高数第九章无穷级数

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9.3.1函数项级数的概念9.3幂级数9.3.2幂级数及其收敛性9.3.3幂级数的性质9.3

幂级数的概念和性质9.3.1函数项级数的概念1.2.收敛点与收敛域:(定义域是收敛域)3.和函数:函数项级数的部分和余项注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.在收敛域上,9.3.2幂级数及其收敛性1.定义任务：求幂级数的收敛域、和函数，并研究和函数的性质。例1

定理9.3.1几何说明收敛区域发散区域发散区域(阿贝尔(Abel)定理)推论2、幂级数的收敛半径及收敛区间定义正数R称为幂级数的收敛半径.

称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?证明3、收敛半径的求法定理9.3.2由比值审敛法,定理证毕.注意(2)an不能等于零。而是要用别的方法求R

，如夹逼、拆项等。不可说幂级数没有收敛半径（一定有）例2

求下列幂级数的收敛半径与收解该级数收敛该级数发散级数收敛域为(-1,1].敛域发散收敛故收敛域为(0,1].解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为9.3.3幂级数的性质1.代数运算性质:(1)加减法(

其中(2)乘法(其中柯西乘积(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)即有

从中可顺序求出2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)(收敛半径不变)反复应用上述结论可得：收敛半径为R,若幂级数则它的和函数s(x)在区间(-R,R)内具有任意阶导数。解两边积分得由逐项求导公式得例5的和

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