【三模】高考数学考试题附答案解析

高考模拟测试数学试题

时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的.

1.已知集合A=卜,一3妇4｝,8=同，1]<1],则下列判断正确的是()

A.B=AB.a，B=(-oo,0]U[2,+oo)

C.—leA且D.AuB=｛x|-l<x<2｝

2.已知。tan6=&，则cos2(9=()

AV2r72„_1n1

3333

3.已知随机变量X服从正态分布N(2,7),P(X>l)=0.8,则P(XN3)=()

A.0.2B,0.3C.0.7D.0.8

4.已知等差数列｛4,｝满足q+%=8,4+4=14,则它的前8项的和§8=()

A.70B.82C.92D.105

5.已知圆C的圆心为直线x+y=0与x-y+2=0的交点，半径为,2，且圆C截直线x+y+2=0所

得弦的长度为4,则实数"?=()

A.-2B.-4C.-6D.-8

6.在递增的数列｛%｝中，a*=册•%+2，若q+4=130,4q,T=256,且前加项和=170,则

m=()

A.3B.4C.5D.6

7.将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二,

则这个几何体的体积是()

附：柱体的体积公式V=S〃(S为底面面积，〃为柱体的高)锥体的体积公式丫=^5/?(5为底面面积，〃为

锥体的高)台体的体积公式V=：($+$2+廊T)/7(E，S2为台体的上、下底面面积，h为台体的高)

正视图倒视图

12-*i帕视图

I*—3-*

图二

图一L

461494

A.14万B.15乃C.——D.——

33

22

&设心工为双曲线。:下》叱。6。）的左、右焦点’过坐标原点。的直线依次与双曲线。的左、右

支交于P,。两点，若|PQ|=2|QK|=2|OE|,则该双曲线的离心率为（）

A岑B.1+73D.3+25/3

9.已知函数〃x)为R上的奇函数，当x>()时，/(x)=—x；若〃=0.3毋25,/?=logo.250.3,c=logo,32.5,

则（）

A./(/>)</(«)</(c)B./(c)</(/>)</(a)

C.f(c)<f(a)<f(b)D./(a)</(/?)</(c)

7F

10.已知在AAbC中，角A8,c所对边分别为4,4C,且a=2,A=—.又点A,6,C都在球。的球面上,

6

且点。到平面ABC的距离为右，则球。的体积为（）

634

A.12乃B.——C.364D.45"

2

11.已知AABC是边长为2等边三角形，其中M为8c边的中点，NA8C的平分线交线段AM于点N,

12

交AC于点O，且丽乙加=—（。+与（其中。＞0力＞0）,则一+一的最小值为（）

ab

A.3+20B.—FA/2D.6+4加

2

12.已知函数/?(x)=(x-2)e"g｛x｝=^a)C-ax,又当//(x)»0时，〃(力2g(x)恒成立，则实数a

的取值范围是()

A.(-oo,e〔B.(-00,ejc.(0/]D.(0,e]

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.复数z=l-i(其中i为虚数单位)，则|z+3i|=.

14.已知向量£=(2,1),石=(—3,-1),且左6―£与£垂直，则左=.

15.在(1-4了的展开式中，x的系数为(用数字作答)

16.已知斜率为行的直线过抛物线后：^=2力(〃>0)的焦点产，与抛物线E交于A,3两点(点A在

点3的左侧)，又。为坐标原点，点C也为抛物线E上一点，且|AB|=6,OC^OA+AOB^则实数X的

值为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

a

17.已知数列｛a,｝中，4=；，n=«„+i+2«„«„+|.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

3”

(2)若且数列他,｝的前"项和为7“，求心

18.某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的

选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100

名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

(I)求所抽取的样本平均数X(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的

质量指标值位于(1(),3()]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.

19.如图，在直四棱柱ABC。一A4GA中，底面四边形A8CO为梯形，点。为AB上一点，且

AD=OC=8C=CO=CG=(A8=2,ABHCD,CO=1(CA+CB).

(1)求证：C。〃平面ADA；

(2)求二面角4一。。一5正弦值.

22

20.已知椭圆C:xy=1(a>0,b>0)左、右焦点分别为士，过尸2且与x轴垂直的直线与椭

圆。交于A,8两点，的面积为2加，点P为椭圆C的下顶点，归用=血|。斗

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)经过抛物线y2=4x的焦点F的直线/交椭圆。于M,N两点，求IFM'F/Vl的取值范围.

21.已知函数/'(X)=x-sinx.

(1)求曲线y=/(x)在点处的切线方程;

(冗冗、

⑵当时，求证：/(x)Nl-cosx；

(3)求证：当时，方程〃x)Tanx=0有且仅有2个实数根.

1

x=r+-

22.在平面直角坐标系宜力中，曲线。的参数方程为＜，”为参数)；以原点。为极点，X轴的正

V--t-----1-

-22t

半轴为极轴，建立极坐标系.直线I的极坐标方程为psinJ=2血.

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若，。-1,求以曲线C与％轴的交点为圆心，且这个交点到直线/的距离为半径的圆的方程.

23.已知函数/(x)=|x-l|+|x+2||

(1)求不等式/(幻49的解集；

(2)当/(X)取最小值时，求使得如-2加=x+l成立的正实数加的取值范围.

答案与解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的.

1.已知集合4={耳—_3xW4},8=万<1],则下列判断正确的是()

A.B=AB.⑦8=(-OO,0]U[2,+OO)

C.-leA且出任8D.Au5={x|-l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】首先分别求两个集合，再判断选项.

【详解】X2-3X<4«^X2-3X-4<0.解得：一1<%<4,

即A={x|-l<x<4},

Jx-lcloOVx-1<1，解得：1W尤<2,即8={H1«X<2},

满足BqA,q,3=(-oo,l)U[2,+oo),-leA且百GB，ADB=A

只有A正确.

故选：A

2.已知。〈。，耳)，tan0=V2>则cos29=()

.y[2RV2r_1n1

3333

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cos2。的值.

cos26>-sin20l-tan2^_1

【详解】cos2^=cos2(9-sin29=

cos26>+sin201+tan203

故选：C.

3.已知随机变量X服从正态分布N(2,7),P(X>l)=0.8,则尸(X»3)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布概率关系求得结果.

【详解】由X~N(2,7),

则P(X23)=尸(XWl)=l—尸(X>l)=0.2

故选：A

4.已知等差数列｛叫满足q+a3=8,%+%=14,则它的前8项的和$8=()

A.70B.82C.92D.105

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的首项为外,公差为d，即可根据已知条件联立方程组解出外和d,从而计算出

【详解】解：设等差数列｛6,｝的首项为％,公差为d.

4+/=8[2a,+2J=8

解得q=l,d=3.

a2+a4=14,寸[2q+4d=14

所以W=84+—J=8+28x3=92.

故选：C.

5.已知圆C的圆心为直线x+y=o与X—y+2=o的交点，半径为,2-加，且圆C截直线x+y+2=0所

得弦的长度为4,则实数加=()

A.-2B.-4C.-6D.-8

【答案】B

【解析】

x+y=0c八

【分析】先由jx_；+2_0，求得圆心坐标，进而得到圆心到直线x+y+2=0的距离d,然后根据圆的

半径为JU,且圆C截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,由(万肃=4+屋求解.

【详解】因为圆C的圆心为直线x+y=0与x-y+2=0的交点，

所以由kyy+=20=。'叫["x=即-1圆心(,山)、，

圆心到直线x+y+2=0的距离为:

因为圆的半径为J2-〃z,且圆C截直线X+>+2=。所得弦的长度为4,

所以（J2）=4+（夜丫,

解得m=-4

故选：B

6.在递增的数列｛4｝中，a3=a,q+2,若4+册=130,4。7=256,且前机项和S“,=170,则

加=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分析出数列｛《,｝为等比数列，再结合等比数列的性质即可求解结论.

【详解】因为在递增的数列｛%｝中，"+1=。“9,+2,所以数列｛%｝是单调递增的等比数歹I，

因为4.。吁1=256,所以qq=256,

a,+a„,=1304=2CL=128

所以《

“j叫%=128一]

所以即胃=85,——①

又因为4«"=128,即＜7'"T=64,•②

①②联立，解得<7=4,根=4.

故选：B.

7.将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线乙旋转一周形成几何体，其三视图如图二,

则这个几何体的体积是（）

附：柱体的体积公式V=S〃（S为底面面积，〃为柱体的高）锥体的体积公式V=」S/z（S为底面面积，〃为

3

锥体的高）台体的体积公式V=g（d+S2+J啊）/7（51,其为台体的上、下底面面积，人为台体的高）

正视图制视图

hl*

1-2―

K—3-d

图一L

461494

A.14万B.15乃C.——D.——

33

【答案】C

【解析】

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体中台体，柱体，锥体的体积公式求出结

果.

【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体;

如图所示:

故选：C.

22

8.设月，工为双曲线C:=1（。>0/>0）的左、右焦点，过坐标原点0的直线依次与双曲线。的左、右

ab

支交于P,Q两点，若|PQ|=2|Q闾=2|。玛则该双曲线的离心率为（）

A.士B.1+百C.2+x/3D.3+273

3

【答案】B

【解析】

【分析】判断四边形鸟为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算

可得所求值.

【详解】解：设双曲线的半焦距为J可得|OP|=|OQ|=|Q6ROg|=c,

即有四边形Q片桃为矩形，

由双曲线的定义可得IQ片l=2o+c,

在直角三角形加2%中,|耳目耳

即有4c2=(2a+c)?+c2,

可得2a+c=6c>

故选：B.

9.已知函数/(x)为R上的奇函数，当x〉0时，〃x)=-x；若Q=0.3<25,0=logo.250-3,c=log032.5,

则()

A./(6)</(«)</(c)B./(c)</(Z2)</(«)

C./(€)</(«)</(/?)D./(«)</(/?)<./(c)

【答案】D

【解析】

［分析］由奇函数性质及x>0的解析式，求得“X)=-X,在实数范围内单调递减，比较数的大小a>b>c,

从而有/(a)</(/?)</(c).

【详解】当x>0时，,f(x)=-x,由奇函数的性质知，

f(x)=-x,xeR,函数单调递减；

-025

又a=O.3>1.b=log()250.3e(0,1),c=log()32.5<0

则a>b>c

由函数单减知，/（＜2）＜/（/?）＜/（C）

故选:D

TT

10.已知在△ABC中，角A,8,C所对的边分别为。也C,且。=2,A=—.又点A,8,C都在球O的球面上,

6

且点。到平面ABC的距离为则球。的体积为（）

634”._

A.12万B.——C.364D.45%

2

【答案】C

【解析】

【分析】设三角形ABC的外接圆的圆心为0’,根据球的截面性质可知00'，平面ABC,利用正弦定理求得A0',

计算球的半径，进而求得体积.

【详解】设三角形A8C的外接圆的圆心为0’,根据球的截面性质可知。。」平面A8C,

JIQ

如图所示，,1a-2,A=—,.,.40'=-----=2,

62sinA

•••0A=y]AO2+OO2=VF+5=3,

4

球的体积为丫=—»R3=36〃，

3

故选：C.

【点睛】

11.已知AABC是边长为2的等边三角形,其中M为8C边的中点，NA6C的平分线交线段40于点N,

交AC于点。，且府•丽=一（。+»（其中。＞0,8＞0）,则一+一的最小值为（）

ab

A.3+2A/2B.—+V2C.]+2§2D.6+4\/2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求得丽・丽=-1，进而得到。+8=1,然后由“1”的代换，利用

基本不等式求解.

【详解】由题意，建立如图所示平面直角坐标系：

则A(O,@,3(-1,O),M(O,O),N0,

所以而f=(0,-G),4R=1,

则AA/"N=-1，

因为AM-BN=-(a+b),

所以a+人=1,

b,、，l2(12Y三2a、、

所以—I———I—(q+b)=3db1---23+2cJ—lb,—23+2_42rr,

ab\ab)ab\ah

a+b=1

当且仅当心—即，即a=&-1功=2-&时，等号成立.

.ab

故选;A.

12.已知函数/z(x)=(x-2)e*,=-ax,又当//(x)20时，〃(x)2g(x)恒成立，则实数a

的取值范围是()

A.(-oo,e2^|B.(-co,ejC.(0,e2]D.(0,e]

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据〃(x)»0求出x»2,进而参变分离解决恒成立的问题即可.

【详解】因为心)=(%-2)炉,所以/z(x)»O,即

所以当xN2时，〃(x)Ng(x)恒成立，即(x-2)e*之；"2一分，

即(x-2)e*2—2),

当x=2时，(x—2)/恒成立，符合题意；

当XW(2,+8)时，有即至-2a,

2x

令加(x)=至，则加(MUI))。,所以〃?(x)在xw(2,母)上单调递增，而"(2)=e2,所以

XX

e2>a>

故选：A.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(l)43(x)恒成立Oa/x)max；(2)。勺》恒成立Qag/(x)min.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.复数z=l-i(其中i为虚数单位)，则|z+3i|=.

【答案】>/5

【解析】

【分析】先根据复数的加法求出复数z+3i,然后再求复数的模.

【详解】因为Z=l—i,所以z+3i=l-i+3i=l+2i,

所以|z+3i|=|l+2i|=jF+22=旧.

故答案为：^5•

14.已知向量。=（2,1）,b=（-3,-1）,且与〃垂直，则左=.

【答案】T

【解析】

【分析】求得我石-£坐标，根据垂直关系列出式子即可求解.

【详解】a—（2,1）,6=（―3,—1）,%匕一。=（-3%—2,—%—1）,

,.,4行―a与a垂直，；.（一3左一2）x2+（—攵-1）x1=0,解得％=—.

故答案为：-4.

15.在（1-五）6的展开式中，X的系数为（用数字作答）

【答案】15

【解析】

【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.

【详解】由二项式的展开式的通项公式，得2i6]_4,=q（_iyJ,令，1，则r=2,所以系数

为C；（-1）2=15，

故答案为：15.

16.已知斜率为血的直线过抛物线£：>2=2内（〃>0）的焦点尸，与抛物线E交于A,3两点（点A在

点3的左侧），又。为坐标原点，点C也为抛物线E上一点，且|A8|=6,OC^OA+AOB'则实数X的

值为.

【答案】0或5-26

【解析】

【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立根据韦达定理和弦长公式，求出夕，再求出点A,3的坐标，

根据向量的运算即可求出.

【详解】解：由于直线斜率为近，且过焦点，则其方程为y=&（》-£）,

将直线方程与抛物线方程联立，消y可得2f-4px+g=0,①

设4(%,y),B(X2,%)，

，％々=2〃，

/.|AB\=x^+9+〃=3p,

•••IAB|=6,

/.3p=6,即〃=2,

①式变为"2一4%+1=0，

解玉=2—g,9=2+8，

A04=(2-^,6-啊,OB=(2+V3,&+向，

设。。=(x,±V2x),

则有2—6+4(2+石)=x,V2-V6+2(V2+V6)=±V2x,

消X,化简整理可得(8+4G)；P-(16+4退)4=0,

解得4=()或九=5-26•

故答案为：0或5—26.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

a2

17.已知数列｛%｝中，4=；，%=n+X+«„«„+1.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

3"

(2)若年=:，且数列也｝前八项和为7.，求却

【答案】(2)7；,=(n-l)-3,,+l+3.

【解析】

【分析】(1)首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出｛4｝的通项公式;

(2)错位相减法求数列的和.

【详解】⑴因为a,,=a“+i+2a“a”+1,令〃=1,贝ijq=%+24%，又。2=葭

所以％=1,

对an=an+}+2a.4,+|两边同时除以。“4+1,得--------=2,

an+\an

1,[11

又因为一=1,所以一}是首项为1,公差为2的等差数列，

所以工=1+2（〃-1）=2"-1,故为=—J―；

2n-l

(2)由(1)得：々=(2鹿一1>3"

所以7；=13+3・32+51+…+(2%一1>3",

则3(=1・32+3・33+5・34+―+(2”—1卜3用

两式相减得-2%=3+2(32+33+…+3")—(2〃-1)3向

o2_鼻〃+1

所以-2T=3+2*一+(l-2n)-3,,+l=(2-2n)-3,,+l-6

"1-3

故7；=（〃_1>3e+3

18.某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的

选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100

名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数亍（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的

质量指标值位于（10,30]内的人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）26.5；（2）分布列答案见解析，数学期望：2.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数;

（2）首先求出X的所有可能取值，然后求出对应概率，即可列出分布列，进而根据期望的概念即可求出结果.

【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为:

(0,10］的频率为：0.010x10=0.1；(10,2()］的频率为：0.020x10=0.2；

(20,30］的频率为:0.030x10=0.3；(30,40］的频率：0.025x10=0.25；

(40,50］的频率为：0.015x10=0.15,

Ax=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5.

（2）根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于（10,30］内的概率为0.2+0.3=0.5,

所以X~Bf4,—

,X的可能取值为：0,1,2,3,4,

X的分布列为:

X01234

13］_1

p

1648416

/.E(X)=0x—+lxl+2x-+3xl+4x—=2.

''1648416

19.如图，在直四棱柱ABC。-48cq中，底面四边形ABCO为梯形，点。为A3上一点，且

AO=OC=BC=CO=CG=：A8=2,ABHCD,CO=1(CA+CB).

(i)求证：G。〃平面u>A；

(2)求二面角4一c。一片的正弦值.

【答案】(1)证明见解析：(2)生叵.

7

【解析】

【分析】(1)在直四棱柱中，，求得四边形AOCD为平行四边形，所以AD〃OC，证得平面AAO〃

平面G。。，从而有GO〃平面AD4,；

(2)证得C4，CB,CG两两互相垂直，则建立空间直角坐标系C-盯Z,求得平面ACO和平面片。。的

法向量，利用向量夹角求得二面角的正弦值.

【详解】⑴因为四棱柱ABC。-为直四棱柱，所以AA〃C£

又已知CO=g(C4+C6),所以点。为A3的中点，

又8=且AB"CD

2

所以C£>=OA且CD〃Q4,所以四边形AOCD为平行四边形，所以A0//OC，

又在平面AA。中，MC]AD=A,

在平面G。。中，cc,QCO=C,

由面面平行的判定定理的推论知平面4A。〃平面G。。，

又CQu平面G。。，所以G。〃平面AD&

（2）由（1）知点。为AB的中点，所以0C为AABC的边A3上的中线，而CO=』A5,所以由在一个三

2

角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，且这边所对的角为直角知，

△A8C为直角三角形，且NACB为直角，故AC_LBC,又在直四棱柱ABC。一中，。。_1底

面48CD,所以C4,CB,CG两两互相垂直，则建立空间直角坐标系。-孙z如图所示，

则4(26,0,2),C(0,0,0),P便,1,0),片(0,2,2),

设平面4。。的一个法向量为加=（X，y,zJ,

又4—b>=(-260,-2)，4b=[疯1,_2)，

(X，y,z)(-26,O,-2)=O

/n-AC=0

则由，-L,得<l、，即，

m-\O=0-73,1,-2=0

令X]=6,则Z]=-3,乂=-3,所以所=(、6,—3,—3)

同理，设平面与。。的一个法向量为〃=（w，%，Z2），

—>—>

又30=(0,_2,_2)，BQ=

n-B.C=Q(x2,y2,z2)-(0,-2,-2)=0%+z2=°

则由＜_L,得即,

为BQ=0(x2,y2,z2)-(A^,-l,-2)=0

-y2-2Z2=0

令%=1，则Z2=-l,x,=--1所以五II

-3当

/___\m-n1

所以cos但，）=丽=亍

设二面角A-CO-B,的平面角为氏

则sin0=^1-cos2,

故所求二面角A—co-4的正弦值为延

7

22

20.已知椭圆C:鼻+卓=1（。＞0,人＞0）的左、右焦点分别为士，F],过名且与X轴垂直的直线与椭

圆C交于A,B两点,AAOB的面积为2a，点尸为椭圆。的下顶点，归周=&|。斗

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过抛物线V=4x的焦点厂的直线/交椭圆。于“，N两点，求|丽•丽|的取值范围.

【答案】（1）三+乙=1；（2）-,7.

8412」

【解析】

【分析】（1）利用AOPK为直角三角形，得到b=c,再利用AAOB的面积，得到a,b,C的关系，结合

"=/+。2,求出。，*即可得到椭圆的标准方程；

（2）利用平面向量数量积的定义表示出|户而.而|,分两种情况：①若直线/与x轴重合，求出|丽•或|=7；

②若直线/与x轴不重合，设直线/的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，由两点间距离公式求出|FN|,

\FM\,表示出|丽•成I，求解取值范围即可.

【详解】⑴因为AOPg为直角三角形，所以〃+,2=归入「=（、&『，则武。，

又S.AOB』竺TC=^=2叵,所以片c=2夜4，

2aa

又。2=加+。2，所以）3=2五.+。2=4b,

则b2=4,

22

a2=b2+c2=4+4=8＞故椭圆。的标准方程为上+匕=1

84

⑵因为抛物线/=4x的焦点坐标为(1,0)，所以点F的坐标为F(l,0),

设Nd，3)

又因为|丽.丽卜卜丽H珂<05万|=归孙冲]

①若直线/与x轴重合，|两■•而|=|月0卜|硒|=(。-1)(4+1)=7

x=my+1

②若直线/不与尤轴重合，设直线/的方程为1=冲+1,则y2

[84

消去x得(〃r+2)y~+2,tny—7=0,

—2m-7

所以X+%=乂%=

m2+2m2+2

则由两点间的距离公式有|FM\-J(X1-I1+y：={(my[+1-1)"+y：=Jm2+11yJ，

同理|叫="+1)区|，

所以|加•而卜MM=(>+l)|y必|

2

1c、77(m+2)-77,

=(m'+1)♦—3----=———：=7-----：----'因为+2>2>

'7m~+2nr+2m~+2

7777

所以0v「一<-,所以一47一---<7,

“+222病+2

综上①②可知I丽•丽|=怛例卜|可归1,7

7

BIJ|FM|.|FN|取值范围是-,7

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用向量共线将向量的数量积的绝对值转化为焦半径来解答，本题中

焦半径是利用两点间距离公式求解，转化为二次函数，利用二次函数在区间上的最值求解.

21.已知函数/(x)=x-sinx.

(jr(jrW

(1)求曲线y=〃x)在点-处的切线方程；

[212〃

\7C7T\

⑵当》1-5，句时，求证：.f(zx)»l—cosx；

(3)求证：当时，方程〃力一；tanx=0有且仅有2个实数根

【答案】(l)x-y=O；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(l)/'(x)=sinx+xcosx,根据导数几何意义求得在点夕/5］处的切线斜率，写出切线方

程；

⑵令g(x)=/(x)+cosx-l=x-sinx+cosx-l,通过导数研究函数在》61一5,5)的最小值情况，从

而证得结果；

(3)由/(x)—$anx=O,化简得3xcosx-1=0,设〃(x)=3x<osx-l,通过二次求导求得方程的根的

情况.

【详解】(1)因为/'(x)=x・sinx,/'(%)=sinx+xcosx,

故在点处的切线斜率为左=r(m)=i,点为

故所求的切线方程为x-y=0

(2)令g(x)=F(J)+COSJ—1=x・sinJ+COSJC_1,

nn

,(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

卜会。)时，(力<恒成立，“(尤)在卜/。)上单调递减,

当xe-8’0

当xe0，W时，g'(x)>0恒成立，••.g(x)在0,1J上单调递增,

.•.当xe时,g(x)?g(O)=O恒成立,

(7t7C\/、

故当一时，/(x)>l-cosx；

]sinx

⑶由/(x)——tan=0,即xsinxu-2~~—,则3xcosx-l=0

33cosx

设/z(x)=3x-cosx-l,〃(％)的定义域为1。弓(/z'(x)=3(cosx-x-sinx),

设研x)=cosx-x-sinx,的定义域为［。，耳］,o'(x)=-2sinx-x-cosx,

当工£(0卷］时，方(%)<0恒成立，・・.o(x)在(0卷)上单调递减，

又少(0)=1>0,0(］=一耳<0，・.•存在唯一的工o使得啰(%))二0，

当0cx<玉)时,0(尤)>0,则丸'(x)=3O(x)>0,//(x)在(0,不)上单调递增，

当x()<x<g•时，6>(x)<0,则M(x)=3矶x)<0,/z(x)在［0，?上单调递减,

.."(x)在x=5处取得极大值也是最大值，从而〃(%)»=主答-1>0

又〃⑼=一1<0,棉)=一1<0,

〃(x)在(0,工)与尼尚)上各有一个零点，

即当时，方程“X)—gtanx=0有且仅有2个实数根

1

x=r+-

22.在平面直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为《。为参数)；以原点。为极点，X轴的正

t1

y=---------

22t

半轴为极轴，建立极坐标系.直线I的极坐标方程为psin