2019届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第4节基本不等式练习新人教A版

第六章第4节基本不等式[基础训练组]1．(导学号14577548)设0<<，则以下不等式中正确的选项是()abA．<<a＋bB．<a＋b<<<22a＋ba＋bC．a<ab<b<2D.ab<a<2<b分析：Ba＋b－＝a(b－a)>0，即>，[∵0<<，∴<<，A、C错误；aba2babaabaD错误，应选B.]2．(导学号14577549)已知0<x<1，则x(3－3)获得最大值时x的值为( )x1B.1A.2332C.4D.3分析：B[∵0<x<1，∴1－x>0.x＋1－x23∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝4.1当x＝1－x，即x＝时取等号．]2x2＋23．(导学号14577550)函数y＝x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2B．23－2C．23D．2分析：A[∵x>1，∴x－1>0.x2＋2x2－2x＋2x＋2∴y＝x－1＝x－1x2－2＋1＋x－＋3＝x－1＝x－2＋x－＋33x－1＝x－1＋＋2x－1≥2x－3x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3，即x＝1＋3时，取等号．]x－14．(导学号14577551)(2018·长春市质检)设正实数a，b知足a＋b＝1，则()111A.a＋b有最大值4B.ab有最小值2222C.a＋b有最大值2D．a＋b有最小值2分析：C[因为a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号1111a＋b111222建立，∴ab≤2，∴ab≤4，a＋b＝ab＝ab≥4，所以a＋b的最小值为4，a＋b＝(a＋b)112－2ab＝1－2ab≥1－2＝2，(a＋b)＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，应选C.]5．(导学号14577552)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元分析：C[设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体34y＝20×4＋的容积为4m，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为xm，依题意，得2×444102x＋x＝80＋20x＋x≥80＋20×2x×x＝4160当且仅当x＝x，即x＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．]6．(导学号14577553)当x＞1时，不等式x＋1≥a恒建立，则实数a的最大值为x－1________.11分析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋x－1＝x－1＋x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号建立，所以a的最大值为3.答案：37．(导学号→→→14577554)(文科)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b12＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则a＋b的最小值是________.分析：→＝→－→＝(－1,1)，→＝→－→ABOBOAaACOCOA→→＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB与AC共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.1212b4b4a∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝a＋b(2a＋b)＝4＋a＋b≥4＋4＝8，当且仅当a＝b，即b＝2a时等号建立．答案：87．(导学号14577555)(理科)(2018·济宁市一模)已知圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0对于直线ax＋－3＝0(＞0，＞0)对称，则12_________.＋的最小值为byabab分析：∵圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝2，圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0关于直线ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(1,2)．把圆心(1,2)代入直线ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)，得2a＋2b－3＝0，3a＋b＝，a＞0，b＞0，21221＋2(＋)∴＋＝×abab3ab2b22b2a42＝31＋2＋a＋b≥33＋2a·b＝2＋3，2ab42当且仅当b＝a，即b＝2a时获得最小值2＋3.2答案：2＋38．(导学号14577556)(2018·天津河北区三模)已知＞0，＞0知足a＋＝－3，那abbab么a＋2b的最小值为____.分析：因为a＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3.＋3又因为a＞0，b＞0，所以a＝b－1，所以a＋2＝b＋3＋2＝b－1＋4＋2(b－1)＋2＝4＋2(b－1)＋b－1b－1b－13≥24－＋3＝42＋3，当且仅当4＝2(－1)即＝2＋1时取“＝”．b－1bb－1bb答案：42＋3bccaab9．(导学号14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥a＋b＋c.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bc＋ca≥2bcca＝2c，aba·bbcaba＋c≥2caabb＋c≥2

bc·ca·

ab＝2b，ab＝2a.以上三式相加得：bccaaba＋b＋c≥2(a＋b＋c)，bccaab即a＋b＋c≥a＋b＋c.10．(导学号14577558)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．求xy的最小值；求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)x＞0，得y＞0，3xy＝x＋y＋1.∵x＞0，y＞0，3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0，∴(3xy＋1)(xy－1)≥0，∴xy≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号建立．xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，x＋y＋1＝3xy≤3·x＋y2，23(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.[能力提高组]2x2－a11．(导学号14577559)(2018·金丽衢市联考)若函数f(x)＝x－1(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为()3A．0B.2C．11D.222－a分析：B[由题意得f(x)＝x－1x－2＋x－＋2－a2－a2－a＝x－1＝2(x－1)＋x－1＋4≥2x－x－1＋4＝2－a2－a24－2a＋4，当且仅当2(x－1)＝x－1，即x＝1＋2时，等号建立，所以24－2a＋34＝6，即a＝2，应选B.]12．(导学号14577560)(理科)(2018·平顶山市一模)若对于随意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒建立，则实数a的取值范围为()11A．a≥5B．a＞511C．a＜5D．a≤5x111分析：A[由x＞0，x2＋3x＋1＝1，令t＝x＋x，则t≥2x·x＝2，x＋x＋3当且仅当x＝1时，t获得最小值2，2x＋1获得最大值1x＞0，不＋35，所以对于随意的xxx1等式x2＋3x＋1≤a恒建立，则a≥5，应选A.]11412．(导学号14577561)(文科)(2018·邯郸市调研)若正数a，b知足a＋b＝1，则a－1＋16b－1的最小值为()A．16B．25C．36D．4911416分析：A[因为a，b>0，a＋b＝1，所以a＋b＝ab，所以a－1＋b－1＝b－＋a－4b＋16a－20－b－＝－a＋b＋1＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋aab4a)11＝20＋4b4a≥20＋4×2b4a＝36，当且仅当b4a113＋＋·＝且＋＝1，即a＝，ababababab2b＝3时取等号．所以4＋16≥36－20＝16.]－1b－1a13．(导学号14577562)规定记号“?”表示一种运算，即a?b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1?k＝3，则k的值为____________，此时函数f(x)＝k?x的最小值为x________.分析：1?k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，∴k＝1或k＝－2(舍去)，k＝1.1?xx＋x＋11f(x)＝＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，xxx当且仅当x＝1即x＝1时等号建立．x答案：1314．(导学号14577563)(2018·安徽皖北片第一次联考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝31x2＋10x(万元)．当年产量不小于10000－1450(万元)．每件商品售80千件时，C(x)＝51x＋x价为0.05万元．经过市场分析，该厂生产的商品能所有售完．写出年收益L(x)(万元)对于年产量x(千件)的函数分析式；年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获收益最大？解：(1)∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，依据年收益＝销售收入－成本，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250；②当x≥80时，依据年收益＝销售收入－成本，∴L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000＋1450－250＝1200－x＋10000.xx1x2＋40x－250，0<x<80，3综合①②可得，L(x)＝100001200－x＋，x≥80.12－3x＋40x－250，0<x<80，由(1)可知，100001200－x＋，x≥80，1212①当0＜x＜80时，L(x)＝－3x＋40x－