毕业论文：隐函数定理及其应用

哈尔滨工业大学工学硕士学位论文齐齐哈尔大学毕业设计（论文）-PAGEII--PAGEI-摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用.对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用.本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程.这些推论使隐函数定理的应用更加广泛.并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicitfunctiontheoremofmathematicalanalysisandhighermathematicsisoneoftheimportanttheorem,itisnotonlythemathematicalanalysisandhigheralgebrainthetheoreticalfoundationofthemany,anditalsoformanybranchesofmathematics,suchasfunctionalanalysis,ordinarydifferentialequation,differentialseveralfurtherresearchhowtoprovidethesolidtheoreticalbasis.Implicitfunctiontheoremhasaverywiderangeofapplication,ineconomics,optimizationtheory,suchasextremeconditionswhichisanimportantrole.Thistopicresearch,candeepenourunderstandingofthedifferentialcalculusandunderstanding.Thispaperbrieflydiscussestheconceptofimplicitfunction,thecontentoftheimplicitfunctiontheoremandprovemethod,andimplicitfunctiontheoreminallaspectsoftheapplication.Thispaper,fromtheimplicitfunctiontheoremaregiven,andthecorollaryofimplicitfunctiontheoremandthegroupFanHanShugrouptheoremandproofoftheirprocess.Theseclaimsthattheapplicationofimplicitfunctiontheoremandmoreextensive.Andinthelightofimplicitfunctiontheoreminthecalculationofthederivativeandpartialderivative,geometricapplication,conditionalextreme,andtheseveralaspectsoptimizationtheoryoftheapplicationofthesystemisalsodiscussedinthepaper.Keywords:implicitfunctiontheorem;Application;Optimizationtheory;proofPAGEII--目录摘要 IAbstract II绪论 1第1章隐函数 21.1隐函数 21.2隐函数组的概念 21.3反函数组的概念 3第2章隐函数定理 42.1隐函数定理 42.2隐函数组定理 62.3反函数组定理 7第3章隐函数定理的应用 93.1计算导数和偏导数 93.1.1隐函数的导数 93.1.2隐函数组的导数 93.1.3对数求导法 103.1.4由参数方程所确定的函数的导数 103.2几何应用 113.2.1空间曲线的切线与法平面 113.2.2空间曲面的切平面与法线 143.3条件极值 153.3.1无条件极值 153.3.2拉格朗日乘数法 163.4最优化问题 183.4.1无约束最优化问题 183.4.2约束最优化问题 19结论 21参考文献 22致谢 23-PAGE10--PAGE20-绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数.隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究.隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用.对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理.我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论.法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究.我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法.我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用. 隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式.在这一章里，我们将具体地研究隐函数.隐函数以前接触的函数（对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数.如，=等.定义1.1[1]若自变量与因变量之间的对应关系是由某个方程所确定的，即有两个非空数集与，对任意,通过方程对应唯一一个,这种对应关系称为由方程所确定的隐函数.记为，，则成立恒等式，例如，二元方程在上确定（从中解得）一个隐函数.隐函数不一定能写成的形式，如，因此隐函数不一定是函数，而是方程.其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].隐函数组的概念定义1.2[3]设和为定义在区域上的两个四元函数，若存在平面区域,对于中每一点，分别在区间和上有唯一一对值,,它们与，一起满足方程组(1-1)则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域上，值域分别在和内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为，则在上成立恒等式，反函数组的概念定义1.3[4]设有函数组，(1-2)如果能从此函数组(1-2)中，把，分别用，的二元函数表示出来，即，(1-3)则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.隐函数定理定理2.1[5]若函数满足下列条件(1)(2)在点的一个邻域中,函数连续(3)则有下列结论成立：①在点的某个邻域内,方程唯一确定了一个定义在某区间内的隐函数，满足且；②在区间内连续；③在区间内具有连续的导数，满足证为了不失一般性，不妨设.首先证明隐函数的存在性与惟一性.由，我们知道是连续的，由的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域有所以，对任意的，在上严格单调增加.因为，所以可得又由于在上是连续的，所以存在，使得所以，对于每一个固定的，在上都是严格单调增加的连续函数，并且有因为零点存在定理，存在惟一的，使得.因此由与的对应关系就确定了一个函数，其定义域为，值域包含于，记为：从而结论①得以证明.其次证明隐函数的连续性.任意取，对于任意给定的充分小的，可以得到因为连续函数的保号性可知，存在，当时，有因此，当时，由关于的单调性，相应于的隐函数值满足，于是，即，所以在连续.最后证明隐函数的可微性.任取和都属于，它们相对应的隐函数值为和，那么由多元函数微分中值定理，可得在这里，.因此，当充分小时.因为和是连续的，取极限可得且在内连续.相应的，我们能够得出由方程所确定的元隐函数的存在定理：定理2.2[6]如果满足下列条件(1)；(2)在点的一个邻域内,函数连续；(3)，那么则有以下结论成立：①在点的某个邻域内,方程惟一确定了一个定义在点某邻域内的隐函数，满足，且；②在邻域内连续；③在邻域内具有连续的偏导数，满足.例2.1验证方程在原点的某邻域内确定唯一的连续函数.证由于与都在上连续，当然在点的邻域内连续，且由此可知方程在点的某邻域内确定唯一连续的隐函数.隐函数组定理下面我们将给出由方程组所确定的隐函数组的存在定理.定理2.3[7]设以及它们的一阶偏导数在以点为内点的某区域内连续，且满足(1)(2)则方程组在的某邻域内唯一确定两个隐函数，，有下列结论成立：①，则有②在邻域内具有连续的一阶偏导数，且例2.2[8]验证方程组在点的邻域内确定隐函数组，并求，.解令，则：与以及它们的一阶偏导数都连续且，所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组在方程两端同时对求导得解得，反函数组定理定理2.4[9]若函数组满足如下条件：(1)均具有连续的偏导数(2)则函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有，，，及或定理2.5若函数组满足如下条件：(1)均具有连续的偏导数(2)则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组且有例2.2[10]在中的一点，其直角坐标与相应球坐标的变换公式为其中，则函数组（除去轴上的点）可确定反函数组.证由于由反函数组定理，函数组（除去轴上的点）可确定分别是的函数，事实上，函数组的反函数组为，，.隐函数定理的应用计算导数和偏导数隐函数的导数[11]设方程确定一个单值可导函数，将代入方程得恒等式，在恒等式两边对求导，便得到一个含有的方程，解出就求出了隐函数的导数，在恒等式两边对求导时，必须注意是的函数，要利用复合函数求导法.例3.1求由方程所确定的隐函数对的导数.解我们在方程两端对求导，注意是的函数，于是则是的复合函数，运用复合函数求导法可得所以.隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3.2求函数的偏导数.解(1)当时，有(2)当时，根据偏导定义有：综合(1)(2)得：对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3.3计算的导数.解先在两端取自然对数，得：再应用隐函数求导法，在上式两端对求导，得所以得由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程确定了是的函数，则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数具有单调连续的反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数就可以看成是由，复合而成的函数，假设，都可导且，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：；；即若都二阶可导，则有：例3.4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为求抛物体在此时刻的运动速度的大小和方向.解先求速度的大小，由于速度的水平分量为，垂直分量为，所以抛物体运动速度大小为再求速度的方向，即轨道的切线方向，设是切线的倾角，则由导数的几何意义有所以抛物体刚射出（即）时当时这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.几何应用空间曲线的切线与法平面[13]3.2.设空间曲线的参数方程为：(3-1)取定曲线上点，设式(3-1)中3个函数都在点可导.且在的附近取动点，则割线方程为其中，，.以除以上式分母得==当时，,且，，.所以曲线在处得切线方程为==其切向量.因为曲线在点的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与平行，设法平面的法向量为，则=.从而过点的法平面方程为特别地，如果空间曲线的参数方程以为参数，即：则在点的切线方程为切向量为，在点处的法平面方程为：如果为平面曲线，，则过点切线方程为：或切向量为.例3.5[13]求螺旋线在处的切线方程与法平面方程.解由，则切线方程为：即因此法平面方程为：3.2.设空间曲线由方程组(3-2)给出，设它在点的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点附近可确定唯一连续导数的隐函数组，，（亦即的参数方程），满足：且故曲线在点的切线方程为：==(3-3)曲线在点的法平面方程为：++=0(3-4)同理，可证当或时，曲线在点的切线方程为(3-3)式，曲线在点的法平面方程为仍为(3-4)式.例3.6求曲线在点处的切线与法平面方程.解令，首先求偏导数，得：，，，，，则曲线在点的切线方向向量为：故切线方程为法平面方程为空间曲面的切平面与法线[14]定义3.1在空间曲面上，过点的任一曲线在点处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面在点的切平面.先讨论曲面的方程为的情形，其次把显式给出的曲面方程作为它的特殊情形.设曲面由方程给出，其中具有一阶连续的偏导数，在曲面上，过点的任一曲线的参数方程为，其中均可导，则曲线在点处的切线方向向量为，由于曲线在曲面上，故有，对上式两端关于求导，得：即这表明向量与曲面上过点的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量为法向量且过点的平面内，从而曲面过点的切平面的法向量为：于是过曲面上点处的切平面方程为：过点处的法线方程为：==上述讨论中，都假设不全为零，现在来考虑曲面的方程为的情形，其中都有连续的偏导数，令使方程变形为则：所以曲面在点的法向量为：故曲面在点的切平面方程为：曲面在点的法线方程为：==，其中曲面：上的法向量可以是，也可以是，但当曲面的法向量向上时（即法向量正向与轴正向夹角满足大于0小于时）的法向量应为.例3.7[15]求球面在点处的切平面及法线方程.解设，则球面在点处的法向量为，所以球面在点的切平面方程为：即：法线方程为：.条件极值无条件极值3.3.定义3.2设函数在点的某邻域内有定义，如果对都有或（）则称为函数的一个极大值（或极小值），此时点称为的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3.3.1(1)极值存在的必要条件定理3.2设函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则在该点的偏导数为零，即，证不妨设函数在点处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点的某邻域内异于点的点都适合不等式﹤，特别的，在该邻域内取，的点，也有﹤，这表明一元函数在处取得极大值，因此必有，同理，(2)极值存在的充分条件定理：设函数在驻点的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：，，，①当﹤0时，在点具有极值，且当﹤0时有极大值，当﹥0时有极小值.②当﹥0时在点没有极值.③当=0时，在点可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数的极值.解方程组，求得驻点为和再求出二阶偏导数，，在点处，,,,故函数在点处取得极大值，在点处，，故点不是函数的极值点.拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数在条件(3-5)下取得的极值就是条件极值.现在讨论函数在条件取得极值的必要条件.设函数在点的某一邻域内，均有连续的一阶偏导数，且，则方程能唯一确定是的具有连续导数的单值函数，将其代入函数，得一元函数，于是二元函数在点取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：(3-6)又由隐函数求导公式，有：代入(3-6)式中得：即：(3-7)(3-5)、(3-7)式就是在条件下，在点取得极值的必要条件.令即：(3-8)则(3-7)式变为(3-9)由(3-5)(3-8)(3-9)式得函数在取得条件极值的必要条件是：(3-10)实际上(3-10)式可看作函数，在点取得无条件极值的必要条件.因此为了便于记忆，求函数在条件下的可能极值点，可以构造辅助函数，其中为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数为拉格朗日函数，分别求对的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组解此方程组得，其中就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3.9[18]求函数，在条件下的最小值.解作拉格朗日函数对求偏导并令其为零，得：解得唯一稳定点：故所求最小值为：最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题.最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D上，求一组使：或：这也是一个在D上求函数的最大值或最小值问题.例3.10用铁板做一个体积为的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解设水箱的长为m,宽为m，则高为m水箱所用材料的面积为：这样所给问题就转化为在域上求使此函数达到最小的用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：得：根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，且在开区域内取得，同时函数在内只有唯一驻点，因此可以肯定当，取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为m、m、m时，水箱所用材料最省.约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形.这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围上，求一组满足约束条件的，使或，这也是一个有条件地求函数在上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解.令一种方法是拉格朗日乘数法.例3.11求表面积为而体积最大的长方体的体积.解设长方体的长、宽、高分别为则问题就是求函数在条件下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数对分别求导，并令其同时为零，得方程组：解此方程组得，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，最大体积为.齐齐哈尔大学毕业设计（论文）结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。在这些定理的基础上我们得出了反函数定理。隐函数的应用十分广泛，特别是在计算导数上使问题更加简便，本文就隐函数的导数问题做了简单的研究，并举例说明了隐函数一阶导数及高阶导数的计算方法。隐函数求偏导数是数学分析的重要内容之一，它在数学的分支有广泛的应用(如数学物理方程、微分方程等)。利用隐函数求偏导数可以求平面曲线、空间曲线的切线和空间曲面的切平面等。本文针对隐函数极值存在的必要、充分条件进行了论述并给出了应用实例。并介绍了条件极值中的拉格朗日乘数法及其严格的证明。隐函数定理的应用也体现在现实生活中，在最优化问题中，它为我们解决了“效益最高”、“成本最低”等问题。本文中我们将其分为无约束最优化问题和约束最优化问题两个方面进行研究。本文主要讲述了用隐函数定理解决问题，事实上，隐函数定理用途颇广，它已成为国内外很多学者的研究对象，根据实际问题的需要会加快这门学问的发展速度．参考文献[1]周运明.数学分析(上册)[M].科学出版社,2008:196-200.[2]孙清华.数学分析[M].华中科技大学出版社,2003,310-313.[3]郝涌.数学分析选讲[M].