大一上微积分第一周讲课提纲

0322）题．极限思想：春秋战国时期的《庄子·天下篇》．189718571918）1916）Leibniz（Kepler1859）

00n（1）确定性：例如123,3291：有理数稠密性的证明．注 不是有理数的证明 注3：几个与无穷有关的例子：用有理数近似 x的N*(xxxx 逻辑符号A

AB=§1.1实数集的界与确界定义（界、上界、下界AMxMAMA的

任给M0，总存在xMA，使得xMM例：证明数集nsinnπ(n1,2, 2 2

0n02[M1 (2[M]1)sin2[M]1π2[M]1Mn Note：取n04[M1n04[M3x

x0,xR} ．因为任给M0，取x0 1x2[M]π1x21sin

2[M]ππM21．确界的定义：最小的上界称为上确界supA，最大的下界称为下确界infA系．2．确界的等价定义xM；xm例1：证明inf 10．nn{nZ，都有10，所以0是数集1{ 对于0，取n11，则1 1。所以0是数集1的最{

1 101 10nn minf{f(x)}，则xD且对于0xD

f(x)mf(xm所以f(xmf(xm。故supf(x)minff(x) AxA/Axa.axAa.axa.a1． 0 0 0 1A不空，且当xA/A时，xa.aa；当xA时，a.aaxa.aa 1 01 01 01 AA0A1 An

记alim yxyxs1gt2（伽利略2 G （牛顿dS21252930yf(xxD

x2y yxxx(xNote2：定义域的求法，例如f(x(xNote3：表示法，例如，已知2f(xf(1x)x2f(x的表达式．定义：{(xy)yf(x),x例如：yx2 yax,y

xQ,

xx

x例如：阶跃函数（f(x

、符号函数（sgn(x) x0,取整函数（[x]

xx x

x税费函数（f(x

0.03(x 3500x450.1(x 5000x

8000x1：对任意的k(0]x，使得方程2xkx21例2：方程yx 2§1．3一、函数的四则运算（和、差、积、商函数定义：fg)(xf(xg(x，(kf)(xkf(x，fg)(xf(x)g(xf(x)f(x) Note：定义域，例如f(x)x x,g(x)x x,f(x)g(x)反函数的概念：f：DZfg是一对应关系，若对yZfxD，使yf(xgf的反函数，记作f1．Note1f1(f(x))xf(f1(x))x；系．2．函数与其反函数图形的关系定理：yf(xyf1(xyx对称．x1：y

x

y

x得x

xy1

0yx11yx1(x1)1xx1y (0x1)1

x

x2：y1(exex2解：因为y1(exexe2x1(ex)22yex1 y2ex2y 4y24yy22y

1(exexyln(x2

1x2)yarcsinx，定义域[1,1]，值域

π,2yarctanx，定义域(，值域

π,2yarccotx，定义域(，值域(0,π)定义：fgDfDgZgDf，则对xDgg(xZgDf，进而f(g(xZfDgZf的对应关系，称为函数fg的复合，记作fgfg(x)f(g(x．u 与u1x2；yarcsinu与u2x1u4x2f(x)

x2,g(x)

x

fg(x x xfggffghfgfh(ghfgfhffghfgfh(ghfgf)(hf√fghfghfgh√yf(x与函数yf(x)b，yf(xa)yf(kx的关系．ysinx与π

y

xy2sin(2x

12§1．41．界：f(x)M,xD1 的刻画．例如证明函数f(x) 在(0,) x定理f(xD上有界f(xD对称，且f(x)f(x)．f(x)g(x)h(x，则f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)．f(x)f f(x)f所以g(x) ，h(x) 1：f(xg(x)lnf(x1f2x 2：f(xg(x)f11ax 定义f(x的定义域是(，若存在正数Tf(xTf(xxf(x的周期为2g(x)f

2定义x1x2，若(x1x2f(x1f(x20f(x(x1x2f(x1f(x20f(x单Note1：单调性实质上是一种保序性 ln一般函数怎么讨论？例如f(x) x如图：（xkx1k)xkx2x x xx2x2

x1xx2

x2yf(x1)f(x2)f(x1)(xx1)x2

x2xx2

f(x1)xx2

f(x2)x2 x x2 x由此可知fx

xx1

xx2x

f(x1)x

f(x2) 定义f(x在(abx1x2(ab，及任意的01，f(x11)x2f(x11f(x2f(x在(ab上是下凸Note”仅在0或1时取1：f(xx2是下凸函 (x1)2(x2x2)( ()x2( x2x2f(x)f 2：f(x在[ab中下凸对任意的x1x2x3[ab,0,1，都有f(x1x2x3f(x1f(x2f(x3．f(xxx)f(x()( x x f(x)()f(

x

f(x)()( f(x) f(x f(x1)f(x2)f(x3Note2f(xaxg(x)logax的凹凸性结论，但用定义讨论时却§1．5初等函数常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

yarcsin

yarccos

y-- - ---246yarctansinhx1(exex2coshx1(exex2tanhx

ysinh

- - - ycosh ytanh cosh2xsinh2xsinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhcosh(xy)coshxcoshysinhxsinhNote：sinhxcoshycoshxsinh1(exex)1(eyey)1(ex+ex)1(e