粒子先考虑一微自由粒子，设粒子在长为L的一维容器中，边界条件可取驻波条件或周期边界条件取周期边界条件，自由粒子波函数为，一维自由粒子动量，一维自由粒子能量，所以，是表征一维自由粒子运动的量子数，对于在边长为L的立方体内运动的三维自由粒子，其波函数考虑到周期边界条件：，，与一维情况一样，可得粒子动量，粒子能量所以，这组数就是表征三维自由粒子运动的量子数，不同的代表不同的量子态，而当不同（代表不同的量子态），但一样时，就表示不同的量子态具有相同的能量，即在同一能级上有不止一个量子态，此时称此能级是简并的，简并度就是方程：整数解的个数。考虑在体积内，在，，的动量范围内自由粒子的量子态数，由于不同的代表不同的量子态，且与一一对应，在的范围内，可能的的数目同理：在的范围内，可能的数目在的范围内，可能的数目为所以在，，范围内可能的数目，即可能的量子态数目为上式可用不确定关系来理解，由不确定关系可知：粒子的坐标不确定值与动量不确定值满足：这反映在量子力学中粒子的轨道概念是不存在的，因为粒子的位置和动量是不可能同时确定的。这也是粒子波动性的反映，因为不能把粒子看成一个点，而要看成波包，因此若用坐标和动量来描述粒子的运动状态，一个态必然占有空间的一定体积，称之为相格。对于自由度为1的粒子，相格的大小为，对于自由度为的粒子，各自由度的坐标和动量的不确定值和分别满足相格大小为这是自由度为的粒子的一个量子态在空间所占有的体积。式表示三维自由粒子的量子态数等于其在空间占有的体积除以相格大小（一个量子态占有的空间体积）用动量空间的球坐标来表示。，，体积元：在体积V内，动量大小在内，方向在的范围内，自由粒子可能的状态数为：对所有方向求知，对从积分，从积分，便得到在体积V内，动量大小在的范围内（动量方向任意），自由粒子可能的状态数为：由于在能量范围内，自由粒子可能的状态数为：，表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。若考虑进粒子的自旋S则上述的所有状态数均还须乘上自旋简并度，对，即乘以2。3.系统微观运动状态的描述仅讨论全同和近独立粒子组成的系统全同粒子系统——具有完全相同属性（如相同的质量、电荷和自旋等）的粒子组成的系统。近独立粒子系统——系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因此可以忽略粒子之间的相互作用，整个系统的能量可表达为单个粒子的能量之和其中为第粒子的能量，总粒子数，且仅为粒子的坐标和动量及外场的函数。但应注意，仅独立粒子之间虽然相互作用，各粒子完全独立地运动，彼此毫不相干，这些粒子所组成的系统也就无从达到热力学平衡了。系统的微观状态经典：按经典力学观点，由全同粒子组成的近独立粒子系统，其粒子是可以分辨的，可以编号的，对于N个粒子组成的系统，当给出了第1，第2、、、、第N号粒子的运动状态的代表点处于空间的哪些相格中时，就给出了系统的一个微观状态，或者说N个编了号的粒子的代表点在空间中按相格的一种分配方式对应系统的一个微观状态，当然，N个编了号的粒子的代表点按相格的不同分配方式对应系统的不同的微观状态，如交换两个粒子的代表点在空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。量子：全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，如果将两个全同粒子交换，不改变整个系统的微观运动状态。不可分辨是因为微观粒子具有波动性，在两个波重叠的区域无法区分哪个是第一个波，哪个是第二个波，也就无法区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。在量子力学中粒子分为二类：波色子——自旋为整数，费米子——自旋为半整数。对于费米子，服从泡利不相容原理的限制，即每个单粒子量子态最多只能容纳一个费米子。对于波色子，不受泡利不相容原理的限制，即每个单粒子量子态上可以被任意数目的波色子所占据。另一种全同粒子组成的近独立粒子系统玻尔兹曼系统——由可分辨的全同近独立粒子组成的，且处在每个单粒子量子态上的粒子数不受限制的系统。确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每个单粒子量子态上的粒子数，对于可分辨的全同粒子还要进一步确定到哪些粒子处于哪个量子态上。对于相同粒子数的系统，由于玻尔兹曼系统受限制最少，交换粒子产生系统的不同的微观状态，所以其微观状态数最多，对于波色系统，受全同性原理限制，交换粒子不产生系统的不同微观状态，所以其微观状态数比玻尔兹曼系统少，对于费米系统，不但受全同性原理约束，更受泡利不相容原理限制，其微观状态数比波色系统少。所以对于相同数目的粒子系统，就微观状态数而言：玻尔兹曼系统波色系统费米系统例如：对于一个二粒子系统，每个粒子有3个量子态玻尔兹曼：量子态123可分辨A，BABABABABBAABBAABBA波色系统：123不可分辨AAAAAAAAAAAA费米系统：123不可分辨AAAAAA4.等概率原理等概率原理：对于平衡态的孤立系统，粒子数N，体积V，能量E，都给定时，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。由玻尔兹曼于19世纪70年代提出的这个等概率原理，是统计物理的一个基本假设，不能由其他的更基本的原理推导而得，它的正确性由它所导出的种种推论均与客观实际相符而得到肯定。等概率原理是平衡态统计物理的基础。对于处于平衡态的孤立系统，粒子运动是完全无序的，系统微观状态的出现是完全随机的，没有理由认为满足宏观条件的所有可能微观状态中，哪一个微观状态出现的概率具有更大的可能性，因而认为所有可能的微观状态出现的概率是相等的。5.分布和微观状态设有一个由大量全同近独立粒子组成的系统，具备确定的粒子数N，能量E，和体积V，以表示粒子的能级，表示能级的简并度。设N个粒子在各能级的分布描述如下：能级简并度粒子数即能级的简并度为，有个粒子占据，。。。。。能级的简并度为，有个粒子占据，。。。。用符号表示数列称为一个分布。对于具有确定的粒子数N，能量E和体积V的系统，分布必须满足条件，（所有粒子数能量之和为系统能量）分布和微观状态是两个不同的概念，给定了粒子按能级的一个分布，只是确定了在每一个能级上的粒子数，但系统的微观状态并未被唯一确定，确定系统的微观状态要求确定处在每一个单粒子量子态上的粒子数，如前所述，一般情况下，单粒子的能级是简并的，能级上有个量子态，确定了个能级上的粒子数，并不能前确定粒子在能级上各量子上的分配，因此，一个分布可对应许多不同的微观状态，例如对于波色系统和费米系统，在给定分布后，要确定波色或费米系统的微观状态，还必须确定每个能级上个粒子占据其个量子态的方式，对于玻尔兹曼系统，由于粒子是可分辨的，所以确定系统的微观状态就要求确定每一个粒子的单粒子量子态，因此给定了分布后，为了确定玻尔兹曼系统的微观状态，还必须确定在各个能级上究竟被哪些个粒子占据，以及在每一个能级上个粒子占据其个量子态的方式。总之，与一个分布相应的系统的微观状态往往是很多的。而微观状态数对于玻尔兹曼系统，波色系统和费米系统是显然不同的。给定分布后，三种系统的微观状态数玻尔兹曼系统对于玻尔兹曼系统，粒子可分辨，可以对粒子进行编号，个编了号的粒子占据能级上的个量子态时，第一个粒子可以占据个量子态中的任一个，有种可能的占据方式，由于一个量子态可以容纳的粒子数不受限制，在第一个粒子占据了某个量子态后，第二，第三。。。个粒子仍然有种可能的占据方式，于是个编了号的粒子占据能级上的个量子态共有种可能的占据方式，因此，在玻尔兹曼系统中，个粒子占据能级上的个量子态时，是彼此独立互不关联的，分布中，个编了号的粒子分别占据能级上个量子态的可能占据方式共有种，由于玻尔兹曼系统的粒子可分辨，所以交换粒子将给出系统不同的微观状态，将Ｎ个粒子加以交换，不管是否在同一能级上，总的交换数为（全排列）。在这些交换数中应除去在同一能级上个粒子的交换数。因为这已在中考虑了，这种交换是不产生新的分布的。因此不同能级间粒子的交换数为，所以对于玻尔兹曼系统，与分布相应的微观状态数是前例=4波色系统对于波色系统，粒子不可分辨，每个单粒子量子态能够容纳的粒子数不受限制，先计算个粒子占据能级上的个量子态有多少种可能的方式，为了计算这个数目，以表示量子态1，2。。。。。，以0表示粒子，将它们排成一行，每个量子态后面0的数目表示在该量子态上的粒子数，所以最左方为量子态1，如对于5个量子态和10个粒子的一种排列表示量子态1上有2个粒子，量子态2上有1个粒子，量子态3上无粒子，量子态4上有3个粒子，量子态5上有4个粒子。也是一种占据方式由于规定了最左方总是量子态1，余下的量子态和粒子的总数为，它们共有种排列方式。因为粒子是不可分辨的，交换粒子不产生新的状态，所以应除去粒子之间的相互交换数，量子态之间也不应交换，因此也应除去量子态之间的相互交换数，所以个粒子占据能级上的个量子态的可能方式有种，相当于空位中用个捧（代表量子态）去填，或用个粒子去填，每个空位只能填一个捧或粒子，用捧（粒子）填时，共有，剩余的空位就是粒子（捧）。将各能级结果相乘，就得波色系统中任意一个分布所对应的微观状态数为：前例，费米系统对于费米系统，粒子不可分辨，且由于泡利不相容与原理，每个单粒子量子态最多只能容纳一个粒子，个粒子占据能级上的个量子态，相当于从个量子态中挑出个来为粒子所占据，种可能方式，将各能级结果相乘，就得到费米系统中任意一个分布所对应的微观状态数为：前例，若在波色系统或费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数（简并度），即（对所有的）则波色系统的微观状态数可近似为费米系统的微观状态数可近似为称为经典极限条件，也称非简并条件。这个非简并条件表示在每个单粒子量子态上平均粒子数远小于1，这就是说绝大多数单粒子量子态是没有被粒子占据的，因此，泡利原理的限制不起作用，故波色系统的微观状态数在非简并条件下趋于相同的量。是在玻尔兹曼粒子分布对应的系统微观状态数可区分情况下得出的，而波色子和费米子是满足全同性原理的，交换粒子不产生新的状态，故要除去由于交换粒子而产生的状态数，除以经典统计中的分布和微观状态数在经典力学中，一个个自由度的粒子在某一时刻的运动状态由他的广义坐标和广义动量确定，相应于空间中的一点，系统在某一时刻的运动状态由系统的N个粒子的坐标和动量，确定。相应于空间的N个点，由于和是连续变量，粒子和系统的微观运动状态都是不可数的，为了计算微观状态数，我们将和分为大小相等的小间隔，使，是一个小量，，这样就将空间分成一个个的相格，对于具有个自由度的粒子，其空间的相格体积为，假设足够小，就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态，处于同一相格的代表点，代表相同的运动状态，显然，愈小描述就愈精确，在经典力学，可以取任意小的数值。在量子力学，由不确定关系限制不能小于。当取，我们称为半经典描述。将空间化为许多体积元以表示运动状态处于内的粒子的能量（越小越精确），由于粒子的微观运动状态由大小为的相格确定，所以内粒子的运动状态数为，它与量子统计中（量子描述）的简并度相当。N个粒子处于各的分布可以描述如下：体积元“简并度”（中的态数）能量粒子数表示有个粒子的运动状态代表处于中，经典粒子可以分辨，处于一个相格内的经典粒子数没有限制，因此在经典统计中与分布对应的微观状态数可以按得到玻尔兹曼系统的的方法，求得为6.玻尔兹曼分布前面求得了不同系统得一个粒子分布所相应的微观状态数，不同的分布对应不同的微观状态数，由等概率原理知，对于平衡态的系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的，所以相应于微观状态数最多的粒子分布出现的概率最大，这种分布称为最概然分布，对于玻尔兹曼粒子系统最概然分布，称为玻尔兹曼分布。现推导玻尔兹曼分布斯特林公式：当时，对于玻尔兹曼粒子系统，分布所对应的微观状态数为:，玻尔兹曼分布是对应于最大的分布，由于随的变化是单调的，它们的极值位置相同，可以等价地讨论使为极大的分布设所有的均很大，利用斯特林公式，得为求得使为极大的分布，必须有:由于不是独立变量，而是要满足约束条件（确定的粒子数和能量）对于有确定的粒子数N和能量E的系统，有，所以要求的极值，是条件极值，应用拉格朗日待定乘子法来求，引入拉格朗日乘子和乘上面二个式子，并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个前得系数均对于零，这是选和的要求，所以,简并度为的能级上的粒子数。这就是玻尔兹曼粒子系统中粒子的最概然分布，称为玻尔兹曼分布，拉氏乘子和由及对能级求和能级有个量子态，处于其中如何一个量子态的平均粒子数应该是一样的，因此，处在能量为的量子态上的平均粒子数为单个量子态上的平均粒子数而，对量子态求和。说明：（1）、上面只证明了玻尔兹曼分布使的一阶微分等于零，即取极值，但要证明这个极值是极大值，还需证明玻尔兹曼分布使的二阶微分小于零由于，故，因此玻尔兹曼分布是使为极大的分布。（2）玻尔兹曼分布是出现概率最大的分布，对于宏观系统，于最概然分布相应的的极大值非常陡，使其它分布的微观状态数于最概然分布的微观状态数相比几乎接近于零，为说明这一点，我们将玻尔兹曼分布的微观状态数与对玻尔兹曼分布有偏差的一个分布的微观状态数加以比较，将展开，得：将，代入上式，得假如对玻尔兹曼分布的相对偏离为（很小），则对于的宏观系统，有几乎接近0这说明即使与最概然分布仅有极小偏离的分布，它的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比也是几乎接近于零的，这就是说最概然分布的微观状态数非常接近于全部可能的微观状态数，根据等概率原理，处于平衡态下的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率相等，因此平衡态下的孤立系统绝大部分时间将处于最概然分布，玻尔兹曼分布，如果我们忽略其他分布而以为平衡态下粒子实质处于玻尔兹曼分布，所引起的误差应当是可以忽略的，其它分布所相应的微观状态数虽很小，但还是有一定概率出现，这就导致处于平衡态的系统存在着偏离平衡态的涨落现象以可得经典玻尔兹曼分布的公式:其中满足,7.波色分布和费米分布考虑处于平衡状态的孤立系统，具有确定的粒子数N，体积V和能量E。表示粒子的能级，表示能级的简并度，以表示各能级上的粒子数，分布必须满足条件对于波色系统，与分布相应的系统的微观状态数为对于费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为由等概率原理，对于处在平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的，因此，使从而极大的分布，出现的概率最大，只最概然分布对于波色系统假定因而，并用斯特林公式，于是的变化将引起有变化，使从而有极大值的分布必使，于是但各不独立，必须满足二个约束条件：,用拉氏乘子和乘这两个式子，并从中减去，得根据拉氏乘子法原理，各的系数为0（这是选的要求）即波色系统中粒子的最概然分布，称为波色——爱因斯坦分布，简称波色分布，拉氏乘子由下式确定对能级求和＋费米——狄拉克－波色——爱因斯坦这是处于能级上的个量子态的粒子数。每个量子态的平均量子数应该一样，所以在能量为的量子态上的平均粒子数为＋费米——狄拉克－波色——爱因斯坦,对量子态求和。在前面三种分布