2.3-电位函数讲学

12.3电位函数一、电位函数与电位差1、电位函数的定义1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；2)负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。引入电位函数：可由一标量函数表示说明：2

4)满足迭加原理3)在直角坐标系中3电场空间中两点间电位差为：意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所作的功。两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。

ABEv电位差的计算：2、电位差（电压）电位差是电场空间中不同位置处电位的变化量，空间某点电位无物理意义，两点间电位差才有意义。

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电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。

电位相等的曲面称为等位面，其方程为电场线等位面当取不同的常数C时，可得到不同的等位面。E3、等位面5电力线与等位面的性质：

点电荷与接地导体的电场

点电荷与不接地导体的电场E线不能相交,等位线不能相交；E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位面正交；6

介质球在均匀电场中

导体球在均匀电场中

点电荷位于无限大介质上方点电荷位于无限大导板上方7二、电位参考点为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点。显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即(1)电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点

A点电位为将单位正电荷从A移到∞电场力所做的功。电位参考点选择原则：1）电位参考点电位一般为0；82）场中任意两点之间的电位差与参考点无关。3）选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。4）电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。三、电位的计算公式1、点电荷的电位(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大，应根据实际情况选取参考点。9B点为电位参考点。若电位参考点在无穷远处，即得：点电荷在空间中产生的电位位于不同位置的N个点电荷，，所组成的点电荷系统，其电位为102、无限长线电荷的电位电位参考点不能位于无穷远点。取r=1柱面为电位参考面，即得：无限长线电流的电位

QP'P113、分布电荷体系在空间中产生的电位体电荷：面电荷：线电荷：式中：若参考点在无穷远处，c=0。引入电位函数的意义：简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可通过先求电位函数，再由关系得到电场解＿＿＿间接求解法。12电场强度与电位之间的关系13例1:求电偶极子在空间中产生的电位和电场。先求解空间电位，再求电场解：取无限远处为电位参考点。+q-q1415

上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。16求解电场的方法有两种：1)已知电荷分布直接计算电场强度，2)先求电位再计算梯度求电场。这两种方法的前提是：必须已知全部空间的电荷分布给定电荷分布求空间一点电场分布而场引起导体上感应电荷分布而感应电荷分布反过来引起对于实际应用的电场问题：(1)此前提条件难于满足；(2)即使给出了全部空间中的电荷分布，但在计算中还须完成不规则的积分运算，电位分布的解析解也难于求出。四、利用电位求解电场171、拉普拉斯运算1）标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：必须寻求解决问题的另一途径：求解电位所满足的微分方程。182）矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：2、静电场电位方程的建立即：电位的泊松方程在存在电荷分布的区域（有源区），19在无源区域，电位的拉普拉斯方程3、电位方程的应用可用于求解静电场的边值问题。例1：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，求空间电位分布及电场强度分布。解法一：导体球是等位体。时：20时：21解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。

设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：22小结：求空间电场分布的方法1、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。3、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。

在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。23例2：在无限大真空中，已知电位求对应的电场强度及电荷分布。球坐标中，解：r=0处是的奇异点，在该点应有一个点电荷。24①处，球坐标中