2023年中考数学一轮综合培优测试卷：三角形动点问题【含答案】

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：三角形动点问题一、综合题1．如图，已知直线y=−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO（1）求△AOB的面积；（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；（3）直接写出t为何值时，△ACD面积为845（4）直接写出△ACD与△AOB相似时t的值．2．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．（1）用含t的代数式表示：AP=，AQ=．（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？3．如图，在△ABC中，O是AC边上的一个动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长．（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm5．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6cm，OB=8cm，点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1cm/s的速度移动.有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）.（1）用含t的代数式表示AP的长；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？7．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（1）当DE⊥AC时，旋转角α＝度，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是；（2）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（3）当旋转角α＝时，△ABD的面积最大．8．如图所示，等边△ABC的边长为12cm，动点P以每秒2cm的速度从A向B匀速运动，动点Q以每秒1cm的速度从B向C匀速运动，两动点同时出发，当点P到达点B时，所有运动停止.设运动的时间为x秒.（1）当运动时间为1秒时，PB＝，BQ＝；（2）运动多少秒后，△PBQ恰好为等边三角形？（3）运动多少秒后，△PBQ恰好为直角三角形？9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）用含t的代数式表示PC的长；（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形时，求t的值；（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动.如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t秒.（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与ΔABC相似？（2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与ΔABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.11．如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．12．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是53cm13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=10cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP=CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm214．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示BD的长；（2）求AB的长；（3）求AB边上的高；（4）当△BCD为等腰三角形时，求t的值16．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（﹣m，﹣m）为AC上的点（m＞0）（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？请说明理由；（3）如图2，若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，求∠APQ与∠PBQ的度数和．

答案解析部分1．【答案】（1）解：在y=−4当x=0时，y=8，当y=0时，−4解得：x=6，∴A(6，0)，B(0，8)，即OA=6，OB=8，∴S△AOB即△AOB的面积为24；（2）解：如图：过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，∴CN∥x轴，CM∥y轴，在Rt△AOB中，AB=O由题意可得，BC=t，则AC=10−t，∴CNOA=BC解得：CN=3CMOB=AC解得：CM=40−4t∴C点坐标为(3（3）t的值为3时，△ACD的面积为84（4）△ACD与△AOB相似时t的值为302．【答案】（1）2t厘米；(16-3t)厘米（2）解：∵∠PAQ=∠BAC，∴当APAB=AQAC时，△APQ∽△ABC，即当APAC=AQAB时，△APQ∽△ACB，即∴运动时间为1673．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∵MN//BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠ACE=∠OEC，∠OFC=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，∵CE=12，CF=5，∴在Rt△CEF中，EF=C∵OE=OF=OC，∴OC=6.（3）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵OE=OF，O是AC的中点，OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．4．【答案】（1）PQ=2（2）解：∵∠B=90°，∴△BPQ是等腰三角形时，只有BP=BQ，由题意可知：BP=(11−t)cm，∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；∵BP=BQ∴11−t=2t，解得：t=1111−t=16−2t，解得：t=5，符合题意；11−t=2t−16，解得：t=9，符合题意；综上所述：t=5或t=9；（3）解：假设存在t使得△BPQ的面积等于10cm由（2）可知：BP=(11−t)cm，当0≤t≤4时，BQ=2tcm；当4＜t≤8时，BQ=(16−2t)cm；当8＜t≤11时，BQ=(2t−16)cm；∴当0≤t≤4时，12×(11−t)×2t=10；解得：t=1或当4＜t≤8时，12×(11−t)×(16−2t)=10，解得：t=6或当8＜t≤11时，12×(11−t)×(2t−16)=10，因为综上所述，当t=1或t=6时△BPQ的面积等于10cm5．【答案】（1）解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：12（6-x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2（2）解：不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：S△ABC=1212y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分6．【答案】（1）解：∵AO=6cm，BO=8cm，∴AB=AO2∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s，∴AP=(10−t)cm，∴AP的长为(10−t)cm.（2）解：∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s，∴AQ=t，AP=10−t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴APAO即10−t6解得t=25②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴AQAO即t6解得t=15综上所述，t=154秒时，△APQ与7．【答案】（1）45；垂直；平行（2）解：如图所示∵∠BAC=90°，∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE∵△ABC与△ADE为等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∠AED=45°在△ABD与△ACE中AB=AC∴△ABD≌△ACE(SAS)∴∠ADB=∠AEC∵∠ADB=180°−∠ADE=180°−45°=135°∴∠AEC=135°∴∠BEC=∠AEC−∠AED=135°−45°=90°（3）90°或270°8．【答案】（1）10cm；1cm（2）解：当BP＝BQ时，∵∠B＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴12﹣2t＝t，解得t＝4s，答：运动4s时，△PBQ是等边三角形.（3）解：①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，∴12﹣2t＝2t，解得t＝3，②当∠BPQ＝90°时，∵∠BQP＝30°，∴BQ＝2PB，∴t＝2(12﹣2t)，解得t＝245综上所述，当t＝3s或2459．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10−2t；（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，则PC=CQ，PC=10−2t，CQ=t，即10−2t=t，解得：t=10∴当t=103s时，△CQP（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，此时△BPD≅△CQP，根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6∴2t=at，6=10−2t，解得：a=2，t=2，②当BP≠CQ时，∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，∴BP=CP=12BC=5∴t=5∴a=CQ综上可得：当Q的速度为2cm/s或125cm/s时，10．【答案】（1）解：如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，∴AQAC在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC∵BP=t，AQ=t，∴PA=10-t，∴t8∴t=409如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，∴AQAB∴t10t=509综上所述，t=409或50（2）解：如图3，当△BPQ∽△BAC时，∴BPAB∵BQ=14-t，BP=t，∴t10∴t=354当△BQP∽△BAC时，∴BPBC∴t6∴t=214∵Q在CB上，∴t>8，∴t=214∴t=35411．【答案】（1）设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；（2）经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝12BM，即2x＝1解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝12BN，即30－x＝1解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．12．【答案】（1）解：设x秒后，ΔPBQ面积为8cm2，则BP=6−x，BQ=2x由12BP⋅BQ=8可得解得x1=2，答：经过2秒或4秒后，ΔPBQ面积为8cm2（2）解：设t秒后，P，Q两点间距离是53cm由勾股定理，得BP2+B解得：t1=−1（舍去）答：175秒后，P，Q两点间距离是5313．【答案】（1）解：设经过x秒后，AP=CQ，则AP=xcm，CQ=(10−2x)cm依题意，得x=(10−2x)，化简，得3x=10，解得x=10答：经过103秒后，AP=CQ（2）解：设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则依题意，得12化简，得y2解得y1答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm14．【答案】（1）解：如图（1）当点A′落在边BC上时，由题意得四边形APA′D为平行四边形∵△APD∽△ABC，AP=5x，∴A′P=AD=4x，PC=4－5x．∵A′P//AB∴△A′PC∽△ABC．x＝2041．当点A′落在边BC上时，x＝（2）解：当A′B＝BC时，(5−8x)2解得：x=40±12∵x≤45，∴x=当A′B＝A′C时，x=58（3）解：当A′B′⊥AB时，x=514，A′B′=514．当A′B′⊥BC时x=1546当A′B′⊥AC时x=2053，A′B′=15．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝30cm，AC＝40cm，根据勾股定理得，AB＝AC2+B当点D运动到点A时，t＝502∵点D的运动速度为2cm/s，∴BD＝2t（0≤t≤25）（2）解：由（1）知，AB＝50cm（3）解：如图1，过点C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积得，S△ABC＝12