第八讲牛吃草问题

第八讲牛吃草问题一、知要点和基本法1．牛吃草题1一个牧场，头牛吃草格尔，21头牛吃草格尔，问24格3尔牧草，多少头牛周吃完？（注：格尔——牧场的面积单位这个实际问题是世界著名的大科学家牛顿所著《普通算术一书中的一道题目，以后人们将这类问题称为“牛吃草问题2研“牛吃草问题所涉及的量有三个牛的头数牧场面积天（时间所用的方法一般而言是比较法，为了比较方便，要使两种情况的草场面积一致（详见例题分析3．研究解“牛吃草问题”的出发点一般是从牧场中草的生长量着手，因此要关心的量有两个该牧场原有的草量”及“每天新生长的草量尤其要注意的是在描述“牛所吃草的数量”时所用的单位，采用千克、平方米等反而不方便．一般要用“单位二、例精讲例1一个牧场头牛4周吃3＄格尔头牛9周吃牧10尔：24尔牧草，多少头牛周吃完？分析．每头牛每周吃草量：1因为“12头牛4周吃草3格尔所以3“每头牛每周吃草量”

1＝（格尔（1）3又因为“头牛9周吃格尔以“每头牛每周吃草量”=10

21

109=（格尔（2）189肯定题目中含有“每头牛每周的吃草量相等”的隐含条件，但（）和（2）两式告诉我们“同样一头牛每周的吃草量”为什么不等呢！前面在知识要点和基本方法中已经做了注“格尔是牧场的面积单位那么这里

5（72

10510格尔和（格尔际上指的面积为格尔和面积为（格18972189尔的草地上所长出的草包括牛吃草之前原有的草以及吃草过程中该草地生长出的草，这就是说1所述的实际内容是：55格尔原有的草量+格尔7272

长的草量1010格尔原有的草量+格尔9长的草量189189但是开始的分析确实看不出这种关系这表明用格尔描述每头牛每周的吃草量并不好．改用别的具体单位也不好．由于考虑到“每头牛每周的吃草量”是

确定的，只是没有恰当的具体单位．在这种情况下，我们采用“单1“每头牛每周的吃草量”为“单位12．在规定“每头牛每周的吃草量为单位”的前提下，问题的关键是要知道：（1）每格尔草地每周长的草量是多少；（2）每格尔草地原有的草量是多少．要回答这两个问题先应该把题目的两个条件中关于草地面积两个不同的量转化成相同的量．1因为，12头牛4周吃草3格尔，所以，头牛4周吃草10格尔．3因此，关于格尔草地的总草量就有两种说法：其一，由“头牛4周吃牧草10格尔”得面积为格尔的草地的总草量为6位其二，由“头牛9周吃牧草10格尔”得面积为10格尔的草地的总草量为那么面积为格尔草地上草量的差189

－144

＝

45（单位1实际为10尔草地的草多长5（周

－

4

＝5周所多长的草量由此可知：每格尔草地每周长出的草量为45÷＝单位每格尔草地原有的草量为1或13．面积为格尔的牧草，多少头牛周吃完呢？“24尔牧草”原有草量：位1“24尔牧草周”新长出的牧草量：21所以“24尔牧草又生长周总草量为l因此，18吃完格尔的所有牧草所需要牛的数量是648头1解因为“头牛4周吃牧草3格尔以“36头牛周吃牧草格3尔现在设每头牛每周吃的牧草为单位，于是可知：“36牛4周吃草10尔”所吃的总草量为6

位1（3“21牛9周吃草10尔”所吃的总草量为1（4）总草量（4与总草量（）的差为189

－144

＝

45（单位1

总草量（4比总草量（）多长的时间为9－4周＝5周．因此，每格尔草地平均每周新长出的草量为每格尔草地原有草量为1或者11由此可知格尔牧草，周新长出的草量”为0位1“24尔牧草，原有的草量”为位l所以“24尔牧草，长周后的”总草量为+l所需牛的数量为：648头答24尔牧草，头牛周可吃完．例2一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，头牛30天可以将草吃完，头牛只需要天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6后，卖掉4牛余下的牛再吃2天就将草吃完问没有卖掉4牛之前这一群牛共有多少头？分析类似前面的例题首先要了解牧场的草的情况即键要知道两个量：一个是牧场原有的草量另一个是牧场每天生长的草量不同的是本题牧场的面积一定，因此可直接考虑由于时间不同而引起的牧草总量的变化．作为单位，不妨把每头牛每天吃的草量取作单位．因为由“头牛天可以将草吃完”得总草量为：17

×

30

＝510（单位l再由“19牛天可以将草吃完”得总草量为19

×

24

＝456（单位1比较上述两种情况，可知牧场每天生长的草量为（510－456）（30－）＝（单位牧场原有的草量为：510

－9

×

＝

240（单位或者

450

－9

×

＝

240（单位1从题目条件“吃6后，卖掉4头牛，余下的牛再2就将草吃完”可知牧场的草共生长了62＝8，进而可算出这8天的草的总量为：＋＝312（单位1但是如果假设没有卖掉牛就是卖掉的头牛也吃天么总草量将为：312＋4×=320单位1所以卖掉4头牛之前这群牛8吃了320位1．即牛的总数为：320

÷

（头解设每头牛每天吃的草量为单位．由“头牛天可将草吃完知总草量为：17×（单位（）再由“19头牛天可将草吃完得总草量为19

×

24=456（单位1（2）

因为总草量（1）与总草量（）的差510－456=54（单位1所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30从而牧场革每天生长的草量为

－24天6天，54

÷

（单位由此可知：牧场原有的草量为510－9×（单位或者4569×单位由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天所以牧场生长的草量为9

×

（单位进而可知牧场在8天内的总草量为240＋72=312（单位1假设没有卖牛，即让卖掉的4牛也吃8．算得总草量为312+4因此，这群牛的头数为320

×÷

2=320（单位1（头答没有卖掉4头牛之前，这群牛共有头．例有三块草地，单位面积内原有的草一样多，而且也长得一样快，它们1的面积分别是3公顷，10顷，公顷．已知第一块12牛可吃4，第3二块地21牛可吃9周，问第三块地可供多少头牛吃18？分析设l头牛周吃草量为一个单位，第一块地头牛可吃周，第二块地是第一块地的3，所以第二块地可供36（=

×

3）头牛4．将以上计算所得结果与题目中所给条件“可供头牛吃9周”比较，可求出第二块地原有草（以单位计算及第二块地每周生长多少单位的草然后根据第二块地与第三块地两者草量之间的倍数关系求出第三块地原有多少单位的草及其每周生长新草的单位数．解（1第二块地每周生长的草量（21

×

－

36

×

4）

（－4）

＝

9（单位1（2）第二块地原有草量2199×＝（单位1（3）第三块地原有草量108）（单位1（4）第三块地每周生长的草量9

×（2410

＝

单位1（5）第三块地够牛吃的牛的头数2+＝1头答第三块地可供头牛吃周．例4有一满池水池底有一泉眼匀速向外涌流泉水若用24部A抽水机6天可抽干池水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水．设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只能用多少部A型抽水

机抽水？分析本题从数量关系上看，本质上与牛吃草问题相同．在这里原有的一满池水相当于“原有的草量眼中流出的水相当于“每周新生长的草水机则相当于“牛因此，可设1部抽水机1的抽水量为单位，先求出泉眼每天涌出的水量单位数要使这池水永远抽不干每天就只能抽取每天涌出的水量．这样不难计算应安排的抽水机的数量．解（1部抽水机6抽出的水量为：24×＝（单位（2）21部抽水机8抽出的水量为：21＝（单位从而3）水池（即泉眼）每天涌出的水量为：（168

－144）

（8

－

6）

＝

（单位因此，（4）至多安排的抽水机的部数为：121＝12（部答至多安排12抽水机．例5早晨6点，某火车站进口处已945旅客开始检票进站．此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口分钟可以放完旅客，现在要求5钟放完所有旅客，需设立几个检票口？分析仿例4，此题也可看作“牛吃草”问题，这里原有的等候旅客可视为原有的“草量票口的数量相当于“牛的头数检票口每分钟所放行的旅客数量相当于“每头牛在单位时间内吃的草量设为）解设1个检票口1分钟所放行的旅客量为个单位．（1）1分钟新来的旅客量为：1（×158×）（－7＝（单位）2（2）检票口开放时已有等候人站的旅客量为：1415522（3）5分钟时间内检票口共需放行的旅客量为：

52

1155122

（4）需设立的检票口的数量：55个答需设立个检票口在5分钟内可将全部旅客放行完．注本题似乎没用到已有的945旅客的条件．事实上，每份旅客人数为945

55

12

=

18人1这个数应该是可变的，但它必须是55的整数倍才合理．2例有一批存货，以后继续有车运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的汽车运货出仓如果每天用4辆汽车则9天恰好运完如果每天用辆汽车，则6恰好运完．仓库里原有的货若用1汽车运则需要多少天运完？

分析将“存货”看作“草场原有的草量的货及运出的货相当于“新生长的草及被牛吃去的草进的货相当“新生的草运出的车则相当于“牛可设1汽车每天运出（或运进）的货量为1个单位．解由分析知，仓库每天用汽车运进的货量为：（

×

9

－5

×

）

（9

－6）

＝

6

÷

＝（单位也即每天有两辆车运货入库．则仓库中原有的存货有4×－×＝（单位或5×－×＝（单位因此，仓库里原有的存货用1辆汽车需要18运完．答仓库中原有的存货用1辆汽车要天运完．练习题A组1牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周．如果牧草每周匀速生长，那么它可供头牛吃几周？2牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃天，可供头牛吃10天．问供25头牛吃多少天？3画展9点开门，但早就有人排队人场．以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个人场口，则分钟后就不再有人排队；如果开5个人场口，则分钟后就不再有人排队．那么第一个观众到达的时间是几点几分？4一片牧草，可供牛吃12天，也可供8头牛吃天现在开始只有牛吃从第7天起又增加了若头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7起增加了多少头牛（草每天匀速生长，每头牛每天的吃草量相等）？B组5．某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开后每分钟有10个人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25个人检票进站．如果只有一个检票口，检票开始分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？6．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，场的草可供20牛吃5天，或可供头牛吃天．那么可供11头牛吃几天？7一片牧草，可供16头牛吃20天，也可供80只羊吃12天，如果每天l头牛的吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与只羊一起吃这一片牧草，问几天可以吃完这片牧草（牧草每天生长速度相同，每只羊、每头牛每天的吃草量相同）？8哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了级，相同的时间内妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走50．若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的倍．那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？测试题

1有三块草地面积分别为4公顷8顷和10顷三块草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周；第二块草地可供36头牛吃12．问第三块草地可供头牛吃几周？2一水库库存水量一定，河水均匀人库．如果用台抽水机，连续20可将库水抽干如