第十章曲线积分与曲面积分

第三 及其应 积 平面上曲线积分与路径无关的条分-1第三 及其应—设D为平面区域,如果D第十都属于D则称D为平面单连通区域否则称为章DD

-2第三 及其应定理1.DL围成Px,y),Qx,y)D上具有连续一阶偏导数 P章 章D曲

dxdy

PdxQdy L积线证明:1)若D既是Y-积与 D:1(y)x2(与

x

(

cyd

(y)

x1( c则分 则分

xdxd

dy

(y cQ(2(y),y)dycQ(1(y),y)d-3第三 及其应LQ(x,y)dyc

y dQ(1(y),y)dy

Q(2(y),

x(

x1( 章所以线

xdxdyLQ(x,y)dD

分 PD面 D面积分

dxd

P(x,L(QP

dxdy

PdxQd

-4第三 及其应2)若D不满足以上条件,, ALA2 2E线E积分 与 与

Q

(

)dxdy

(

)dxdy

(

积 分

PdxQdy

Pdx

AB

AEBLPdx-5第三 及其应QPdxdy

PdxQdD L yD L第十推论LD章 A ydx1xdyy xa分例如椭圆L与曲

y

,02积 A积

xdyyL1

absin2

2-6第三 计算曲线积分

及其应(2xy2y)dx(x

4其中L为正向圆周x2y2 十第 取P2xy2 Qx24 十章 Q

(2x4)(2x2) 线分积分与曲面

(2xy2y)dx(x

4分 分D-7第三 及其应 计算曲线积分(x2y2)dx(x LL为以点O(0,0A(1,0B(0,1) 章边界 线

取Px2y2 Qx 12 曲 曲 ( y)dx(x (12 1dx (12y) 1 -8第三 及其应 计算曲线积分

(xy)dx(x x2yL为逆时针方向的圆周x2y2a2 xy x2线

yx2y2

x2y2a 积不满与

的条件，但在L上x2y2 (xy)dx(xy)dy

(xy)dx(xa积 x2 2a积 aa2D

-9第三 及其应例

sinymy)dx

xcosyL为由点A(1,1)沿曲线y

到点第 十

D线段LBA, 11积 11积与 与

(exsinymy)dx(excosy

L

面 面

(excosyexcosy1

1(e1

sin1

dx2

(ee1)sin1 (ee1)sin13

-10第三例5

及其应(2xyex2)dx(eL

其中L为由点O(0,0)沿曲线y 2x

到点第解 解章曲曲

1线段1分

L2BA,2曲 (2xyex2)dx(e2曲积 积

mx)dy LL1

D

00dx1

1

me14

-11例6计算

第三 及其应xdyydx其中L x2第章解令P章曲

yx2y2

,Q

x2y2 P积线则当x2y20时积分与

(x2y2 曲设L所围区域为D,当(0,0)D时, y面y xdyydx x2 -12第三 及其应当(0,0D时,在D内作圆周l:x2y2r2取逆时针方向,LlˉD1D1应用格十第 , 十章xdyydx章

xdy x2线 xdy

x2 1与 Ll1与曲

x2

0dxdy xdy xdy积

x2

r2cos2r2sin2r-13

第三 及其应 平面上曲线积分与路径无关的条定理2.设D函数Px,yQxy)在D第具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价章曲(1)DPQ积 积与分(2DL有LPdxQdy0.与曲面(3DL曲线积分曲积 与路径无关,只与起止点有关

PdxQd(4)PdxQdyDuxy)的全微分 du(x,y)PdxQd-14第三 及其应证明 设L为D中任一分段光滑闭曲线D十(如图),D十 P线 线积

D利 ,与

面 ⇀PdxQdy面 分

xy)dxd-15证明

第三

及其应BL1,L2为D内任意两条由A到BB第线十章

PdxQdy

PdxQd 112线 PdxQdy112线积

PdxQd L L与 与曲

L1

PdxQdy PdxQdyBAPdxQd2 积 PdxQdyBAPdxQd2 积分说明积分与路径无关时-16证明

第三

及其应在D内取定点Ax0y0和任一点Bxy第与路径无关曲

B(x,yA(x0,y0

C(xx,y线 xuu(xx,y)u(x,积 分(xx,y 分 (x,y Pd 曲

Pd lim

P(,limP(,y)P(x,u(x,y)(x,yu(x,y)(x,y(x,yPdxQd 同理可证uQx,y),因此有duPdxQd-17证明

第三

及其应uxy十 duPdxQd十 uP(x, uQ(x,曲 线 P

Q

P,

x y

在D内具有连续的偏导数,所以 x

y从而在D内每一点都P

-18第三 及其应说明:LP(x,y)dxQ(x,第与路径无关,则在此单连通域内PdxQdy十章的计 线 u(x,y)线积

(x,yP(x,y)dxQ(x,(x0,y0 与 00 00

P(x,y yQ(x, x 分(x2,y2

yQ(x0,y)dy

P(x,

PdxQdyu(x2,y2)u(x1,y1)-19第三 及其应例7计算曲线积分

(5x4

4xy3)dx(6x2y2

5y4其中LA(1,0)x2十到点十

41章 P5x44xy3,Q6x2y25y4,Py12xy2 因此积分与路径无关 积 (5x44xy3)dx(6x2y25y4 曲x (5x44xy3)dx(6x2y25y4 x 分 (5x44xy3)dx(6x2y25y4205x4dx(5y4)dy2 -20第三 及其应2例8证明:积分

(1

y)dx

yy

yL L只与L的起点和终点有关,而与所取路径无关,其中章不经过y章(2,

线 (1,)(1x2cosx)dx(sinxxcosx线

Qsinyycos P1 cos曲 曲 2

分 Py分2

x2cos

sin

1(1

x2

x

1-21第三 及其应例9计算曲线积分

xy)dxxy)dy x2L为从点A(1,0)沿椭圆

y P线积

xyx2y2x2y22

Q yxx2y2

P分P曲 (x2y2曲1取Lxcostysin1积

t从0 原式0

[(costsint)sint(costsint)cost]dt-22

第三 及其应du(2xcosyy2sinx)dx(2ycosxx2sin求ux,十 线 u线积

(x,y)(2xcosyy2)dx(0,0)

(2ycosx

x2siny)dy ( (0,0)

(x,y (x 2xdx

(2ycosxxsiny)dyx2cosyy2cosx-23

第三 及其应第du2xcosydxy2sinxdx2ycosxdyx2sin第 cos y2dcosxcosxdy2x2dcos章 d(x2cos d(y2cos线 d(x2cosyy2cos分曲 ux2cosy