【高考必备】圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：Q1,Q2x2y21上两个动点，且OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂为椭圆2b22b线OD，求D的轨迹方程.解法一（惯例方法）：设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)，D(x0,y0),设直线Q1Q2方程为ykxm，ykxm联立x2y2化简可得:2b2b21(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0，因此2b2(m2b2)b2(m22b2k2)x1x22k2b2,y1y22b2k2b22b由于OQ1OQ2因此x1x2y1y22b2(m2b2)b2(m22b2k2)2(m2b2)m22b2k2=02b2k2b22b2k2b22k212k213m22b2(1k2)又由于直线Q1Q2方程等价于为yy0x0(xx0)，即yx0xx02y0对照于y0y0y0x0ky02ykxm，则代入中，化简可得：222.2x0y0bx03y0my0圆锥曲线齐次式与点乘双根法解法二（齐次式）：mxny1mxny1设直线Q1Q2方程为mxny1，联立x2y21x2y2102b2b22b2b2x2y2(mxny)20化简可得:x2y2222y22mnxy02b2b22b2b2mxn整理成对于x,yx,y的齐次式：(22b2n2)y2(12m2b2)x24mnb2xy0，从而两边同时除以x2，则(22b2224mnb2k12m2b2012m2b2n)kk1k22n222b由于OQ1OQ2OQ1OQ2因此k1k2112m2b21，2b2n2232b2(m2n2)又由于直线Q1Q2方程等价于为yy0x0(xx0)，即yx0xx02y0对照于y0y0y02x02mx0y02mxny代入中，化简可得：2221，则y0x0y0b.n3x02y02例2：已知椭圆x2y21，设直线l不经过点P(0,1)的直线交于A,B两点，若直线PA,PB4的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点.圆锥曲线齐次式与点乘双根法解：以点P为坐标原点，成立新的直角坐标系x'py'，如下图：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)x'xAA'因此y1BB'y'y11y211y1'y2'本来kPAkPB1x2则变换到新坐标就成为：1x1x1'x2'即k1'k2'1设直线l方程为：mx'ny'1原方程：x24y24则变换到新坐标就成为：x'24(y'1)24睁开得：x'24y'28y'0圆锥曲线齐次式与点乘双根法结构齐次式：x'24y'28y'(mx'ny')0整理为：(48n)y'28mx'y'x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'28mk'10因此k1'k2'8m1因此2m148n2n1mn2而mx'ny'1(n1)x'ny'1n(x'y')x'10对于随意n都成立.22x'y'0x'2x2则：x'0y'，故对应原坐标为y因此恒过定点(2,1).2121例3：已知椭圆x2y21，过其上必定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭82圆于A,B两点，证明：直线AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，成立新的直角坐标系x'py'，如下图：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')圆锥曲线齐次式与点乘双根法即(2,1)(0,0)x'x2AA'因此y1BB'y'本来kPAkPBy11y210则变换到新坐标就成为：y1'y2'0x210x12x1'x2'即k1'k2'0设直线AB方程为：mx'ny'1原方程：x24y28则变换到新坐标就成为：(x'2)24(y'1)28睁开得：x'24y'24x'8y'0结构齐次式：x'24y'24x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0整理为：y'2(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'2(4n8m)k'14m0因此k1'k2'4n8m0因此n2m48n而mx'ny'1mx'(2m)y'1mx2my10.因此k=12平移变换，斜率不变，因此直线AB斜率为定值1.2圆锥曲线齐次式与点乘双根法二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上极点为A，左右极点分别为F1,F2，线段OF1,OF2中点分别为B1,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过B1作直线l交椭圆于

P,Q两点，使

PB2

QB2，求直线

l的方程

.解：（1）x2y21204（2）易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：yk(x2)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由于

PB2

QB2，则PB2

QB2=0，因此(x12,y1)(x22,y2)0(x12)(x22)k2(x12)(x22)0yk(x2)222现联立22xyx5k(x2)2002041则方程x25k2(x2)2200能够等价转变(15k2)(x1x)(x2x)0即x25k2(x2)220(15k2)(x1x)(x2x)令x2，480k220(15k2)(x12)(x22)(x12)(x22)80k21615k2圆锥曲线齐次式与点乘双根法令x2，4020(15k2)(x1