简单复合函数的导数

南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练§64 简单复合函数的导数班级姓名 等级一、填空题：1.(选修1-1p74练习第1题改编)函数y=30-21nX的单调增区间是 答案:答案:2.(选修1-1p74例1改编)已知函数f(x)的导函数f(X)的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是(填写符合题意的代号)答案：A(填写符合题意的代号)答案：A3.已知f(X)="X+X5+sinX，则其导函数f/(X)3.X2一、 3 5cc.答案：f/(X)=-—X-2+3X2-2x-3sinx+x-2cosx^24.已知函数g(4.已知函数g(X)=则其导函数g/(X)=答案：g/(X)=2(1-X)2.已知函数h(X)=(2x-3)5，则其导函数h/(X)=答案：h/(X)=10(2x-3)4.设函数f(X)=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)，则关于f/(X)二0有如下四个结论：⑴分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内的三个根；⑵有四个不等的实根；⑶分别位于区间(0,1)42( 内的四个根;

南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练⑷分别位于区间(0,1),2( 内的三个根。解析：令f(x)=0得x=1,2,3,4，则f/(x)=0的根在(1,2),(2,3),(3,4)内，答案：⑴二、解答题：.判断下列函数的单调性；f(x)=bx(b丰0,-1<x<1)；x2-1f(x)=x-2sinx,xg(0,2冗)解：(解：(1)f(x)=-b(x2+1)

(x2-1)2当b>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当b<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1,1)内是增函数;1⑵"x)二1-2cosx,xg(00),由f(x)>0，得cosx<21 兀5兀由f(x)<0，得cosx>2,，0<x<3,3<x<2兀,.兀5兀、 .兀、，5兀一、故f(x)在(—,——)内是增函数；在。=乂飞-，2兀)内是减函数。..…、ax-68.已知函数f(x)=——的图象在点M(-1,f(-1))处的切线万程为x+2y+5=0.x2+b⑴求函数y=fx)的解析式；⑵求函数y=fx)的单调区间.解⑴由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f(-1)+5=0,八， 1即八， 1即f(-1)=-2,f(-1)=--.Vf a(x2+b)-2x(ax-6)J(x)= 7TT(x2+b)2±6=-21+ba(1+b)+2(-a-6)(1+b)2a=2b-4即L(1+b)-2(a+6) 1解得a=2,b=3(Vb+1W0,・・.b=-1舍去) =-一[ (1+b)2 22x-6・••所求函数y=f(x)的解析式是y=——x2+3⑵f'(x)=—(x2+3)2—，令-2x2+12x+6=0，解得X[=3-2%：3,x2=3+2。3当x<3-2<3,或x>3+2<3时,f'(x)<0；当3-2<3<x<时,f(x)>0,南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练所以于(x)=2：?在(-8,3—2%：3)内是减函数;在(3—2。3,3+2心)内是增函数;x2+3在(3+2。3,+8)内是减函数。(08南通一模)设函数f(x)=(x+1)2—2klnx.(1)当k=2时，求函数f(x)的增区间；(2)当k<0时，求函数g(x)=f(x)在区间(0,2］上的最小值.―一_ . 4 2解：(1)k=2,f(x)=(x+1)2一4lnx.则f(x)=2x+2——=—(x-1)(x+2)>0,xx注意到x>0,故x>1,于是函数的增区间为(1,+R).(写为［1,+R)同样给分)(2)当k<0时，g(x)=f(x)=2x+2-生.g(x)=2(x+士)+2三4。一！+2,x x当且仅当x=-kk时，上述“三”中取“二”.①若v'-k£(0,2］，即当k£［-4,0)时，函数g(x)在区间(0,2］上的最小值为4v'-k+2；k②若k<-4,则g'(x)=2(1+一)在(0,2］上为负恒成立，x2故g(x)在区间(0,2］上为减函数，于是g(x)在区间(0,2］上的最小值为g(2)=6-k.综上所述，当k£［-4,0)时，函数g(x)在区间(0,2］上的最小值为4%匚一+2；当k<-4时，函数g(x)在区间(0,2］上的最小值为6-k.10,设函数f(x)=lnx+In(2-x)+ax(a>0)(1)当a=1时，求f(x)的单调区间。(2)若f(x)在(01］上的最大值为1，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。“、1 1解：对函数求导得：f(x)=---+a，定义域为(0,2)x2-x单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令f(x)=0得4-—^—+1=0n一;+：=0x2-x (2-x)当xe(0,v2),fXx)>0,为增区间；当xe«2,2),f\x)<0,为减函数。区间(01］上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练11当xe(01]有最大值，则必不为减函数，且f(X)=- +a>0,为单调递增区间。x2一x1最大值在右端点取到。于=/(D=a=。max 2X-1.已知函数f(X)= +ln(x+1),其中实数a丰1。x+a若a=-2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)的单调性。当②=2时/⑼=蒋£尸十二尢而削)=因此曲线”『⑴在点(0,/(G))处的切线方程为V--y)= -U),即74-廿-2=0,(H)因。由£1)知广(1)=科+占=占+上又因武玲在郎声t处取得极值，所以/'(I)再0,即丁X+/t0,解得口工-工此时代/)=段+ln(x+1),其定义域为L3)u(3,*8),且广①涓再』="般:;3"*)*。得“J=7.当一】《与H】或#>7时,『«¥)>0；当1工雪H7且M播3时，/'(M)<0.由以上讨论知，/(#)在区间(- +»)上是增函数,在区间口，3),(3.7]上是减函数..已知函数f(x)=In(1+x)-x+^x2(k三0)。(I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(II)求f(x)的单调区间。解：(I)当k=2时，f(x)=ln(1+x)一x+x2,f'(x)= -1+2x1+x由于f(1)=ln2,f,(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练3y-ln2=2a-1)即 3x-2y+2ln-2=30x(kx+k-1) /( 、(II)f(x)= ,xG(-1,+8).1+xx当k=0时，f'(x)=---.1+x所以，在区间(-1,0)上，f'(x)>0;在区间(0,+8)上，f'(x)<0.故f(x)得单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(。,+8).当0<k<1时，由f'(x)=x("x+卜_)1=0，得x=0，x=-~->01+x 1 2k— 1-k, …一 一1-k.所以，在区间(-1,0)和(丁,+8)上，f'(x)>0；在区间(0,1一)上，kkf'(x)<0一 一1-k. 1-k.故f(x)得单调递增区间是(-1,0)和(丁,+8)，单调递减区间是(0,—).kkTOC\o"1-5"\h\z一 x2当k=1时，f'(x)=--+x故f(x)得单调递增区间是(-1,+8).x(kx+k-1) 1-k当k>1时，f(x)= =0，得x= G(-1,0)，x=0.1+x 1k 2,一1-k 1-k〜所以没在区间(-1,——)和(0,+8)上，f'(x)>0；在区间(—―,0)上，kkf'(x)<0…、 ,一1-k、… . 1-k〜故f(x)得单调递增区间是(-1, )和(0,+8)，单调递减区间是( ，0)kk13.已知函数f(x)=xc-x(xgR)(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(11)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(III)如果、wx2，且f(xj=f(x2)，证明x1+x2>2【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查南师附中2011届高三数学第一轮复习课课练运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（I）解：f,（X）=（1-X）e-x令f’（x）=0，解得x=1当x变化时，f'（x）,f（x）的变化情况如下表X(-8,1)1(1,+8)f'(x)+0 f(x)□极大值□所以£6）在（-8,1）内是增函数，在（1,+8）内是减函数。1函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e(II)证明：由题意可知g(x)=f(2-x)，得g(x)=(2-x)ex-2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x—2)ex-2于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2-1>0,又e-x>0,所以F’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+8)是增函数。又F(1)=e-1-e-1=0,所以x>1时，有F(x)>F(1)=0，即f(x)>g(x).Ill)证明：(1)若(x1-1)(x2-1)=0,由(I)及f(xj=f(x2),则x]=x2=1.与x1^x2矛盾。(2)若(x1-1