2021-2022学年辽宁省本溪实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省本溪实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）2021的相反数是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6 C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．＝﹣44．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（）A．30° B．36° C．45° D．32°5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式 B．若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定 C．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨 D．一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是66．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝7．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米/分钟，步行的速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为x分钟和y分钟，则列出的方程组是（）A． B． C． D．8．（3分）一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，则a的取值是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（）A． B．2 C． D．310．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APB+S△APD＝其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为．12．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝．13．（3分）若，则＝．14．（3分）若（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，则m+n＝．15．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色、另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是．16．（3分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，BE的长为．18．（3分）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边向右构造正方形OA1B1C1，使点C1落在x轴上，延长C1B1交直线l于点A2，再以C1A2为边向右构造正方形C1A2B2C2，使点C2落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B1B2021所在直线的解析式为．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：，其中a满足﹣2＜a≤2的整数．20．（12分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．21．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）直接写出AC与y轴交点的坐标．（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为．（3）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．22．（12分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．24．（12分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．25．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．（1）如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；（2）如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；（3）在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年辽宁省本溪实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）2021的相反数是（）A．2021 B．﹣2021 C． D．【解答】解：2021的相反数是﹣2021，故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，牢记相反数的定义是解题的关键．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查轴对称与中心对称，熟练掌握图形的中心对称与轴对称的性质是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6 C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．＝﹣4【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、（﹣xy2）3＝﹣x3y6，故此选项错误；C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故此选项错误；D、＝﹣4，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（）A．30° B．36° C．45° D．32°【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠C＝×（5﹣2）×180°＝108°，∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，∵AF∥CD，∴∠DFA＝∠CDB＝36°．故选：B．【点评】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求正多边形的内角，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解答时要会根据公式进行正确运算．5．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式 B．若甲队成绩的方差是2，乙队成绩的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定 C．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨 D．一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6【解答】解：A．由于被调查的人数较多，不易适合普查的方法进行调查，故A错误；B．甲队的方差小于乙队的方差，故甲队成绩比乙队成绩稳定，故B正确；C．明天下雨的概率为99%，属于随机事件，故C错误；D．这组数据中6和7都出现了2次，故众数是6和7，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是普查、方差、随机事件、中位数和众数的知识，掌握相关知识是解题的关键．6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．7．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米/分钟，步行的速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为x分钟和y分钟，则列出的方程组是（）A． B． C． D．【解答】解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．8．（3分）一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，则a的取值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x+a+3的图象过一、二、四象限，∴a+1＜0，a+3＞0解得﹣3＜a＜﹣1．故选：C．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0．9．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（）A． B．2 C． D．3【解答】解：由作图可知，OP⊥AD．在Rt△OPD中，PD＝CD＝2，∠ADP＝60°，∴OP＝PD•sin60°＝，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APB+S△APD＝其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，∴点B到直线AE的距离为．故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此选项正确．∴正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为1.28×106．【解答】解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106．故答案为：1.28×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝a（2x+y）（2x﹣y）．【解答】解：原式＝a（4x2﹣y2）＝a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）若，则＝．【解答】解：由，得a＝，∴＝．故答案为：．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．14．（3分）若（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，则m+n＝﹣4．【解答】解：∵（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，又∵（x+1）（2x﹣3）＝2x2+mx+n，∴m＝﹣1，n＝﹣3，∴m+n＝﹣1﹣3＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则，根据对应项的系数相等求解是解题的关键．15．（3分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色、另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种，所以可配成紫色的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．16．（3分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝4．【解答】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是证明△AFB∽△AEC．17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，BE的长为或15．【解答】解：∵在矩形ABCD中，则CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠D＝90°，由折叠的性质，则CF＝BC＝5，BE＝EF，在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4；①当点E在线段AB上时，如图1：∴AF＝5﹣4＝1，在Rt△AEF中，设BE＝EF＝x，则AE＝3﹣x，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，∴x2＝1+（3﹣x）2解得：，∴；②当点E在BA的延长线上时，如图2：∴AF＝5+4＝9，在Rt△AEF中，设BE＝EF＝x，则AE＝x﹣3，∴由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，∴x2＝92+（x﹣3）2，解得：x＝15，∴BE＝15；综合上述，BE的长为或15．故答案为：或15．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质进行分析题意，然后利用勾股定理进行求解即可，主义运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．18．（3分）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，以OA1为边向右构造正方形OA1B1C1，使点C1落在x轴上，延长C1B1交直线l于点A2，再以C1A2为边向右构造正方形C1A2B2C2，使点C2落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B1B2021所在直线的解析式为y＝x+．【解答】解：把x＝0代入直线y＝x+1，得y＝1，点B1的坐标是（1，1），把x＝1代入直线y＝x+1，得y＝2，点B2的坐标是（3，2），同理可得：点B3的坐标是（7，4）；……由以上得出规律是Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），∴B2021的坐标为（22021﹣1，22020），设B1B2021所在直线的解析式为y＝kx+b，得，解得，∴B1B2021所在直线的解析式为y＝x+．故答案为：y＝x+．【点评】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式等知识，解此题的关键是分别计算一次函数中的点的坐标从而得出规律．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：，其中a满足﹣2＜a≤2的整数．【解答】解：原式＝（﹣+）÷＝÷＝•＝（a+1）2，当a是满足﹣2＜a≤2的整数时，a的值为﹣1、0、1、2，∵a≠﹣1、0、1，∴当x＝2时，原式＝（2+1）2＝9．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．20．（12分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为162°，并补全条形统计图；（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：故答案为：162°；（2）由题意得：2400×＝120（人），即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为120人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，抽到都是女孩的有6种，∴恰好抽到都是女生的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．21．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）直接写出AC与y轴交点的坐标（0，）．（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为0．（3）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（4，3），C（1，2）代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝，令x＝0，得y＝，∴直线AC与y轴交点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．（2）由图可知，△ABC与△PQR是关于原点成中心对称，∴可列方程，解得，∴a﹣b＝0，故答案为：0．（3）如图，△P'Q'R'即为所求．△P′AC的面积为﹣﹣1×1﹣＝．【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称、用待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22．（12分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．【解答】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△FAG，∴，即GA2＝GE•GF，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论AG＝CG，∴CG＝3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．24．（12分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．【解答】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．（1）如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；（2）如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；（3）在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．【解答】解：（1）结论：AC＝BF+AE．理由：连接CD，如图①所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠DCF＝45°，CD＝AB＝AD＝BD，∴∠A＝∠DCF，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；，∴BF+AE＝BF+CF＝BC＝AC，即AC＝BF+AE；（2）（1）中的结论不成立．结论：2AE•BF＝AC2．理由：连接CD，如图②所示：∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠F，∠EDF＝∠B＝45°，∴∠ADE＝∠F，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD，∴＝，∴AE•BF＝AD•BD＝AD2，∴2AE•BF＝2AD2，∵AC2＝AD2+CD2＝2AD2，∴2AE•BF＝AC2；（3）∵AC＝4，AE：EC＝1：3，∴AE＝AC＝，AD＝CD＝4，由①得：2AE•BF＝AC2＝32，∴BF＝8，∵BC＝AC＝4，∴CF＝BF﹣BC＝4，∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，由①得：∠ADE＝∠F，∴∠F＝∠CDG，∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCG，∴∠DCF＝∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质