第一讲 等腰三角形及直角三角形

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三角形一、

知点理1、腰角的质判：（一）性质：

两要相等、两地角相等；

顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

等腰三角形是轴对称图形（二）判定：

有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（三）面积计算公式：=2、边角的质判：

，其中a是边长，h是边上的高（一）性质：

三边相等三角相等且每一个角都等于60

0

等边三角形是轴对称图形有

条对称轴（二）判定：

三边都相等的三角形是等边三角形；三角都相等的三角形是等边三角形；一个角是

的等腰三角形是等边三角形（三）面积计算公式：S=；43、角角的质判：

其中是边长（一）性质：

两锐角之和等于90；

斜边上的中线等于斜边的一半；

300角所对的直角边等于斜边的一半；④勾股定理：

a+b；

其中b是直角三角形的直角边，c是斜边；⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30

（二）判定：①有一个角90

的三角形是直角三角形；②勾股定理逆定理：若

a+b=c则以abc为边的三角形是直角三角形；④有两个角互余的三角形是直角三角形（三）面积计算公式：S

12

，其中b为直角边，斜边，斜边上的高二经例剖1、等腰三角形的两边为2和，则周长为2、已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（）A．

16B．

20或16C．20D．

123、已eq\o\ac(△,知)ABC为等边三角形为中线，延长至E使CE=CD=1，连接则．4、如图，已知、D在同一条直线上，和•都是等边三形交ACADCE于，①证：≌；

②证；

1

C

③判断的形状并说明理由．5、已知：如图在△ABC中是AC上一点，过D作DE⊥于E,与BA的延长线交于F.求证：AD=AFFADBEC6、已知△ABC中AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点且BC于F求证:DF=EFADB

F

CE7、如图，已知在△ABC中，AD是边上的中线，E是上一点，且BE=AC，长BE交于F，求证：AF=EF2

8、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD三提训1、如图1，在中，AB＝AC点是BC的中点，点在上．(1)证：＝CE；(2)BE的延长线交点F，且⊥，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，题设其它条件不变．求证eq\o\ac(△,)AEF≌△．AAEB

C

FEBC(第题图1)

(

第题图3

NE．．．NE．．．2知图eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ECD都是等腰直角三角形∠∠DCE=90°为AB边上一点证．3如图，已知等边三角形ABC，点D，，分别为，AC，的中点，M为直线上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1如图①，当点在点B左侧时，请你判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（如图②，当点M在BC上时，其它条件不变的结论中ENMF数量关系是否仍然成立若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3若点M在点右侧时，请你在③中画出相应的图形，并判断（）的论中与的数量关系是否仍然成立?成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．AA

AD

E

D

E

·

ENM

B

FC

B

M

·FC

B

·FCN图①

图②

图③25断与相等（或F在直线上，3（说明：答对一个给2分）（）成立·····································4分证明法一：连，．·································5分∵△是等边三角形，∴==．又∵，，F三边的中点，∴，，为三角形的中位线．∴=，∠=60°．又∠∠=60°，∠∠=60°，∴∠．··································7分在△和△中，=，=，∠=∠，∴△△．·································8分∴．·································9A4

法二：延长，则过点．······························5分∵△是等边三角形，∴==．又∵，，F三边的中点，∴=．∵∠=60°，，∴∠···································7又∵，=60°∴△△．··································8分∴．∵，∴=．································9分法三：连结，．···································5∵△是等边三角形，∴=．又∵，，F三边的中点，∴为三角形的中位线，∴=

11=．22又∠=60°，∠+∠，∴∠∠．··································7分在△和△中，=，，∴△∴∠=∠=60°．·································8分又∵△是△各边中点所构成的三角形，∴∠=60°∴可得点上，∴．·································9分（）画出图形（连出线段···························11分与相等的结论仍然成立（或=成立····················125

NADEBFC

M4、如图1，在ABC中，∠A=36°，，∠ABC的平分线交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2如（2E作∥BC交AB于F，eq\o\ac(△,)AEF绕点逆时针旋转角0°＜＜得到AE′F′，连结CE′，BF′求证：CE′=BF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在′∥？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E∠F′AB，′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②点的像E与点N重合时，求出α即可．解答：（1）证明：∵，∠A=36°，∴∠C=72°，又∵平分∠ABC，∴∠ABE=∠，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠，∴BE=BC，∴．（2）证明：∵且∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF，∵在CAE′eq\o\ac(△,)中，6

∴△≌△，∴′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由1）可知AE=BC，所以，eq\o\ac(△,在)F绕点A逆时针旋转过程中E点经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线l交于M、两点，如图：①点E的像E与点M重合时，则四边形为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠，∴α=∠CAM=36°．②点E