工科大学高等数学试题与答案

试卷学期：20062007学年度第2学期

课程：高等数学(II)竞赛专业：

姓名：

完整学号：题号得分一、得分

5~101213141516填空题小题分，总计16分）

总分1设函数fx)在x0点处具有二阶连续数且，f，f则limx

f(x)x2

＝。2求y

sin

的导数y

。3区域Dxy，积分

＝

.D4设()，lim则＝nn

.二、得分题号答案

单项选择题答案填入下表小题分，总计分）56810x5设f)kx

x

在x＝0处连续，＝()1,x（A－（B）16如果函数f()，则f1

n)

（C）－2x)＝()

（D）（A

2)

（B

2)

（C

(n)n

（D）

2(1)7如果

fx)dxsin，＝)111（Acos（Bcos（）cosx（D）2xx8若fxyy)x2xy，则

f()()（A－

（B）y2(＋y(D)

nnn9设D是曲线y及直线y＝围，则nnnDe（D）1（A（B（C）22

dxdy＝()10．下列数中，绝对收敛的是()（A

（B（）n

1nn23

（）

2三、分

解答题（每题10，总计分）11．二元函数zf(x)x

(4)在直线，轴和轴所围成闭区域上极值、最大值与最小值。12．过曲y

（x≥0）上某点A作一条切线，之与曲线及轴成的图形的1面积为，求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A切线方程；12(3)由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体V。

lnxlnx13求极限limnn(nn14．求x2的和函数，并计算的和数。(2n1)!

设y,t)而,y)是由方程(,t所确定的函数其中fF都具有一阶连续导数，求

dydx

。设是大于的常数且

11证明对于任意x＞0有xpqq

22(xx)0200

试卷答一、填空题每小题4分总计16分）1－2．sinx(cosxx

sinx5)3x3

4As二、单项选题，答案填入下表小题4，总计24）题号

56

7910答案

DBBAAC三、解答题每小题10，总计分）11．(1)fyxy(4y2f)2)2yx解联立方程

ff)

得驻点（4）及所有横坐＝，纵坐标满足0≤y≤6的点。易知这些驻中，只有点（2，1在D的部，且A＝f

xx

(2,1)＝6，Bf

xy

＝－4，C＝＝－8＜0yy∵B－AC＝－32＜0

∴（，1为极大值点极大值为＝(2)再求在D的界上的值①在边界＝，0≤6，z＝0②在边界＝，0≤6，z＝0③在边界＋＝上，将y＝6－代f(y中，有f(x,y)2xx2(0x6)令f24x得驻x＝0及＝，相应的函值为f在区间[0，点处有，比较这些函数值可得x

x

，

x

函数在闭区D上最大值为f＝4最小值为＝6412．(1)如图，设切点坐标A,x0

)，而

)x，所以切方程为y(x)0令y＝0得切线与x交点为（，0是2x110212解得x，故A的标为（1，1(2)将代入2

(x)得切线方程为0

lnxtxyttttyxttx，即yxlnxtxyttttyxttx(3)所求旋转体的体积为V

10

x

2

)

2

11dx33013limlim令0x

11ln1t

＝limt

tlntln＝limt

111ln1

＝limt0

t＝t0

11＝214∵sin

(x2(2n1)!

∴当x，

(nnn1)!

t

n

＝

nt2n＝n

(x2(2n1)!2n＝

(2(21)!n

1＝22∴(x

cosx2x

0

0,

(nn1当x＝时，得＝sin1cos1n2n

15用全微分法求解。1由dF(,y,t，即FdxdyF解出dt(FdxF)Ftf于是dydf(x,)fffdxt(Fdx)，FtfFfF得(Ff)ff)dx故ttFFtty

1611令f(x)x