2022年初升高暑期数学衔接讲义（第2套）汇总

第1讲集合的概念集合的有关概念集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称 集.表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 示集合中的元素.集合相等：构成两个集合的元素完全一样.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不 是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.例如：方程的解构成的集合是，而不是.③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.例如：和是同一个集合.元素与集合的关系：(分“属于”与“不属于”两种)①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.集合的分类常见数集的写法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或下列指定的对象能构成集合的是.①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；用“”或“”填空.①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.(1)已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.已知集合的元素为，若且，求实数的值.集合的表示列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法.说明： ①书写时，元素与元素之间用逗号分开； ②一般不必考虑元素之间的顺序； ③集合中的元素可以是数，点，代数式等； ④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示； ⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为.用列举法表示下列集合：①小于4的正偶数组成的集合；②绝对值小于5的所有整数的集合；③小于6的所有自然数的集合；④方程的所有实数根组成的集合；⑤方程组的实数解组成的集合.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.一般格式：，例如：.说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？例如：与是两个不同的集合. ②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.用描述法表示下列集合：①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；②不等式的所有解组成的集合；③抛物线上的点组成的集合.设集合，且,求的值.已知，若集合中恰有4个元素，则()B.C.D.已知集合.若，求的取值范围；若中至多一个元素，求的取值范围.设实数集满足下面两个条件：①；②若，则.求证：若，则；若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数；求证：集合中至少有三个不同的元素.

跟踪训练下列说法正确的个数为()①集合与集合表示同一集合；②集合与集合不是同一集合；③集合与集合是同一个集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集为.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个用列举法表示下列集合：①；②；③.用描述法表示下列集合：①正偶数集；②大于2的实数；③100以内能被3整除的正整数.已知且，则的值为()A.0 B.1 C.2 D.3已知集合，那么()A. B. C. D.给出下列说法：①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为或；③方程组的解组成的集合为；其中不正确的有.(把所有不正确的说法的序号都填上)若集合，则实数的取值范围是.设集合是两个非空数集，定义集合，若，，则中元素的个数为()A.9 B.8 C.7 D.6定义集合运算：.设，，则集合中所有元素之和为()A.0 B.2 C.3 D.6第2讲集合间的基本关系你能发现下面这两个集合之间的关系么？，子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”).(反面：与)我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图(如下图所示):集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作.真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作⫋(或⫋)，读作“真包含于”(或“真包含”).空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.用适当的符号填空：①0；②；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧.下列表述正确的是()A.B.C.D.写出下列集合的所有子集：；；；.结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为个，其真子集数为个.已知集合满足，写出集合的所有可能情况.已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.若集合，，是的真子集，求的值.(2)设集合，，若，求实数的取值范围.己知集合，，且，则实数的取值范围为________.已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.跟踪训练已知集合，，则使成立的实数的取值范围为()A. B. C. D.对于集合，“”不成立的含义是()A.是的子集B.中的元素都不是的元素C.中最少有一个元素不属于D.中至少有一个元素不属于若集合中只有一个元素，则实数()A. B. C.0 D.0或集合的真子集个数为__________.设集合，，若，则实数的取值范围__________.设集合，，若，求实数的值.已知集合，，若,求实数的取值范围.集合，，则下列关系中，正确的是()A.⫋ B.⫋ C. D.无法确定两者关系已知，，则下列关系中，正确的是()A.⫋ B. C.⫋ D.无法确定两者关系设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.已知集合，.若且⫋，试求实数的值.

第3讲集合的基本运算并集交集补集概念由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集.对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合的补集.记号(读作“并”)(读作“交”)(读作“的补集”)符号图形表示性质设，，，求：........设，，，求：........学会归纳：学会归纳：如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A. B. C. D.设集合，，当时，求.已知集合，.若，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围.已知集合，，若，，求的值.，，.，求的值；⫋且，求的值；，求的值.

跟踪训练设集合，，则.若，，则()A. B. C. D.设全集，，，则.设集合，，若，则的取值范围是()A. B. C. D.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为()A. B. C. D.设，，，则.已知，，则的子集个数为()A.2 B.3 C.4 D.8已知50名学生参加跳远和铅球两项测验，分别及格的人数为40,31人，两项均不及格的人数为4人，那么两项都及格的人数为人.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食对集”；当两个集合有公共元素，但互不为对方的子集时，称这两个集合构成“偏食对集”.对于集合，，若与构成“全食对集”，则的取值集合为；若与构成“偏食对集”，则的取值集合为．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30

第4讲集合习题课设集合，，则中元素的个数为()A.11 B.10 C.16 D.15已知，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有()A．16 B.15 C.14 D.12设集合，，则下列关系中正确的是()A. B.⫋ C.⫋ D.设集合，，则下列关系中成立的是()A.⫋ B.⫋ C. D.数集，，则，之间的关系是()A.⫋ B.⫋ C. D.设集合，，则.设集合，，则.已知集合，，则集合的子集为个.设，，若，则所有满足条件的的集合是.若，集合，求的值.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中仅参加数学、物理两科的有10人，仅参加物理、化学两科的有7人，仅参加数学、化学两科的有11人，而同时参加数、理、化三科的有4人，求全班人数.已知集合，且，求实数的取值范围.已知集合，.若，求实数的取值范围；若⫋，求实数的取值范围.已知，，若，求实数的取值范围.已知全集，，，，求集合和.已知集合，.若，求实数的取值范围；当取使不等式恒成立的的最小值时，求.已知集合，，是否存在集合同时满足以下三个条件：中含有3个元素；②；③.若存在，求出集合；若不存在，说明理由.

第5讲充分条件与必要条件命题命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.命题的形式：数学中命题常写成“若，则”或者“如果，那么”，通常我们把命题中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.四种命题：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.原命题为“若，则”,则逆命题为“若，则”.

(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的否命题.原命题为“若，则”,则否命题为“若，则”.

(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.

若原命题为“若，则”,则逆否命题为“若,则”.

充分条件和必要条件定义：一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时我们就说，由可以推出，记作.并且说，是的充分条件，是的必要条件.相反，“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.充要条件：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件.重点剖析：对充分条件的理解设集合，.若,则是的充分条件;若,则不是的充分条件.我们说是的充分条件，是指由条件可以推出结论，但并不意味着只能由这个条件才能推出结论，一般来说，对给定的结论，使得成立的条件是不唯一的.例如：.但是,当时,也可以成立,故“”是“”的充分条件.对必要条件的理解设集合，.若,则是的必要条件;若,则不是的必要条件.我们说是的必要条件，是指以为条件可以推出结论，但并不意味着由条件只能推出结论.一般来说，对给定的条件，由可以推出的结论是不唯一的.例如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.另外，若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.显然这两个命题都是正确的.3.证明命题充要性时，既要证明原命题成立(充分性)，又要证明它的逆命题成立(必要性).判断下列说法是否是命题.如果是命题，判断其真假.；垂直于同一条直线的两条直线平行么？；武汉市坐落于湖北省；若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.把下列命题写成“若，则”的形式,并判断其真假.实数的平方是非负数；底边相等且高相等的两个三角形是全等三角形；能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；若，则；若，则；若为无理数，则为无理数.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；若两个三角形相似，则两个三角形的三边成比例；若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；若，则；若，则；若为无理数，则为无理数.下列各题中，哪些是的充要条件？四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分；两个三角形相似，两个三角形三边成比例；：，；是一元二次方程的一个根，.设，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.求关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件.已知全集，非空集合，.当时，求；命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.跟踪训练“”是“”的()充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件设，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件设，；若是的必要不充分条件，则实数应满足()A. B. C.D.设实数满足(其中)，.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是.已知条件，条件.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.已知是非零实数，且，求证：的充要条件为.

第6讲全称量词与存在量词全称量词与存在量词概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.(全称量词命题的形式：)短语“存在”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.(存在量词命题的形式：)全称量词命题和存在量词命题的否定假设全称量词命题为“”，则它的否定为“并非任意一个”，也就是“”.假设存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在”，也就是“”.判断下列全称量词命题的真假.所有的素数都是奇数；；对任意一个无理数，也是无理数.判断下列存在量词命题的真假.有一个实数，使；平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；有些平行四边形是菱形.写出下列命题的否定，并判断真假.所有能被3整除的整数都是奇数；对任意，的个位数字不等于3；存在一个实数的绝对值是正数；有些平行四边形是菱形；；；任意两个等边三角形都相似；.由下列四个命题：①；②；③；④，为29的约数.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4命题的否定是() B.C. D.命题的否定是() B.C. D.已知，对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是.跟踪训练下列四个命题中真命题是()A. B.C. D.将“”改写成全称量词命题，下列说法正确的是() B.C. D.命题“，使”的否定是() B.不存在，使C. D.命题“”的否定为() B.不存在，使C. D.若“”为真命题，则实数应满足()A. B. C. D.若是真命题，则实数的取值范围是.已知命题“，使得”是假命题，则实数的最大值是.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是.

第7讲等式性质与不等式性质实数比较大小的“标杆”：①若，则；②若，则；③若，则.等式有以下基本性质：性质1性质2性质3性质4性质5，不等式基本性质：性质1性质2性质3性质4；性质5性质6性质7比较下列代数式的大小：与；与.用十字相乘法分解下列因式：；.设，，，那么的大小关系式为.已知，，，，则的大小关系是()A.B．C．D．实数满足条件：①；②③，则有()B.C.D.已知，有以下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若且，则.其中正确的是_______．(填上所有正确命题的序号)已知，试证明：.已知，求的取值范围；已知，求的取值范围.若，，且，则下列代数式中值最大的是()A.B.C.D.跟踪训练设,则的大小关系是()A. B. C. D.已知则的大小关系为()A. B.C.D.已知，则下列不等式中成立的是()A. B．C． D．若，则下列不等式中一定成立的是()A.B.C． D.若，则下列各式中恒成立的是()A. B．C． D．已知，记，则的大小关系是()A. B． C． D．不确定设，则的大小关系是()A. B. C. D.不能确定已知，那么下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若且，则D.若且，则已知，则以下不等式中恒成立的是()A. B. C. D.

设，给出下列四个结论：①；②；③；④.正确的结论有.(写出所有正确的序号)已知均为实数，有下列命题①若，则；②若，则；③若，则.其中正确的命题是________．已知，求的取值范围.已知，则的大小关系是.(用“”连接)设为实数，比较与的大小.

第8讲基本不等式基本不等式：对于任意的正实数，(当且仅当时，等号成立)叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.变形：使用原则：变形：一正：一般要求同为正；二定：或为定值；三相等：当且仅当时，不等式取得等号.已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？已知，求的最小值；若，有最大值还是有最小值？已知，则的大小关系为()A.B.C.D.已知，则的最大值为；已知，则的最大值为.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.解：令解：令，则，故设，则的最小值为.已知，，则的最小值为；已知，，则的最小值为；已知，，则的最小值为.设，若，则的最小值为； 已知，，则的最小值为.已知，若，则的最大值为；已知，若，则的最小值为.已知，，则的最小值为；已知，，则的最小值为.若，则的最小值为；已知，且，则的最小值为()A.3 B.4 C.5 D.6证明下列不等式：；已知为正数且，求证：.

跟踪训练已知，且，在下列四个数中最大的是()A. B. C. D.已知，则的最小值为.已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为.已知，当且仅当时，取得最小值，则实数.已知，且，则的最小值为.若实数满足，则的最小值为.已知，，则的最小值为.已知，且，则的最小值为.已知正数满足，那么的最小值为.已知，则的最大值为.当时，不等式的最小值为.已知，且，则的最小值为()A.3 B.4 C. D.5已知，则的最小值为.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(空白部分)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.试用表示；若要使最大，则的值分别为多少？

第9讲二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式.其一般形式为或，其中均为常数，且.一元二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的的零点.例如：二次函数的两个零点是.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解或所有实数的解无解无解解一元二次不等式的步骤：①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.示意图如下：将原不等式化成将原不等式化成的形式计算计算的值方程有两个不相等的实数根方程没有实根方程有两个相等的实数根方程有两个不相等的实数根方程没有实根方程有两个相等的实数根不等式的解或所有实数不等式的解或所有实数不等式的解分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！解下列二次不等式(1)；(2)；(3)应满足什么条件才能使有意义？若，解关于的不等式.解下列分式不等式；(2)；(3)已知二次函数，令，解得.求二次函数的解析式；当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围；方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围；取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围.若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围；若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；已知函数，当时恒有，求实数的取值范围；已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．跟踪训练解下列不等式：；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)二次方程的两根为，若，则不等式的解为.已知，则关于的不等式的解是()A.或B.或C.D.若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足()A. B.或 C. D.或在上定义运算：，则满足的实数的取值范围是()A.B.C.或D.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是.当时，方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

第10讲函数的概念及其表示函数的概念函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.思考：值域与集合是什么关系？说明：①“是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.区间的概念①设定义符号名称闭区间开区间半开半闭区间②符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.定义符号函数的表示方法①解析法；②图象法；③列表法.题型一函数的概念在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应法则；，对应关系如图：若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是()判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.；；；；.已知函数.分别求下列函数值：①.②.③.④.⑤.⑥.⑦.⑧.⑨.若，则.题型二函数的定义域求下列函数的定义域.已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域；若函数的定义域为，求函数的定义域.题型三函数解析式已知函数为一次函数，满足，求的解析式；已知函数为一次函数，且，求的解析式.已知，求的解析式；已知，求的解析式；已知，求的解析式.已知，求的解析式；已知函数满足，求的解析式；已知函数满足，求的解析式.题型四函数值域求下列函数的值域：(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)

求下列函数的值域. (2)(3)(4)题型五分段函数若函数，则.已知，若，则.已知，则不等式的解集是.把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.(2)(3)(4)跟踪训练下列各图像中，是函数图像的是()函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.0个或1个均有可能函数的定义域是()A. B. C. D.已知，若，则的值是()A.1 B.1或 C.1或或 D.若函数的定义域是，则的定义域是()A. B. C. D.已知函数的定义域是，则的定义域为()A. B. C. D. 已知，则()A. B. C.1 D.0已知，若，则.已知，则.函数，若，则的取值范围是.已知函数满足，则的解析式是.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)画出下列函数的图像：(1)；(2)；(3)

第11讲函数的单调性与最值单调性概念及性质单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)名称定义几何意义图形表示增函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.的图象在区间上呈上升趋势减函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.的图象在区间上呈下降趋势2.单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；④定论——根据符号下结论.判断函数单调性的方法：定义法；图像法；性质法：①与具有相同的单调性；②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；④当恒不为零时，与具有相反的单调性；⑤当时，与具有相同的单调性．若函数的定义域为且满足，则函数在上为()A．增函数 B．减函数 C．先增后减D．不能确定函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.(2)研究函数的性质.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.(1)(2)(3)函数最值函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最大值.函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最小值.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.求下列函数的值域.(1)(2)

若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．设函数，其中为常数.对任意，当时，，求实数的取值范围；在(1)的条件下，求在区间上的最小值.定义在上的函数满足，且当时，.求的值；求证：；求证：在上是增函数；若，解不等式；比较与的大小.跟踪训练下列函数在区间上是增函数的是()A.B. C. D.已知在区间是增函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.函数的图象的对称轴为直线，则()A. B.C. D.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.求函数在区间上的值域是_______.函数在区间的最大值为4，则________.若函数在上递增，在上递减，则___.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．已知是定义在上的减函数，则应满足()A. B. C. D.若函数与在上都是减函数，则的取值范围是()A.B.C.D.已知函数，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.已知函数的值域为，则实数的取值范围是.已知函数.当时，求的最小值；当时，求的最小值；若为正常数，求的最小值.利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．已知函数对任意，总有，且当时，，.求证：是上的减函数；求是上的最大值和最小值.设，当时，恒成立，求的取值范围．已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.

第12讲函数的奇偶性奇函数、偶函数的定义奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.奇函数、偶函数的性质奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；④.偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.用定义证明函数奇偶性的步骤：①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;②化简的解析式.③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.判断函数奇偶的方法定义法；图像法；性质法:①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.(性质法里面需要注意定义域)函数的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数的定义域为，且，则是奇函数设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是()A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数已知函数是奇函数，则________．函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．函数是定义在区间上的奇函数，且．确定函数的解析式；用定义证明：在区间上是增函数；解不等式：．

跟踪训练已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于()A．3 B．2 C． D．下面五个命题中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.A.2 B.3 C.4 D.5对于定义在上的任意奇函数，都有()A.B.C.D.若函数为偶函数，则() B． C． D．函数的图像关于()A.轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为()A.B.C.D.已知函数，则下列结论正确的是()A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是()A.增函数且最小值是B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是D.减函数且最小值是若函数是偶函数，则的递减区间是.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．若函数是奇函数，则实数的值为______．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是．已知，则．已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.求；解不等式.判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解集.已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．

第13讲幂函数图像及其性质1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．2.幂函数的图象3.幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．其中当时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当时，幂函数在递增的趋势越来越慢，图像上凸.④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．基础强化下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是() A． B． C． D．函数在区间上的最大值是()A． B． C．4 D．下列所给出的函数中，是幂函数的是()A． B． C． D．函数的图象是() ABCD下列命题中正确的是()A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过和点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限函数和图象满足()A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称函数，满足()A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数函数的定义域是.函数是偶函数，且在是减函数，则整数的取值集合是.函数的单调递减区间是.比较下列各组中两个值大小(1)和； (2)和下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(A)(B)(C)(D)(E)(F)

跟踪训练下列函数中，值域是的函数是()A．B．C．D．函数的图象()A．关于直线对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于轴对称幂函数的图象一定经过点()A． B． C．D．已知幂函数的图象经过点，则的值为()A．16B. C. D．2下列结论中，正确的是()①幂函数的图象不可能在第四象限②时，幂函数的图象过点和③幂函数，当时是增函数④幂函数，当时，在第一象限内，随的增大而减小A．①②B．③④ C．②③ D．①④在函数中，幂函数有()A．1个B．2个 C．3个 D．4个已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则()A．B．C．D．已知幂函数的图象经过，则.已知函数，为何值时，是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．

第14讲指数与指数幂的运算根式(1)根式的概念：如果存在实数，使得，那么称为的次方根．式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．(2)根式的性质①当为奇数时，有；②当为偶数时，有；③负数没有偶次方根；④零的任何正次方根都是零；幂的有关概念(1)正整数指数幂的定义：(2)零指数幂1；(3)负整数指数幂；(4)正分数指数幂；(5)负分数指数幂；(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.3.有理指数幂的运算性质(1)；(2)；(3)利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.；(2)；(3)；(4).用分数指数幂的形式表示下列各式.(1)；(2)；(3).求下列各式的值.(1)； (2)；(3)；(4)；(5)；(6).化简求值.(1)；(2)；； (4)；(5)；(6).已知，求的值；已知，其中，试用将下列各式分别表示出来：(1)；(2).

跟踪训练下列各式中成立的是()A. B. C. D.计算的结果是()A. B. C. D.若，则的值为()A.2 B.3 C.2或3 D.2或若，则化简的结果是()A. B. C. D.若，则实数满足()A.B.C. D.已知，则()A. B. C.1 D.无答案若，则.计算化简：；.已知，求的值.已知，且，求.第15讲指数函数指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数的图像及性质函数名称指数函数定义函数叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)(，且)比较下列各题中两个值的大小：(1) (2)(3) (4)比较大小问题的处理方法：1：看类型2：同底用单调性3:其它类型找中间量比较大小问题的处理方法：1：看类型2：同底用单调性3:其它类型找中间量函数的图象一定通过点.若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有()A. B.C. D.二次函数与指数函数的图象只可能是()A B C D解方程：.求下列不等式的解集：； (2)求函数的定义域和值域：； (2)；； (4)(1)求函数的单调区间；(2)求函数的单调减区间.方程的实数解的个数为.跟踪训练下列函数中，可以称为指数函数的是()A. B. C. D.下列关系式中正确的是()A. B.C. D.设满足，下列不等式中正确的是()A. B. C. D.函数的图象如图，其中为常数，则下列结论正确的是()A． B．C． D．指数函数①，②，③，④的图象如图,则与1的大小关系是()A. B.C. D.函数图象的大致形状是()A B C D已知指数函数图像经过点，则__________.函数的图象恒过定点____________.如果指数函数在上是减函数，那么实数的取值范围是_________.若函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围分别是_____________.方程的实根的个数为___________.解方程：(1)； (2)解不等式：(1)； (2)求函数的值域.讨论函数的单调性.已知函数.判断的单调性和奇偶性；当时，解不等式.

第16讲对数运算与对数函数一.对数的概念一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”.【定义理解】训练1.将下列指数式写成对数式：(1)； (2).训练2.将下列对数式写成指数式：(1)； (2).二.对数运算法则计算： (2) (3) (4)(5) (6) (7)练习1：计算：(1) (2) (3) (4)(5)(6)(7)已知，,用表示.三．对数函数的概念1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.四．对数函数的性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，时时时时在上是增函数在上是减函数函数是对数函数，则实数________．比较下列各组中两个值的大小．(1)；(2)；(3)求下列函数的定义域．(1)(2)(3)求下列函数的值域：(1)(2)已知，求的最大值及相应的的值．五、对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.(2)对数函数的图象变换的问题①②③④若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为.作出函数的图象．解下列不等式：(1)；(2)．若，求实数的取值范围.求函数的单调区间．求函数的单调区间．已知在上是增函数，求实数的取值范围．判断函数的奇偶性.已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求使的的取值范围．扩充：反函数(1)对数函数的反函数指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．若函数是函数的反函数，且，则(