《复习题29》教学设计(湖南省县级优课)-九年级数学教案

ACACB专题直角三角形的证明与计算教学目标1、使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及另两条性质解决直角三角形的计算；2、使学生利用直角三角形、三角形全等和相似的性质和判定解决直角三角形的相关证明。3、综合运用直角三角形性质和判定，会求实物的高度以及方位角等实际问题。4、通过综合运用直角三角形性质和判定，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；5、情感态度与价值观：让学生体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。教材学情分析：1）教学内容分析：直角三角形是平面几何的重要内容，也是学习其它几何的基础。能利用直角三角形的性质和判定（勾股定理及判定、两锐角互余、锐角三角函数等）解决直角三角形的有关计算和证明。通过本节课的学习，学生对直角三角形的性质和判定有一个总体认识，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。（2）学情分析：在学生已经能单独使用直角三角形的性质和判定的基础上，对直角三角形的性质和判定进行综合运用，难度有所提升，但因直角三角形的重要性，要求学生能熟练解决直角三角形组合图形及实际问题，教师决定上这节专题课，希望学生能有收获。由于学生基础较差，所以题目设计比较简单。本节设计两课时完成。重点难点本节的重点和难点是利用直角三角形、三角形全等和相似的性质和判定解决直角三角形的相关证明，特别是图形复杂的证明、计算和三角函数的应用，根据边角选三角函数始终是学生的难点。第一课时教学过程复习知识要点直角三角形的性质与判定1、Rt△相关概念（如图）．2、性质：①Rt△的两个锐角互余；②Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；③Rt△中30°角所对的直角边等于斜边的一半；④勾股定理：Rt△的两直角边的平方和等于斜边的平方：即.⑤、边角关系（锐角三角函数的概念）∠A的正弦：，∠A的余弦：，∠A的正切：3、判定：①如果三角形的三边a、b、c满足.那么这个三角形是Rt△；②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是Rt△．二、经典例题例1、在Rt△ABC中，∠C=90°,AC，BC，解这个直角三角形AACB【变式练习】1、在Rt△ABC中，∠C=90°⑴若AB=15，sinA=，则BC=；（2）若sinA=，则tanA＝；⑷若cosA=，则sinB＝．2、下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，，33、如图，△ABC中，，，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是．5、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．设计意图：（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决（2）巩固直角三角形性质和判定，初步体会利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数），使学生体会到

“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”，并会判断一个三角形是直角三角形。例2．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．（1）求的度数；[来源:@&zzstep#^.%com]（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【变式练习】1、如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为30°，BC=20m，求树的高度A2如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，求建筑物CD的高度设计意图：“现学现用”，使学生利用转化的数学思想方法，把实际问题转化为数学模型解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。第二课时例3、如图Z10－7，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上的一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．解：(1)证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CD，,∠ACE＝∠BCD，,AC＝BC.))∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，由勾股定理，得AD＝eq\r(DE2－AE2)＝5，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.【变式练习】1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件____，使△AEH≌△CEB.2、已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC设计意图：本例题和练习让学生熟练掌握直角三角形全等的五种判定方法，特别是HL定理，证明两个直角三角形全等时，经常需要证两锐角相等，这时通常要用到的定理是“同角的两余角相等”。例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB的高，求证：（1）CD2=AD·BD（2）AC2=AD·AB（3）BC2=BD·ABAACDB设计意图：本例题是相似的经典例题，它也是几何计算题常用母题，把它常放到圆、四边形等载体里进行计算，是中考常备题。【变式练习】1、如图，已知内接于，为的直径，，交的延长线于点．为的中点，连结，（1）求证：是的切线．（2）若，求的大小．设计意图：本题是例4的延伸，还用到三角函数，是一道直角三角形的综合题，考察学生的综合能力，如果学生对直角三角形的性质与判定很熟悉，这道题就轻松多了。选做题：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连结BE.(1)如图①，若AB＝4eq\r(2)，BE＝