数形结合的思想方法-高考题选讲

数形结合的思想方法(高考题选讲数结的想法(2)---高考选数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：数形本是两依倚，能分作两边数缺形时少直观，形少数难入.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这解决问题过程中数与形相互转化的研究策略是数形结合的思.形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起.在使用过程中由形到数的化往较显由数到形”的化却需要转化的意识此数形结合思想的使用往往偏重于数到形的化.考中对试纲说中调在高考中充分利用选择题和填空题的题型特点为考查形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的识，而在解答题中虑到推理论证的严密性数关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以到数的化为.”注重形内与展突对数直能的查【例】图有面积关系

则由图有积关系：

解：【点评】本注重考查图形分能力.

思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举

体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原【例2如所示，已知椭圆

=1的、右焦点分别为F，，点在圆，若F，F122是一个直角三角形的三个顶点，则点Px轴距离为.解以Ｏ为圆心以ＯＦ为径圆可知此圆与椭圆无交点eq\o\ac(△,Ｆ)eq\o\ac(△,)Ｆ中ＰＦＦ（或ＰＦ）121为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，选Ｄ.【点评】本以作图直观判断突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问【例３】某城市各类土地租价y万元）与该地段和市中心的距离x（km关系如图所

其中l1

表示商业1

用地，l2

表示工业用地，l3

数形结合的思想方法(高考题选讲表示居住用要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

与市中心距离分别为3km和的环型区域上与市中心距离分别为1km和的环型区域上与市中心距离为km的区域外与市中心距离为的域内解：由函数y的际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为km和km的环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这区域应租用给工业，故选B.【点评】这题考查的是阅读解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习.注重图突对手力探究学的查【例４】设奇函数fx）义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时（x）图象如下图，则不等（x<0的集是____.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成fx）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴方的区域，从而得到不等式fx）<0解集为（，0∪，］.【点评形结合的方法去分析解决问题除了能读图外能画图绘制图形既是数形结合方的需要，也是培养我们动手能力的需要【例５设合Ｕ＝xyxRy∈R，x）－｝Ｂxy-≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（

B的充要条件是（）Ａ.m>-1，n<5Ｃ.m<-1，n>5

Ｂ，n<5Ｄ，n>5解假点２直和线上m=-1n=5.再确定两个不等式和所共同确定的区域，平移两直线得到答案.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能.注重思的活和造的考【例６】已知点Ｐ是椭圆

上的动点，Ｆ，分是左、焦点，Ｏ为原点，则1２的取值范围是（）2

数形结合的思想方法(高考题选讲解：此题的一种解法是：eq\o\ac(△,在)ＦＦ中根据中线定理得：PF1+PF2＝Ｏ+2FＯ，再椭圆定1义，得到（-PF）1

＝Ｏ－６，由Ｏ≤2

得答案Ｄ另种解法是数结合，根据Ｐ点所处的位置对

取值的影响来判断出结论

逐渐移动Ｐ点到长轴端点，Ｏ值渐增大，逐渐接近，移动Ｐ点到轴端点时＝PF，1小值0.而判断出答案为

取最【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位运用动态思维方式处理研问题揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性注重法通性应性突出力查【例】电信局为了满足客户的不同需求，制定了AB两话费计算方这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示MNCD）（1）若通话时间为小时，按方案A，各话费多少元？（2）方案500钟后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范内方案B才比方案A优？解：由M（60，），C，）（，230）∵∥设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为f（x），f（），AB（1）通话两小时的费用别是116元和元（2）由f（n+1）（）（）由线的斜的实际意义知方案B分钟以后每分BB钟收费元.（3由知当≤x≤60时f（<f（x当时f（>f（x当60<x≤500时令f（>fABABA

B3

2222222222（x）得x>

数形结合的思想方法(高考题选讲，即通话时间为（，时案B较【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用程中对能力的考查.下就考出的些关进点【例】若方程lg(－＋－m)lg(3x)在x∈(0,3)内唯一解，求实数m的值范围【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用次函数的图像进行解决。0【解】原方变形为m3即：(x设曲线＝－,x∈(0,3)直线y＝1－，图像如图所示。由图可知：12①当－＝时，有唯一解，＝②当1≤－m<4时有唯一解，3<m0,∴m＝或－3<m≤此题也可设曲线y＝(x－2)1

2

＋,x∈和线＝后画出图像求解。2【注】一般，方程的解、不式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合像分析只一个x值。【例9.直线L的方程为：x＝－

pp(p>0),椭中心D(2＋22

,0)，焦点在x轴上长半轴为，短半轴为1，它的左顶点为A。p什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距？【分析】由抛物线定义，可将题转化成p为值时，以为点、L为线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已得：a＝，＝A(

p2

,0)，设椭圆与双曲线方程并联有：

2

2)]4

2

y

2

p2，消y得：x－－7p)x＋(2p)＝04所以△＝－64p＋48p>0,即6p－8p2>0解得p<

13

或。pp结合范围,4+)内两根，设f(x)x－(47p)x(2p＋)，22所以

p41p<<4+即，f()>0f(4+即p>＋322

。4

2222222222222222222222)a－2n(3n＋15)a＋＋2222222222结合以上，所以4＋32<p<

13

数形结合的思想方法(高考题选讲。【注】本利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。【例10.设ab是个实数A＝{(x,y)|x＝ny＝nab}（∈）B＝{(x,y)|x＝y＝3m＋15}(m∈，＝{(x,y)|x＋≤144}，讨论是否，使得∩≠与a,b)C同时立。【分析】集合A、B都是连续的点集，“存在、b，使得∩B≠”的含意就是“存在a、使na＋＝3n

2

＋15(n∈有（A∩B时x＝＝再住主参数ab则此问题的几何意义是动点(a,b)在直线L：＋＝＋上，直线与圆＋＝有公共点，但原点到直线L的离≥12。【解】由∩≠φ得na＋b＝＋15;设动点a,b)在直线L：nx＋＝3n＋15，且直线与圆＋＝144有公共点，所以圆心到直线距离d＝

n

2

＝3(

n

＋

)≥∵n为整∴上不能取等号，故a不存。【注】集合化为点集（即曲），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：由A∩≠φ得：＋b＝＋,即b＝＋15－an（式）；由a,b)∈得，a＋≤144（式）；把①式代入②式，得关于a的等式：(1＋n

2222

－≤（式,它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－因为n是数，所以n－≠因而eq\o\ac(△,<0)eq\o\ac(△,)，又因为1n>0,③式不可能有实数解。所以不存在a、，使得A∩≠φ与a,b)∈同时立【例11已知f（），

=3证明对任意x∈［－１，１］恒有fx）≤

【点拨】从等式2a+6b=3联想到几何图形：椭.是一个好解法出现了5

222数形结合的思想方法(高考题选讲222这是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰.【例12设（log）＋（）logx+1-t，当∈［－２，２］时恒有，求x的围2【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t的围不是确定了吗？而且发现p是关于t的次函数.这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t降幂排列p=ft（log）22

2

，2∵t∈［－２，２］时成立（如图2），∴f－２）>0且f（２）>0∴x>8或0<x<.简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简【例13设≥1求点Ａ（x+，x-）与点Ｂ（１，０）之间的距离的最小.【点拨】Ａ是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？令z=x+，，则y

-z

（z）.这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一.用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断Ａmin=1.【例】【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起.如图３所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为，6

22数形结合的思想方法(高考题选讲22【例15丰富的想像，是数向形转化的前提，外形的启发，是构造图象的直接提数结合，既有它的优越性又有其局限性，它决非放之四海而皆准，只有那些因为数形结合而使得解答简捷的问题，我们才【点拨】读完题目与任