函数图像在物理上的应用

函图在理的用值得突出提出的是函数图像在物理上的应用图象描述物理过程和物理规律在力学中有S－图，振动图象。热学中有P-V图－T图VT。电学中有I-U图可以用图象处理实验数据导出表示物理规律的函数式；可依据物理图象求解物理量，对物理问题进行判断论证。本文着重介绍一种能直观、形象地描绘物理规律、解决物理问题的方法——图象法，从图象的点”、“面”、“形”四层次所含物理意义入手，阐述图像法在中学物理中的应用。【关键词】：图象法”斜率截距面积一方介物理规律可以用文字来描述也以用数学函数式来表示可以用图象来描述利图象描述物理规解决物理问题的方法称之为图象法物理图象有很多类型，如模型图、受力分析图、过程分析图、矢量（运动）合成分解图、函数图象等。图象具有形象、直观、动态变化过程清晰等特点，能使物理问题简化明了更重要的是它能将物理学科与数学息术等其他学科有机地结合起来增强学生的综合素质能力海市二期课改新教材中明确提出DIS实验将物理律通过用图形计算器算机将数据采集器采集到的数据以图象的形式呈现给学生求学生通过对图像的分析用图形计算机对图线进行拟合来确定物理量之间的关系，探究物理规律。二把象运于理学意直观象简解过程图象解法不仅思路清晰，而且直观、形象，可使题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的效果。例如在比较匀变速直线运动中的平均速度与中间位臵的速度的大小系时，用图象法解题一目了然。如图1，平均速度中间时刻速度，中间位臵的瞬时速度即面积平分时刻的速度。依据图象能很快地得出结论V＜。用于验简数处理法物理学习离不开物理实验，在物理实验中应用图象法进行数据处理，不仅具有简明、直观的特点，而且还可以减小误差、分析误差的成因。如测量电源电动势与内阻的实，根据实验数据画出路端电压与电流的图象。为减小误差可从图线上任意取两点求出图线的斜率，斜率的绝对值为电源内阻，而图线与纵坐标的截距即为电源的电动势。而在验证牛顿第二定律的实验中，对a－F图象进行分析可得到实验的误差成因，与横轴的截距表示没有平衡摩擦力，与纵轴的截距表示过度平衡磨擦力。四图的个次物意图象的物理意义主要通过“点来体现，教学中应从这四方面入手，予以明确。物理象“”的理义点”是认识图象的基础。物理图象上的“点”代表某一物理状态，它包含着该物理状态的特征和特性。从“点”着手分析时应注意从以下几个特殊“点”入手分析其物意义。⑴截距点它映了当一个物理为零时，另一个物理的值是多少就说明确明了研究对象的一个状态。如图3中图象与纵轴的交点反映出当I=0时，U＝E即源的电动势象横轴的交点反映出电源的短路电流。⑵交点。即图线与图线相交的点，它反映了两个不同的研究对象此时有相同的物理量图的点表示甲、乙物体运动位移相同的时刻和位移。

图3

图⑶极值点。它可表明该点附近物理量的变化趋势。如5中的点明当电流等于时电有最大的输出功率。⑷拐点。通常反映出物理过程在该点发生突变，物理量由量变到质变的转折点。拐点分明拐点和暗拐点，对明拐点，学生能一眼看出其物理量发生了突变。

D如图6中P点映了加速度向发生了变化而不是速度方向发生了变化。而暗拐点，学生往往察觉不到

图6

图物理量的突变。如图7中点起来是一条直线，实际上在该点速度方向发生了变化。２物图中线的理义线要图象的直线或曲线的切线，其斜率

图通常具有明确的物理意义。物理图象的斜率代表两个物理量增量之比值，其大小往往代表另一理量值．如—ｔ图象的斜率为速度，—图象斜率为加速度、Φ—ｔ图象的斜率为感应电动势U—I图的率为负载的电阻等。

11111111３物理图中面的理义面指图线与坐标轴所围的面积。有些物理图象的线与横轴所围的面积的值常代表另一个物理量的大小．学习图象时，有意识地利用求面积的方法，计算有关问，可使有些物理问题的解答变得简便，如V—t图中所围面积代表位移F—象中所围面积为力做的功P—象中所围面积为气体压强做的功S—(1/V)图与轴所围的面积代表时间等。４物图中形的理义象的形状。由图线的形状结合其斜率找出其中隐含的物理意义。例如在V—图象，如果是一与时间轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动；若是一条斜的直线，说明物体做匀变速直线运动；若是一条曲线，则可根据其斜率变化情况，判断加速度的变化情况。在波图象中，可通过微小的平移能够判断出各质点在该时刻的振动方向；在研究小电珠两端的电压与流I关时，通过实验测出在不同电压下通过小电珠的电流，作出UI图线得到的是一条曲线，通过对图线斜率的分析可得出在实际情况下，小电珠的电阻随着温度的变化而发生了变化。五图法平的学的用图象法解题有许多优点，但如何让学生领会并掌握这种行之有效的方法却并非简单，在教学中着重从图象的物理意义、图象的坐标选取和图形的建立这两方面加以指导训练。下面着重从图象的坐标选取图形的建立这两方面来加以讨论。第一步：根据对图象的物理意义的把握，能自觉自如地处理解决与图象有关的物理问题。首先教师在平时的教学中要经常地把对物理概念、定义、规律、定律等的教学图象化，这样通平时教学的潜移默化让学生对图象有个较扎实、深刻的理解。其次教师在教学分析图象时力求做到讲清、讲全、讲透。清：图象的物理意义要清，不拖泥带；全：一个物理图象中所隐含的所有物理信息要分析全面，让学生对整个图象的物理意义有一个横向的理解透：讲到一个图象时，应能举一反三把这个图象与以前学过的类似的图象联系起来，让学生能对图象有一个纵向把握。最后在平时的教学训练中，教师要经常地收集一些有关图象的题目让学生加以训练。用一些图法能一目了然而解析法较难解决的题目来训练学生，让学生深刻体会到图象法解题的妙处，使学生在内心深渴望用图象法来解决物理问题。如在图8中表示电源的总功与电流的关系图B示电源内部的发热功率与电流的关系图，试求电源的电动势和内阻CD线段示的物理意义，等

A于多少？分析这个图象，不难发现A的斜即为电源的电动势3vAB相的点表示电源短路的情况，进而能分析出电源的内阻为1。进一步分析CD线，它表示当电流为2A时外电路的电功率。象这种例题非常能激起学生对图象法解决物理问题的兴趣，进而能熟练地掌握图象法的精髓，从而提高学生解决物理问题的能力。

C

D

B第二步，在上述基础上，引导学生根据实际问题的要求，灵活地建立坐标，应用图象解决实际问题。例如，已知蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中1

图

I心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离=1m的A点时，速度是v=2cm/s。试问蚂从爬到距巢中心的距离1L=2m的B点需的时间为多少本题若采用将无限分割，每等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。但如

C

D果我们用图象法解题根据题中一个关键条件蚁运动的速度v与蚂离巢的距离x成比，即x作出图，如v图9所示为一条通过原点的直图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从到B的时间：

A图911LLT)(Ls2v221解本题的关键是确定坐标轴所代表的物理量，速率与距离成反比的条件，可以写

，也可以写成x，x若按前者确定坐标轴代表的量，图线下的面积就没有意义了，而以后者来确定，面积恰好表示间。可见合理地选取坐标是应用图象法解决物理问题的关键所在。

六图应的意项为使学生能正确理解图象法在高中物理中的应用，我们在平时的图象教学中应特别注意以下几：1．先必须搞清楚纵轴和横轴代表的物理量，明确要描述的是哪两个物理量之间的关系。如辨析简谐运动和简谐波的图象，就是根据坐标轴所表示的物理量不同进行区别的。2．其次要认识图线并不表示物实际运动的轨迹。如匀速直线运动S—ｔ图象是一条斜向上的线，但物体实际运动的轨迹可能是水平的，并不是向上爬坡。3．后要从物理意义上去认识象。由图象的形状应能看出物理过程的特征，特别要关注截距、斜率、图线所围面积、两图线交点等。很多情况下，写出物理量的解析式与图象进行对照，将有助于对图物理意义的理解。通过长期的训练，使学生能正确利用图象解决问题，开拓了思路，提高了能力。当然在应用图法解决物理问题的过程中。并非要削弱解析法的应用。在物理教学中应提倡解析法与图象法的有机结合。这因为数与形是反映事物间关系的两种不同形式，但数与形又是统一的，它们都可以用来描述物理变化的规律。两形式之间是可以相互补充、相互转化的，数缺形时少直观；形少数时难入微。总之图象法是解决物理问题的一种要手段，我们在平时的教学中要善于培养学生识图、建图、用图的能力，努力提高学生的基本素质。例2如所示一小球从光滑的矩形管道ABCD初速滑下（设管道半

A径略大于球半径，并不计拐角处的碰撞次小球沿ABC滑到C点需时

D间为t；二次小沿到所需时间为t，比较t和长短。121分析：同样此题每一次都涉及物体的多段运动问题，且条件较为分散，如

B果从运动规律列式求解，也相当麻烦。下面运动图象来解析。根据能量守恒，小球沿着两条路径到达C点速相同，发生的路程也相同AB和DC段动时加速度相同和BC段动速度也相同先画出沿着ABC运的ν～t图象，再通过速度关系，加速关系，路程关系画出另一条νt图。为了要保证两次路程相等，即“面积”相等，只有t1﹤t2结果即得出。用上述图像法处理数据，表面看起来似乎使简单问题复杂化了，比如三个

C测量电动势和内电阻实验，仅从原理、知识和结果的角度看，在测量的数据中任选若干组，用代数法求得E、r误差也确实不会比用图像法大，甚至图像法还会带来测量精度取决于坐标标度、描点作图会第二次产生“误差”等问题。但是它更能提供给学生处理问题的过程、方法、技能培养学生换个角度思考问题的能力和解决问题的严谨态度、科学方法，这种方式更接近处理实验数据的真实过程更符合实验数据处理的要求。对锻炼学生解决实际问题的能力很有好处，也更符合新课程标准和培养目标的要求图象法是物理教学中一种很好的手段用图象可以拓宽学生的思路学生对物理规律的理解更具体切，对物理过程的变化与发展认识更为生动形象在教学过程中注意了使用图象法以收到了事功倍的效果↑ＡＢＣ图１ａ３２ａａ１ｔ３ｔｔ２１ｔＯｖ例１：一物体在力Ｆ作用下从静止开始作变速线运动，当Ｆ逐渐减小时，物体速度将如何变化？对此问题，学生很容易混淆Ｆ、ａ、ｖ三者的关系，而将Ｆ与直接联系起来，得到Ｆ变小ｖ变小的错误结论人教学过程中一再强调Ｆ与ａ的方向一致要不改变向管变小…一、力学中的图象知识的内容包括：①匀速直线运动的图、v-t图匀变速运动运动的图②简谐运动的振动图象和横波的图象；二、识图：1、明确坐标称轴的物理意义、位、刻度（是否从零开始）2、清斜率、截距、面积、图渐近线、特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等三、作图：四、用图：内容要利坐标图象描物理规律是中学物理常用的方法力运学以及电磁学中均有广泛应用，目前新教材（人教版）更注重坐标图象法在各知识点的落实和强化，教材中附有大量的插图和题，近几年高考也是把用数学方法解决物理问题的能力作为重点考查内容之一。本文就是从物理学科的特点出发结合自己在一线教学的实践经验，阐述在教学中是如何培养学生解读坐标图象的能力。坐标图象法是指借助数学函数的动态变化规律，把物理中需要研究的物理量定位为坐标轴的函与变量，使两者间的内在关系直观显现出来通中物理课程标准》指出：图象法显得直观、形象、生动，人一目了然，从而使学生感受到图象法的直观的美。许多复杂的物理规律、物体的运动变化过程以及物理量间的相互依存关系都可以用坐标图象清楚地描述出来，更重要的是学生经历了在坐标系上的描绘过程，能体会和悟到一些抽象物理

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．量或是复杂现象的变化规律。这种方法的应用不仅有利于揭示事物系统的内在规律，而且抓住事物系统在思维结构上的共同点。坐标图象的形成过程有助于增强学生运用物理知识的能力，培养思维的深刻性形成抽象意识。坐标图象的概括性有利于学生把握事物的动态变化，预测发展趋势，实现真正驾驭知识的目标标准》把知识与技能、过程与方法、情感与价值观作为课程目标的三个维度，特别是其中的体验过程和解决方法在新教材和高考中都定位为学生重要的能力，所以在高中物理教学中应当注重学生对坐标图象的理解、分析和应能力。一正理坐轴示物意以各曲的化律在高中物理中，用坐标系描述物理量间的变化规律的例子非常普遍，而且有些图象从形状上看分相似，如力学中的位移图象s-t）和速度图(v-t)；简谐运动图象和机械波图象等，如果学生没有准确把握图象所表达的物理意义，就很容易混淆，所以教师要注重对学生读图能力的培养。例１、S/mｖ／ｍ〃ｓ10100tttt/s0tttt/s图1图2［析这个坐标图象从形状上看一模一样，但它们所描述的物理意义完全不同，因为纵坐标的物理量不同，图１是描述运动物体通过的位移随变量时间的变化情况，而图２则描述的是变速物体速随时间变量的变化情况。根据平时教学的经验，学生主要存在以下几个疑问：（）每线段各表示么过程？（）图斜率反映了么？（）往倾斜的直线否表示返回？（）与坐标平行的段真正的物理意义是什么？------这些是平时学生反馈上来最集中的问题解读这两种坐标图象的疑难所在以教师应当指导生透似”的表象干扰，切实理解每段直线所蕴涵的物理意义。解读：首要做的是指导学生识图，即需要明确面对的是位移随时间的变化还是速度随时变化，这是读图的关键，如0→时间内，图1表运动物体的位移随时间均匀增大，图象是一条倾斜直线，表明物体是做匀速直线运动；图2的物意义则完全不同，它是表示物体的速度随时间均匀增大，图象为斜线，说物体是做匀加速直线运动。这两条直线的斜率所表示的物理意义也不相同，图1表示速度，斜率越大则速度也越，图2示加速度，斜率越大则物体速度变化越快。其次要强调引导学生容易思维势如t时间内在图中直向下倾斜意味着位移随时逐渐变小，运动物体沿着原路径向起点靠近，则很多学生就因为思维的负迁移认定图2中是返回，这是个易犯的错误，其实在图中向下倾斜的直线仅仅表示运动的速度在变小，方向没有改变，他们忘记了速度是量，如果方向相反了则速度必定变为负值。例2、y/cmy/cm图3

0t图4

tt/s0x

x

x/cm分析：在机械振动与波中学生又遇到两个相似的坐标图象，由于图象是动态的（特别是波动图象，同时存在双向动态们在理解上就有更大的困难，主要表现在“时间”性上，图3是述单个质元对平衡位臵的位移随时间变化情况图4则强调瞬时性某时刻里传播方向上所有质元相对各自平衡位臵格下来的位移。学生在理解上主要存在以下几方面的疑难：（）这个图象一段整波形里，横坐标表示什么意义？（）如理解图3是中单质元的振动图象这一本质？（）根图象怎样确加速度的方向？（）下时刻质元的动方向如何判断？------解读：学平时表现出来的主要误区来自两方面：一是研究对象混乱，在读图时容易把3中单个质元与图4中多个质元这一本质区别忘记所以就造成得出与实际不符的结论。二是时间与时刻混乱，图是述整个时间过程的规律，振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸；而图4是时性，即下一时刻的图象将会变化，

波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向平移。在图3中坐标上一个完整的波表示机械振动完成一个周期，图4则表示一个波长，在这一段长里有无数多个质元进行着图3中样的振，所以实际上图图所有质元的一个具体代表。学生只有抓住这些问题实质才正确判断两个图象中下一时刻质元的振动方向3可以直接从图象在y轴“向判出振动方向，而图4则需先明确图象“移动”方向再判断质元振动方向。二引学走习性思误在图象的教学中，遇到另一个问题是学生容易被平时习惯的思维所限制，凭直觉和表象来理解理图象。而有些物理图象是强调矢量性和动态的，并且要与所处的背景和实际相符，所以学生在理解图象的理意义时有很大的障碍。例3、S/m0ttt/s图5分析：这一道典型的思维障碍习题，重点考查学生对-t图象线的理解，很多学生都会以为物体是做曲线运动把图象中的曲线误认为就是物体运动的轨迹堂主要有两种错误的结论是断体应该运动半圈，因为看上去就这样的；二是因为最后位移为零，所以物体应该是经过了完整的一圈。这些错误看法都是学生没有真正理解图象的本质，由于思维定势得出错误的结论，所以教师在指导析图过程中要帮助学生取有效信息，抓住规律与本质。解读：在s-t图，位移时间的关系图象是一条曲线，曲线上各点的斜率在不同时刻不停变化，说明物体运动速度的大小是变化的0-t时里物体是做速度不断变小的直线运动到t时刻于斜率零所以该点瞬时速率为零，而在t时里，斜率为负值说明物体做反向运动，速度逐渐增大，物体做反向速度大的直线运动，最后到t时由于位移为零，所以物体回到起点。例4v/ｍｓ图6

0tt-v

t/s分析：由于速度是矢量，值表示速度方向与规定方向相反，在考虑速度大小变化时，不能把负号带入，与平时坐标值的大小关系刚好相反，这就与学生原有的知识冲突，需要教师通过大量对比情景讲，让学生对新刺激有一个内化过程，逐渐形成镜像思维。解读：解该题的关键是把握住速度都为负值说明全过程都是反向这一本质，图象的倾斜表示速度的大小变化。时间段，速度一直在加，所以物体是做匀加速直线运动，而t-t时段里，速度直在减小，物体做匀减速直线运动。三注情与象的换助图的读解读坐标图象的另一条有效途径是根据图象模拟出相应的物理情景，把抽象的图象过程转化为体形象的物理模型，物理模型能帮助学生建立清晰的物理图景，起到疏通思路的作用，使物理问题由难化简由繁化简软化教学过程的作用。把抽象的图象物化到生产活际中也是目前高考中能力立意的题目要求种题目本着高起点低落点，重能力淡知识，要求学生能从抽象的图象中摄取有效信息模拟出具体的模型或是情景。学生若缺乏这种能力，就很难识记枯燥的图象，更谈不上灵活应用了，所以教师在教学中要注重培养情景与图象间的切能力。如例3中的图5可以抽象的图象转换为直观形象的模拟过程于学生在大脑中把两者有机地融合在一起，也有助于图象与情景相互切换能力的培养。S/m起点vvvv转点t/s终vv0tt图7从上图可以清楚地看到起点到转折点间，物体的运动速度在逐渐变小，直到为零，与坐标图象0相应。从转折点到终点的过程中，速度逐渐变大返回起点，与t-t段对应。例5、vv

v

v

0tt

v0tt

图8图9t分析：学生初学这两个图时，都觉得“加速度减小的加速运动”很难理解，如果没有具体的情景就无法想象这一物理过程，所以有必要把两个抽象的图象结合到真实的运动中，特别是生活实际中的例学生更有兴趣，所以我在高三的复习中就结合了汽车启动的两种典型过程作为解读图象的模型。解读：在v-t图，图象曲线说明做变速直线运动0-t时间，曲线的斜率一直在变小，所以应该是加速度变小的加速运动。与之相对应的情景是：汽车以额定功率启动，因为开始速度小，根据P=Fv可知牵引力大，所以加速度就大a=F/m速越来越大时，牵引力就越来越小，加速度也变小，但速度却一直在增大，所以这完全符合图8中时间里的图过程。图9有所不同，在0-t时间加度为定值，所以汽车是以恒定加速度启动的，速度越来越大，说明输出功率也越来越大（P=Fv输功达到额定功率后，速度继续增大只能靠减小牵引力，所以加速度随之减小，这就进入图