概率论与数理统计第四章数学期望与方差

前面介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间相互关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的协方差和相关系数1.§4.4协方差和相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.

数反映了随机变量X,Y

之间的某种关系2.定义称为X,Y

的协方差.记为可以证明协方差矩阵为半正定矩阵A.

协方差和相关系数的定义为（X,Y）的协方差矩阵称3.

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念.4.若Var(X)>0,Var(Y)>0,称为X,Y

的相关系数，记为事实上，若称X,Y

不相关.无量纲的量5.

——利用函数的期望或方差计算协方差协方差和相关系数的计算6.

若二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

且Cov(X,Y)存在,则

7.(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),

且Cov(X,Y)存在，则8.

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.证明：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即=E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)}9.若X,Y相互独立,则上式化为随机变量和的方差与协方差的关系10.协方差的性质

当且仅当时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式B协方差和相关系数的性质11.相关系数的性质

Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为12.相关系数的性质证明：令,代入第二个方程得将bEXEYa-=13.14.15.16.说明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系17.

X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若X,Y服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关

18.求cov(X,Y),XY10pqXP

10pqY

P

例1

已知

X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解：10pqXY

P19.20.例2.设~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解:21.22.

例3

设(X,Y)服从二维正态分布

求(1)X和Y的相关系数

(2)X和Y不相关=0

23.

解：(X,Y)的概率密度函数为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为24.由于25.26.27.X，Y独立=0X，Y不相关。28.例4.设

(X,Y)~N(1,1;4,4;0.5),Z=X+Y,求

XZ解:29.

例5：设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求E(X+Y)2.解:E(X+Y)2=[E(X+Y)]2+Var(X+Y)注意到=[EX+EY)]2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)把条件代入即得E(X+Y)2

=由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而30.

设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。

mk

=E(Xk)称为X的k阶原点矩，

k

=E(X-E(X))k称为X的k阶中心矩，

mkl=E(XkYl)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，

kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]称为X和Y的(k,l)阶混合中心矩.

显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.