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文档简介
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百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!抽象函数见题型解法述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:一定域题例已知函数
f(2)
的定义域是12],求f(x)的定义域。解
f(
2
)
的定义域是[,],是指
x2,所(
2
)中x满
x
2
4从而函数fx)定义域是[1,]评一般地知数
f
())
的定义域是Ax定义域问题当已知
fx))中x的值范围为A据此求
x)
的值域问题。例已知函数
f(x
的定义域是
[
,求函数
[log(3)]1
的定义域。2解
f)
的定义域是
[
,意思是凡被
f作用的对象都在
[
中,由此可得111log(3)()2)x222所以函数
(3)]1
的定义域是
11[,4
]2评:类问题的一般形式是:已知函数f(x)的定义域是A求函数
fx))
的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键问题实质上相当于已知值域且BA,此求x的值范围。例和例1形上正相反。
x)
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百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!二求问例已知定义域为
R
的函数f()同时满足下列条件:①
ff(6)
15
;②f(f()(y)
,求f(3,f)的值。解取
,y
,得
f(6)(2)(3)因为又取
f(2)f(6)y
14,所以f55得
f(9)f(3)f
85评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取
x,y
,这样便把已知条件f(2)f(6)三值问
15
与欲求的f)通了起来。赋值是解此类问题的常用技巧。例设函数f(x)定义于实数集上对于任意实数、y
f(yf(x)fy
总成立,且存在
xx,使得()f)2
,求函数
f)
的值域。解令
x
,得
f(0)f
,即有
f(0)0
或
f
。若
f(0)0,则f(x)f(xf(x)(0)0
,对任意x均成立,这与存在实数xx,得(x)fx)2
成立矛盾,故
f(0)0,有(0)
。由于
f(yf(x)fy
对任意
x、
均成立,因此,对任意
x
,有xxxf()f()f()f()f()]2222R,fx)0下面来证明,对任意
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百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!设存在
x0
,使得
f)0
,则
f(0)f(x)fx)()00这与上面已证的f()所以
f(0)0
矛盾,因此,对任意
R,fx)0评:处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的值,这是一般向特殊转化的必要手段。四解式题例设对满足
x,x
的所有实数x数
f)
满足
xf(x)()x
求()的解析式。解在
f()(
xx
)
中以
xx
代换其中x,得:f(
x12x)(x
(2)再在(1)中以
1x
代换x,f(
1x)(x)xx
(3)
化简得:
fx)
x2x(评:果把
xx
分别看作两个变量怎实现由个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。五单性题例设f(x)定义于实数集上,当
x
时,
f()
,且对于任意实数
x、y,教育网
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百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!f(y)f(x)(y)
,求证:
f)
在R上为增函数证:
f(x)x)f()
中取
x
,得
f(0)f
若
f(0)0
,令
,y
,则
f()
,与
f(x)
矛盾所以
f(0)0
,即有
f(0)当x0时f(x)0;0时,(0而
f(()f(0)所以
f(x)
f()
0又当
x
时,
f(0)所以对任意
x
,恒有
f()设
xx,(x)221所以
f(x)f[xx)]f(x)fx)f()所以
fx)
在上增函数。评:般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六奇性题例已知函数
f()(,x
对任意不等于零的实数
x、x
都有f(x)()f(x)212
,试判断函数f(x)的奇偶性。教育网
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x
得:
f(f(f(1)
,所以
f又取
xx2
得:
ff((
,所以
f(再取
xxf(f(f(x),()f(x)2因为
f)
为非零函数,所以
f)
为偶函数。七对性题例已知函数
yx)足)f()2002求f
()
的值。解已式即在对称关系式
f(a)f(a)b中取a,b2002
,所以函数yx)
的图象关于点(0)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数
yf
()
的图象关于点20020对称。所以
f
(1001)
将上式中的x用
x
代换,得
f()f
)评:是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解中使用了下述命题:设a、b均为常数函
fx)
对一切实数x满足
f()f(a)2b
则数
f(x)
的图象关于点(,)成中心对称图形。八网综问例9.定义在R上函数f(x)足:对任意实数,,总有当时,(x)。(1判断fx)单调性;
f(m)f()(n
,且(2设
{(,)(
2)y2
)f
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百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!{(x,)|(axy2)}若
,试确定a取值范围。解:()
f(m)(m(n)
中,令
n0,得ff(1)(0)
,因为f(1)0,所以f(0)
。在
f(m)f()(n
中,令
m,因为当x时0)所以当
x0
时
(而
f(()f(0)所以
f()
f()
0又当时
f(0)
,所以,综上可知,对于任意
x
,均有
f()
。设
x
,则
xf(x)21所以
f(x)f[xx)]f()(x)f(x)12111所以
fx)
在上减函数。(2由于函数y=f()在上减函数,所以
f(2)(y2f(y2f即有
x
2y2
又
(y
2)f(0)
,根据函数的单调性,有
由
AB
,所以直线
y
与圆面
x
无公共点。因
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