13、直线与圆的方程的应用(提高)

直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；

2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；

3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；

2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；

3．通过代数运算，解决代数问题；

4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

要点诠释：

坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；

2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；

3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】

圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．

【解析】

以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A（―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．

若P地居民选择在A地购买此商品，

则，

整理得．

即点P在圆的内部．

也就是说，圆C内的居民应在A地购物．

同理可推得圆C外的居民应在B地购物．

圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．

【总结升华】

利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．

在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.

【答案】3.86m

【解析】

建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：

因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以将H＇代入③式，得．

即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】

【解析】

如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．

令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．

过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，

∴kAQ≤kQM≤kQB．

又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．

∴的最大值为，最小值为．

【总结升华】

本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．

由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．

涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，

求实数a的取值范围．

答案与解析

【答案】【解析】

因为，所以，即，

分别画出和的草图，利用数形结合法，

当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，

即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：

（1）截y轴所得的弦长为2；

（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．

在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

【解析】

满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．

设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．

由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为

∴r2=2b2．

又圆P截y轴所得的弦长为2，

∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．

又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，

∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，

当且仅当a=b时取等号，此时．

由，得或，∴r2=2．

故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．

【总结升华】

解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．

在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3

【解析】

由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，

设的坐标分别为，，由可得：

=

=

=0

解得：析【答案与解析】1．【答案】B

【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．

2．【答案】B

【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），

B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），

以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上

移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，

则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）

故选B．

3．【答案】D

【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到

直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，

由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值

是．故选D．

4．【答案】C

【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．

解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．

5．【答案】B

【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦

（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，

所以四边形ABCD的面积为

．

6．【答案】B

【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，

所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，

所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），

所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．

7．【答案】B

【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，

解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，

故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．

8．【答案】B

【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．

圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行

此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、

CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，

有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；

（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．

而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．

9．【答案】(x+1)2+y2=2

【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，

故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．

10．【答案】2x―y=0

【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，

由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，

即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．

11．【答案】8

【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2

由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的

横坐标，．

12．【答案】―1x2+(y―1)2=1

【解析】由题可知，又k1kPQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的

对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．

13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0

【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），

即，

∴圆心坐标为．

又∵圆心在直线x―y―4=0上，

∴，即，

∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．

14．【答案】（1）1.7h后观测站受到影响，影响时间是3.7h(2)M城4.2h后受到影响,影响时间是3.7h

【解析】

（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，

设BC=x，则．

即，故．

∴，故149.76÷90≈1.7，即约1.7h后观测站受到影响，影响时间是（h）.

（2）而MA∥BC，∴