第三节连续性随机变量及其分布演示文稿

第三节连续性随机变量及其分布演示文稿当前1页，总共69页。（优选）第三节连续性随机变量及其分布当前2页，总共69页。（3）若x是f(x)的连续点，则EX

设随机变量X的分布函数为:求f(x)。当前3页，总共69页。故

X的密度f(x)

在x

这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限。对f(x)的进一步理解:若x是f(x)的连续点，则：f(x)=当前4页，总共69页。若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X

取值于(x,x+△x]的概率近似等于f(x)△x。f(x)△x在连续型r.v理论中所起的作用与P{X=xk}在离散型r.v理论中所起的作用相类似。当前5页，总共69页。（4）对任意实数a,若连续型随机变量X具有概率密度f(x)

(-<x<)，则P{X=a}＝0。于是可见，由P(A)=0,不能推出，由P(B)=1,不能推出

B=S。当前6页，总共69页。令△x→0，由于X是连续型r.v，所以它的分布函数连续，从而P{X=a}=0。推导当前7页，总共69页。密度函数的几何意义为当前8页，总共69页。例2.13

已知随机变量X的概率密度为1)确定常数k。2)求X的分布函数F(x)。3)求P{X(0.5,1.5)}。当前9页，总共69页。解:1)2)所以,

k=1当前10页，总共69页。3)P{X(0.5,1.5)}=

或=F(1.5)-F(0.5)=。当前11页，总共69页。若r.v.X的概率密度为：则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作：

X

～U(a,b)1.均匀分布（Uniformdistribution）三种常见连续型随机变量当前12页，总共69页。均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X

～U(a,b)，则对于满足a≤c<d≤b的c,d,总有当前13页，总共69页。例2.14长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。1545解：设A：乘客候车时间超过10分钟

X：乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)。当前14页，总共69页。2.指数分布（

Exponentialdistribution）则称X服从参数为θ(>0)的指数分布。若X～其分布函数为三种常见连续型随机变量当前15页，总共69页。例2.15

电子元件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布。（1）求该电子元件寿命超过2年的概率。（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至少两年的概率为多少？解：当前16页，总共69页。指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命。当前17页，总共69页。正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre）最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。3.正态分布（Normaldistribution）三种常见连续型随机变量高斯当前18页，总共69页。（I）.正态分布的定义若r.v.X的概率密度为记作

f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。其中m和s都是常数,

m任意,

s>0,则称X服从参数为

m和s的正态分布。当前19页，总共69页。（II）.正态分布N(μ,σ2)的图形特点图形关于直线x=对称：

f(+x)=f(-x)。在

x=

时,

f(x)取得最大值。在

x=±

时,曲线

y=f(x)

在对应的点处有拐点。曲线

y=f(x)以x轴为渐近线。曲线

y=f(x)的图形呈单峰状。当前20页，总共69页。-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3当前21页，总共69页。f(x)的两个参数：—位置参数即固定，对于不同的，对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同。—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同。

由于

f(m)所以越小，f(x)变得越尖，

而X落在附近的概率越大。当前22页，总共69页。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。当前23页，总共69页。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。当前24页，总共69页。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。当前25页，总共69页。应用场合若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响,而每一个别因素的影响都是微小的,且这些影响可以叠加,则X服从正态分布。可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；当前26页，总共69页。（III）.设X~

，X的分布函数是当前27页，总共69页。（IV）.标准正态分布的正态分布称为标准正态分布。其密度函数和分布函数常用

j(x)

和

F(x)表示：当前28页，总共69页。当前29页，总共69页。它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,则

~N(0,1)

设定理1当前30页，总共69页。书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。（V）.正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值。当-x<0时当前31页，总共69页。1.若

X～N(0,1),2.若~N(0,1)

那么当前32页，总共69页。由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。当X～N(0,1)时，P{|X|≤1}=2F(1)-1=0.6826

P{|X|≤2}=2F(2)-1=0.9544P{|X|≤3}=2F(3)-1=0.9974（VI）.3s原则当前33页，总共69页。将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在[m-3s,m+3s]区间内。这在统计学上称作“3s原则”（三倍标准差原则）。当前34页，总共69页。

在工程应用中，通常认为P{|Y-m|≤3s}≈1,忽略{|Y-m|>3s}的值。如在质量控制中，常用标准指标值m±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。当前35页，总共69页。例2.16

已知X~N(d,0.52)，问d至少为多少时,解：由题意，d需满足因为所以当前36页，总共69页。例2.17

一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分布Ｎ(100,152)，某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率。解：设A为使用的最初90小时内元件损坏；Y为A发生的元件数。故则Y～b(3,p),其中当前37页，总共69页。例2.18

（1）假设某地区成年男性的身高(单位：cm)X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。

解:

（1）根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.2578当前38页，总共69页。解:

（2）设车门高度为hcm，按设计要求P{X≥h}≤0.01或

P{X<h}≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h。（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?当前39页，总共69页。因为X～N(170,7.692),故

P{X<h}=0.99查表得F(2.33)=0.9901>0.99所以

=2.33,即

h=170+17.92≈188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01P{X<h}≥0.99求满足的最小的h。当前40页，总共69页。（VII）.标准正态分布的上

分位点z设X~N(0，1)，0<<1，称满足的点z为X的上分位点。

常用的几个数据z0.10.20.30.4z1-=-z当前41页，总共69页。一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。求截面面积A=

pd2/4的分布。二随机变量的函数的分布例如，已知圆轴截面直径d

的分布，当前42页，总共69页。又如：已知t=t0

时刻噪声电压

V的分布，求功率

W=V2/R(R为电阻）的分布等。一般地、设随机变量X

的分布已知,Y=g(X)(设g是连续函数),如何由X

的分布求出

Y

的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。当前43页，总共69页。二、离散型随机变量函数的分布例2.19

已知XPk-101求:Y=X2的分布律。YPk01

解：Y的所有可能取值为0，1。由P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=1/3P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=1}+P{X=-1}=1/3+1/3=2/3得Y的分布律为当前44页，总共69页。如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。一般，若X是离散型

r.v，X的分布律为X～则

Y=g(X)～当前45页，总共69页。三、连续型随机变量函数的分布解：设X、Y的分布函数为FX(x)、FY(y)，则例2.20设

X~求

Y=2X+8的概率密度。FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}将FY(y)关于y求导数,可得Y=2X+8的密度函数当前46页，总共69页。故知当即8<y<16时，由及当y取其它值时,当前47页，总共69页。例2.21设

X具有概率密度fX

(x),求Y=X2的概率密度。求导可得当

y>0时,

注意到

Y=X2≥0，故当

y≤0时，解:

设Y和X的分布函数分别为FY

(y)和FX

(x),

当前48页，总共69页。若则

Y=X2

的概率密度为：称Y服从自由度为1的c2分布。当前49页，总共69页。

从上述两例中可以看到，在求P{Y≤y}的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X，从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式。例如，用{X≤}代替{2X+8≤y}用代替{X2≤

y}这样做是为了利用已知的

X的分布，从而求出相应的概率。这种方法叫分布函数法，是求r.v的函数的分布的一种常用方法。当前50页，总共69页。下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。当前51页，总共69页。定理设r.vX具有概率密度fX(x),-<x<,又设y=g(x)处处可导,且对于任意x,恒有g′(x)>0或恒有g′(x)<0,则Y=g(X)是一个连续型r.v,它的概率密度为其中，

x=h(y)是y=g(x)的反函数，当前52页，总共69页。2.若f(x)在有限区间[a,b]以外等于零，则只需假设在[a,b]区间上恒有g′(x)>0或g′(x)<0，此时，1.只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；注:当前53页，总共69页。例2.22

已知XN(,2),求

解：的概率密度。且故即YN(0,1)。当前54页，总共69页。例2.23

设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度。解：在区间(0,1)上,y=g(x)=-2lnx>0,且有反函数由前述定理得注意取绝对值当前55页，总共69页。已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入fY(y)的表达式中得即Y服从参数为2的指数分布。当前56页，总共69页。对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X

的分布来求P{g(X)≤y}。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。当前57页，总共69页。当前58页，总共69页。当前59页，总共69页。1、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数F(x)=P{X≤y},-<x<来描述。

若已知X的分布函数,就能知道X落在任一区间(a,b]上的概率：P{a<X≤b}=F(b)-F(a),这样分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性。当前60页，总共69页。2、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量用分布律P{X=xk}=pk,k=1,2,…来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。分布律和分布函数有以下关系：F(x)=P{X≤x}=当前61页，总共69页。3、对于连续型随机变量,给定X的概率密度f(x),就能确定F(x)。反之，由于f(x)位于积分号之内,故改变f(x)在个别点的值,并不改变F(x)的值.因此改变f(x)在个别点的值无关紧要。对连续型随机变量,在实用和理论上使用概率密度f(x)来描述较为方便。概率密度和分布函数有以下关系：F(x)=P{X≤x}=当前62页，总共69页。4、连续型随机变量X

的分布函数是连续的，它取任一指定常数a的概率为0。

这两点是离散型变量不具备的。当前63页，总共69页。5、已知X的概率密度fX(x)，

求Y=g(x)的概率密度fX(x)在[a,b]以外取值为0，且当x∈[a,b]时，

y=g(x)

∈(a,b)。(2)

y=g(x)在[a,b]上无单调性。那么当y≤a时,FY(y)=0；当y≥b时,FY(y)=1；当a<y<b时,FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}(1)

y=g(x)在[a,b]上恒有g′(x)>0(或<0)，则由公式可得当前64页，总共69页。(1)

y=g(x)在(-,