《高数》考试题库（附答案）

武科院试题

一、填空题(4X3分=12分)

/(x+2/z)-f(x-3A)

1.设/(x())存在，则lun^~05---------n------=_________

。->oh

2.函数/(x)=x3—3r—9x+5在［-2,4］上的最大值为.

3.逐次积分/=J。dvjf（x,y）dy更换积分次序后为.

4.微分方程y''-y'-6y=0的通解为.

二、单项选择题（4X3分=12分）

1.设函数/（X）在X=Xo处连续，若X。为了（X）的极值点，则必有

（A）r（xo）=o（B）八与）*0

（C）/'*0）=0或八%0）不存在（D）/'（/）不存在

「°,

2.设/（X）是［0,+8］上的连续函数，x＞0时，

(A)-/(X)(B)/(X)(C)/W(D)-/W

3、已知三点A(l,0,-l),B(l,—2,0),C(——则ABXAC=

(A)3A/6(B)2A/6(C)6A/2(D)673

4、函数〃=xy2+e”在点(1,1)处的梯度为

(A)(2,1+e)(B)2(1+e)(OJ2(l+e)(D)(1+e,2)

三、计算题(每小题7分，共56分)

「1+COS7ZX

lim----------

1.计算极限Xfi_2x+］

2.求曲面e--Z+盯=3在点（2,1,0）处的切平面及法线方程.

X

2=arctan—

3.设y,而X="十%y=〃一匕求z〃，Zy

x=2（r-sinr）2y

4.设b=4（1—cos。，求芯

5.计算不定积分Jin2%a*

2

,r%

6.计算二重积分-dcr,其中。是由直线x=2,y=x及曲线肛=1在第一象限内所围成的闭区域.

Dy

dy

7.求微分方程上+2xy=4x的通解.

dx

8.A,8为何值时，平面%:Ax+8y+4z-5=0垂直于直线L:x=3+2%,y=5-3r,z=-2-2f?

四、（10分）求抛物线y=-/+4x-3及其在点（0,-3）和（3,0）处的切线所围成的图形的面积.

五、（10分）设/（x）在［/，%21上可导，且0＜修＜》2,试证明在（当，％2）内至少存在一点J，使

玉/（々）-％2/（网）

X|-x2

高等数学试题

一、填空题（每小题3分共15分）

1.j=arccosx2则V(0)=2.设/(X)=arctane*，则或(X)=

3：J)y/l—x2dx=4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是

5.当％=时，lim(l+—)x—y[e

x

二、单选题(每小题3分共15分)

1.必为函数f(x)单调区间分界点的是()

A.使//(%)=0的点B.f(x)的间断点

C.『(X)不存在的点D.以上都不对

/(x)右#则lim〃*=()

2：设f(o)=o且lim存在，

x->0Xxf。X

A:f(0)B:f'(x)C:f/(0)D:0

4•4-OO

x

3：])e~dx=()

A.-1B.0c.1D.发散

4:若/7"的一个原函数是，，则//(工)=()

X

12,.J1

A.----B.——C.InXD.一

XX'X

5:微分方程/=的通解为y二()

xx

A：e~+C1X+c2B：+。/+。2C：eD：-e~

三、求极限(每小题6分，共42分)

1：lim(7x2+3X-x)o2：)2x3：求丁=xsii?x-^^+4%的dy

xfooA-X®XX

4：求隐函数方程yJxy+2x、y2确定y=y(x)的一)5：f---dx

dxJxlnx

6：dx7：设函数y=y(x)由参数方程「-2确定，求出。

y=1-t

四、微积分应用题(第1,2题各9分，第3题10分，共28分)

1.求y+y=x的通解

2.求微分方程/+5y-6y=0满足初始条件y(0)=-4,y(0)=—30的特解.

3.求曲线y=«(o<x<2)绕x轴一周旋转所围成的体积

普通高校专升本《高等数学》试卷

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）

（,2

x=r-t

1.曲线《在，=0处的切线方程为_______________________.

2+y+1=0

X1

2.已知/（%）在（-co,+oo）内连续,/（0）=1,设F（x）=⑺dr,则

sinx

F（0）=.

3.设Z为球面x2+y2+z2=a2（a>0）的外侧，则

x5dydz+y3dzdx+z3dxdy=.

察级数y（-2）-+3-（x-i）-的收敛域为_____________________________.

4.

占〃

5.已知n阶方阵A满足A2+A+2E=0，其中E是n阶单位阵，Z为任意实数则(A-AEfi

'112、

6.已知矩阵A相似于矩阵1―10,则|4+同=_.

__、。01

7.已知P（B）=0.2,P（AB）=0.6,则P（A|8）=.

8.设£（x）是随机变量J的概率密度函数，则随机变量7=7?的概率密度函数

f„（y）=------------------------------------------------

选择题.（本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

7T•2%.njt

1.lim-sin——l-sin——H---l-sin—).

〃->oonflnn

（B）；2

(A)2（C「）乃2（。）

7T

2.微分方程（2%一丁）（1%+（2y一》川卜=0的通解为（).(C为任意常数)

(A)x1+xy+y2(B)x1-xy+y2=C

(C)2x2-xy+3y2=C(D)2x2+xy+3j2=C

123

3J1XXX2v

1------1-------------F,••+•edv).

1!2!3!”!

0

(A)e-1(B)e

1a

(C)|(e3-l)（Z））e3-1

2222

4.曲面x+y=z,x+y=4与xOy面所围成的立体体积为（).

(A)2TT(B)（C）6万（。）8乃

I7

5.投篮比赛中,每位投手投篮三次，至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为-;若第一次未投中，第二次投中的概率为—；若第

210

9

一，第二次均未投中，第三次投中的概率为—,则该投手未获奖的概率为（).

c24

(A)—(B)----（。）

200200200

6.设％,。2，一・，二〃是攵个加维向量，则命题“。],%，・一，%线性无关”

与命题()不等价O

k

(A)对^jciai=0,则必有C)=c2=•­•=cx,=0；

/=i

(B)在%,%，…，4中没有零向量；

k

(C)对任意一组不全为零的数6/，…q，必有；

i=l

(D)向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出.

7.已知二维随机变量(。〃)在三角形区域04xVl,0Vy<x上服从均匀分

布，则其条件概率密度函数力|〃(x|y)是(

fl—y,yWl

(A).0<y<1时，人加(％|丁)={-

u，其它

1

0<x<l

(B).0<y<1时，匾(x|y)=T-y'

,0,其它

[1-j,0<x<l

(C)0<y<l时，f^,,(x\y)=<,

、u,其它

1

y<x<l

(D)0<y<l时，“(x|y)=J_y'

.0,其它

8.已知二维随机变量(J,〃)的概率分布为：

「€=1,〃=—1}=P{J=L〃=1}=P€=4,〃=—2}=P€=4,〃=2}=；,

则下面正确的结论是().

(A)百与?7是不相关的

(B)D&=Drt

(C)4与〃是相互独立的

(£))存在«,/?e(-oo,+oo),使得P{<^=a+br/}=l

三.计算题：(计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分)

1

a—1x

1.计算lim---,(Q>0,awl).

X

\J

x+y+/?=099

2.设直线LA在平面71上，而平面71与曲面Z=/+y2相切于点(1,-2,5),求a,b的值

ax-5y-z-3=Q

3.计算

4.设/(〃)具有二阶导数，且z=/(evsiny)满足等式

若/(0)=1,/(0)=1，求/(〃)的表达式.

3Y

5.将函数/(%)=------展开成X的累级数.

」l+x-2x72

‘210、

6.已知矩阵A=021且(A*)*8(AT)*=BA—E，其中A*为A

、002,

的伴随矩阵，求矩阵B.

7.已知A为6阶方阵，且同=|(四,用「一，凤)|=2，3=血，民，…血，⑷，

C=(A血，尸2,…，鱼)，求忸+C

8.已知随机事件A,B满足P(8)=；,P(B|4)=；,P(A|8)=；,定义随机变量

.1,B发生[1,A发生

c=s,n=<

[-1,B不发生[-1,A不发生

求(1)二维随机变量(J,/7)的联合概率分布；(2)P{2^+7<1}.

100

9.设随机变量。&，…，品o是相互独立的，且均在(0,20)上服从均匀分布.令4=Z1，求>1100}的近似值。

J=1

(<D(V3)«0.9582)

四.应用题：(本题共3个小题，每小题8分，共24分)

1.假定足球门宽为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进(如图).问：他在离底普几米的地?将获得最大的射门张角

。？|：4±6.

\:

Tr！

2.已知a=(l,0,-l,l),/?=(l,l,0,l),且A=的丁，求方程组A"x=0的通解.、个、।

3.已知随机变量满足及4)=1,£(〃)=2,。0=4,。(〃)=9,且分=3.令y=(4J+a疗，求a的值使E⑺最小.

五.证明题：(本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分)

1.设f(X)在(-00,+oo)内连续，且HmA^=0,证明：总存在一点q

，使

X—X

得偌)=4.

2.已知A,B均为〃阶方阵，且AHO及B的每一个列向量均为方程组

Ax=0的解，证明：|8|=0.

请将正确答案填涂在答题卡上！

一、多项选择题(四选二)(15X1)

1.()是偶函数。A：x2,B：cosx,C：ln(l+x),D：sinx.

3xx

2.()是奇函数。A：x,B：cosxrc：ln(l+x),D：e-e~.

3.()是严格增加函数。A：x3,B：ex,c：sinx.D：—.

1+x2

4.函数()的定义域为(-00,8)。A：ln(cosx),B：3”,c：sinx.D：\jl-x2.

X2

5.当Xf0时，()是正确的。A:ex-I-x,B：ln(l+2x)-x,c：sin2x-2x,D：cosx-1----.

2

6.当X.0时，()趋于零。A：xsin—,B：cosx,C：5x/sin2x,D：3X-1.

x

7./(*)6。[〃,切则/(刈()成立A：/(x)eC(a,m，B：在[a,加上可取到最大值，c：/(0)=0,D：不可导.

8.f(x)eC[a,b],f(a)-f(b)<0则方程/(x)=0A：有实根B：至少有一个实根c：无实根D：不一定有实根。

9/(x)=x2,g(x)=e*则A：/(g(x))=/*,B：f(g(x))=ex',c：g(f(x))=ex',D：g(f(x))=e2x.

10.满足f'(O)=l的函数是()A：ex.B：ln(l+X),c：cosx,D：X2+1

11.函数可微与连续的关系是A:可微一定连续，B:连续一定可微，C:可微与连续等价，D:连续未必可微。

12.存在极大值点的函数是()A:eX-l-X.B:COSX.C:X3,D:l+X-ex.

13./'(4)=0,/''(4)。0,则*=4是()A:驻点，B:拐点,C:拐点的横坐标，D:极值点。

1X2

14.有水平渐近线的函数是()A:xeX,B:------r,C:------,D:X2+X+1.

1+X1+X

15.有垂直渐近线的函数是()A：---------------,B：xJ+x2+x+l.c：Inx.D：sinx

(x-l)(x-2)

单项选择题(16—70：55X1)

二、求极限

X2

16.lim------------=()A:0.25,B:0.5,c：o,D:1.

a。ln(l+x)sin2x

..ln(l+2x)/.

17.Iim--------------=()A:1,B:0.2,0:0.4,D:0.

I。tan5x

18.limw-ln(l+—)=()A:1,B:e,C:0,+00

19.lim-()A:0,B:1/ln3,0:In3,D:1

2.1

xsm—

______x_(\

20.iiin—IjA:不存在，B:0.5,C:1,D:0.

xfox+sinx

三.找出下列错误的说法或等式。

21.A:函数连续未必可微，B:函数的极值点一定是其驻点。

C:函数可微则其曲线存在切线，D:函数可微则其一定可导，

22.A:奇函数乘奇函数是偶函数，B:偶函数乘偶函数是偶函数，

C:奇函数与奇函数的复合是奇函数。D:连续偶函数的原函数一定是奇函数。

23.A:多项式函数的导函数是多项式函数,B:有理函数的导函数是有理函数，

C:初等函数的导函数是初等函数，D:有理函数的原函数一定是有理函数。

24.A：(sinx)f=cosx,B：(cosx)f=-sinx,c：(secx)r=tanx,D：(tanx)r=sec2x»

1________

232

25.A：Jsin(sinx)rfx=l,B：jxrfx=-,cJxcosxdx=0.D:J\ll-xdx=y.

-103T

四.计算导数

26.[(x2+l)3r=A:3(x2+1)2,B:6x(x2+1)2,C:6x(x2+1),D:6(x2+1).

27.[3X+x4]F=A:x3x_1+4x3,B:x3xl+3x\C:3XIn3+3x\D:3vIn3+4x3

28.[sin3x+—=A:3cos3x----:3cos3x+lnx,C:cos3x4-Inx,D:cos3x----------

xx2x2

29.[4x+l+lnx]'=A:5+-,B:4+-,C:-+l,D:-.

XXXX

2

30.[J/Jd，=A：e,2,B:exl,D:-/.

五.计算积分及应用。

dx=A:arctanx+C,B:arctan~,C:arctanx,D:arctan一■卜C.

1+x2X

32.Jsinxdx=A:0,B:l,C:2,D:3.

0

33.jexdx=A:ex+C,B:ex+C,C:ex,D:e\

34.JInxdx=A:-1,B:l,C:e,D:-e

i

35.j(x+l)4dr=A：i,B:-,c：卫，D:卫

o5555

K

36.1sin7xdx=A:0,B:1,C:2,D:3.

-n

}.x1

37.J------^dxA:—In2,B:ln2,C:1,D:0.

38,椭圆「+5<1的面积为

A:2—x2dx.B:D:2f—\Ja2-x2dx.39.y=X与

y=

2

A：J(x—y/x)dx9B:J(Vx—x)dx,D:J(Vx—x)dx.

o00

X2(y-h)2

40.椭圆——+h>b绕x轴旋转旋转体体积为

ab2

Q卜__________

A:Mabh,B:442山也D:^,J2/i-2—Va2-x2dx

-aa

六.基本题

41.下列各组函数为同一函数的是（）.

X—1

A:/(x)=ln(x2-9)-^g(x)=ln(x-3)+ln(x+3),B:f(x)=-------与g(x)=x+l,

x-1

C:f(x)=x-^g(x)=x(cos2x+sin2x),D:/(x)=elnx-^g(x)=x.

42.函数/(X)="X与双工)=«"加"在()内表示同一个函数。

A:-1<x1,B:x>0,C:x40,D:x>0.

43.设/(%)=x2,g(x)=sinx,贝！|f(g(x))=().

A:sin2x,B:sinx2,c：x24-sinx,D：x2sinx.

44.设f(x)=L,贝!|/(/(x))=(

).A:x,B:1C:—D:x2.

Xx

45.设lim(l+&)*=e2,则》=(

).A:-2,3:2,C：4,D:-4.

46.当X―>0时,（）是无穷小。A:(x+x2)sin—,,C:ex,D:-.

xx

.1

sinrsinr1sin一

47.计算正确的是()A.lim----=1，B.lim-------=1，C.limxsin—=1,D.lim—3=1.

x->ooxx—>02xx^<x>xx->01

X

exx<0

48/(x)=<在(-co,+oo)上连续，则a=()o4:0,B:2,C:l,D:2.

a+xx>0

49..函数^/'(co§2x)=sin2x,_@/(0)=0;f(x)=().

242

A:x——:cosx——cosx,C:1-x,D:x--x+1.

222

5O./(2x)=lnx^V'(x)=().A:-,B:—,C:x,0:1.

x2x

5】J(x)=xeX贝！I，/"(0)=()A:l,5:0,C:2,0:3.

52.在【一i,1】上满足罗尔定理条件的函数()A:x+1,B:J=|X|,C:X3,D:J=l-x2.

53.水平直线与曲线y=x+e-*相切则切点坐标()A:(o,-1),B:(0,1),C:(l,0),D:(-l,0).

54.已知/'(x)=(x—l)(x-2)2(X-3)则函数/(x)的极小值点是

A:x=1,Btx=2,C:x=3,D：无。

55.微积分基本定理是：

A：牛顿一莱布尼兹公式，B：罗尔定理，C:拉格朗日中值定理，D:积分中值定理。

七.空间解析几何部分

56.X=2在空间中表示；A:一个点，B:一条直线，C:一张平面，D:一张曲面。

57.平面方程3x+4y+5z+6=0的法向量是：A:{3,4,0)B:{3,4,5)C:{3,0,5)D:{3.0,0}

58.直线方程X=1+2t,Y=2+3t,Z=3+4t,的方向向量是A:{1,2,3),B:{0,l,0}c：{2,3,4),D:{1,0,0),

59.两点(2,3,4)与(4,3,2)连线的中点坐标是A:{1,2,3}.B:C:{3,3,3},D:{1,0,0},

60.两个向量的几何关系有：A:平行或相交，B:垂直或相交，C:相交与平行或异面，D:ABC都不全面。

61.两张平面的几何关系有：A:平行或相交，B:相交与垂直，C:重合与垂直，D:ABC都不全面，

62.空间坐标系中有几张坐标平面：A:一张，B:两张，C:三张，D:四张。

63空间直角坐标系的三个坐标轴A:互不相交，B:两两相互垂直，C:不过原点,D:ABC都不对，

64.空间坐标系中坐标轴的单位向量是：A:f={1,0,0},8:<7={0,1,0},0仄={0,0,1}1小且8且0.

65.过空间中两点可以唯一确定：A:一条曲线，B:一条直线，C:一张平面，D:一张曲面。

66.过空间三点可唯一确定：A:一条曲线，B:一条直线，C:一张平面，D:一张曲面。

67.空间直角坐标系中，坐标平面将整个空间分成几个卦限：A:4个，B:3个，C:8个，D:6个。

68.(1,-2,-3)是第几卦限中的点.A:2,B:4,C:6,D:8.

69.(1,3,4)到X轴的距离是：A:1,B:3,C:4,D:5.

70.点(1,2,3)与(3,4,5)的距离是：A:2百，B:3百，C:2,D:3.

招生考试专升本模拟试题

数学试题(一)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填

在题后的括号内。

1.设/(%)=丁+3%—limf(x),则/(x)等于()

Xfl

A.+3x—4B.x+3x—3

c./+3x—2D,d+3%—1

2.已知。为常数，f(x)=2a,则Um+")―/(Q等于()

20h

A.2"B.a-2"Tc.2"ln2D.O

3.已知y=2*+/+/,则y'等于()

A.2x+2x+e~B.2'Inx+2x+2^

c.2,2+2xD.%•21+2”

已知/(x)=x+lnx,g(x)=e*,则且〃g(x)]等于()

4.

dx

A.1+—B.l+exc,ex+-D.ex--

Y

5.已知/(x)=sin2-则/等于)

V311

A.——B.一C.一D.百

442

6.设了（x）的一个原函数为xln（九+1）,则下列等式成立的是)

B.j/(x)6Zx=[xln(x+l)y+C

A.jf{x)dx=xln(x+1)+Cc.Jxln(x+iyZx=f(x)+C

j[xln(x+iy|7Zx=f(x)4-C

7.设7（x）为连续函数()

44卜（。）

1

C.一-/(0)D./(2)-/(0)

2佃

8.广义积分广空詈

dr等于（）

兀

A.Lf(u)duB.回

44

c.^f(u)duD.卜f(W

43

2

xv,dz

9.设z=，则------()

dxdy

A.(1+xy)exyB.x(l+y)exyc.y(l+x)exyD.xyexy

io.若事件A与5为互斥事件，且P（A）=0.3,P（A+8）=0.8,则尸（3）等于（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在题中横线上。

2

11.设limf1+—x+4x-x

e~4,则左=12.lim——,

XfcolXX—>4002+x

13.设y=ln(〃2+r),则dy=________14.函数y=x-ln（l+x）的驻点为工=

15.设/(Vx)=X+卡,则/"(x)户116.Jxdcosx=

a2

17.设f(x)=arctanVrJr(x>0),则/'(I)=.18.若[：(/sinx+x2\ir=§,则〃=

、，&

19.已知Z=X’,则一20.已知z=/(盯,),且■都存在，则dz二

dudv

三、解答题：本大题共8个小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。

「1-COSXex」

21.（本题满分8分）计算hm——--.22.（本题满分8分）设函数y=-----，求dy.

38Xsinx

f1+sinx,

23.（本题满分8分）计算［——；—dx.25.（本题满分8分）计算£x

JcosX"?"d

24.（本题满分8分）甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为06和0.8,求此密码被破译的概率.

26.（本题满分10分）设函数y=a?+0X+C在点x=l处取得极小值一1,且点（0,1）为该函数曲线的拐点，试求常数a/,c.

27.（本题满分io分）设函数y=y（x）是由方程cosS0=x+y所确定的隐函数，求函数曲线y=y（x）,过点（0,】）的切线方程.

28.（本题满分10分）求函数z=+y2在条件2x+y=5下的极值.

招生考试专升本模拟试题数学试题（二）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填

在题后的括号内。

sin2x

,x＜0,

x(x-l)

1.设函数/(x)=<,则函数/（x）的间断点是)

x2-1

,x>0,

、x+2

A.X=—2B.X=-1

C.X=1D.X=0

2.设/（外在与及其领域内可导，且当无＜须）时/'（幻＜0,则必有/'（/）（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不确定

3.设〃(x),v(x)在％=0处可导，且“(0)=1,/(0)=1/(0)=2,M(0)=2则lim―^等于()

XT0x

A.-2B.0C.2D.4

4.设函数/(x)=sin(x2)+e-2t,则/'(切等于()

A.cos(x2)+2e~2xB.2xcos(x2)-2e-2v

C.-2xcos(x2)-e~2xD.2xcos(x2)+e~2v

5.曲线y=x+e)在(-8,+8)内是()

A.单调递增且是凹的B.单调递增且是凸的

C.单调递减且是凹的D.单调递减且是凸的

6.若J/(x)公=比一"+C,则J—/(Inx)公等于()

A.xlnx+CB.-xlnx+C

c.-Inx+CD.—Inx+C

xx

7.设/'(Inx)=1+x