高中数学专题3函数导数的应用-导数与不等式

1min【烟台芝罘区】明老师1min

一中十中校区：南山路号导数与不等式1．已知

f)xlnx)

．(1)求函数

f(

在

[,t2](t0)

上的最小值；(2)对一切(0,

，

2f)g(x)

恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切

x

，都有

2

成立．本题是一道函数导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用考查等价转化分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力．对于第（）问，只要运用导数的方法法研究出函数f(

的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明．解析(1)

f'(x)ln

，当

(0,

，

f'(x)，f(x)

单调递减，当,f'(x)f(x)

单调递增．①②

，t无解；，即0

时，ff(e

；③

，t时，f(x[,t

上单调递增，fx)f(t)lntmin

；所以

1，0f(x)tln，te

e

．(2)

xln，ax

，设

x)xx

，则'()

x3)(

，x

，'(x)

，h()

单调递减，x(1,

，'(x)

，()

单调递增，所以

(x)

hmin1

1【烟台芝罘区】明老师1

一中十中校区：南山路号因为对一切x

，f()g(x)

恒成立，所以

a()

4min

．（3）问题等价于证明

xx

，由⑴可知

f()lnx(x

的最小值是

，当且仅当时取到．设

xm(x)((0,xe

则m

x

易得mm(1)max

当且仅当x时取到，从而对一切

x

，都有

2

成立．2、已知函数

f(x)

lne

（k为常数，线f(x)在点(1,处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设【答案】

(x)x2)f'(,其中f)为fx)导函数.证明：对任意x(.2

11【烟台芝罘区】明老师11

一中十中校区：南山路号3、已知函数

f()x其中*为常数)（Ⅰ）当=2时，求函数)的极值；（Ⅱ）当=1时，证明：对任意的正整数n，当2时，有f(x)x【分析及解）定义域为当2时，

f()x)∴

f

(x(

ax

(x①当0，

f

1(x

3

，∵，(恒成立，即在恒成立，故)x为减函数，∴f(x无极值。②当a时，由f

得ax，判别式a

2

(a，3

2,【烟台芝罘区】明老师2,

一中十中校区：南山路号∴不等式

2

2ax

2

0

对x(1,成立而f

在x恒成立故f)在x(1,为减函数，∴f)也无极值。③当>0时，由f

，2ax，判别式0，∴方程ax有两个不同实根，解之得：x1又x时，(x成立，

22xaa∴当

1

2时，f，当x时，af，故f(x在

(1,1

22上为减函数，故在x,为增函数，aa∴f)在

2a

处有极小值为f

2a))a2a综上所述，=2时，当>0时，f)在

2a

处取得极小值，极小值为f

2a2)(1lna当≤0时，f)无极值.（Ⅱ）证明：当时，

1f())n

ln(

当2时，对任意的正整数n，恒有

1)

n

1，∴

1(1)

n

ln(

1

ln(

故只需证ln(x即可，下面直接作差构造函数证明：令()ln(ln(x则

h

1当x2时

故()[2,单调递增，因此当2时x)h，1成立4

【烟台芝罘区】明老师

一中十中校区：南山路号故当2时，

有

1(1)

ln(

1即f()x4、已知函数

f(x)

(c且ck)有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（Ⅰ）求函数f(x的另一个极值点；（Ⅱ）求函数f(x的极大值M和小值m，并求时的取值范围【分析及解）

f

(

x)

,

k∵是函数f)的一个极值点，∴f

即得

c

2

kck0,∵c0

O

1

c∴ck由此可知k，20得c，即k，由fkc

2

ck

此方程的一个根为x，另一个根由韦达定理容易计算为或

x

2k∴函数f(x的另一个极值点为（或

x

2k

）（II）由（I）知

k

2c

，现画一个函数图帮助理解，∵c0且，则图象如图所示，∴0，①当即0时，当x或x，f当x时，f

0,f()在((1,是增函数，(上是减函数，∴

f(

(c2(2)

，f(1)

kkc又M∴

kk2

1，即

k

k

，解之得足。②

0，即时，当或x时，f

0,当x时，f

0,5

，y，即π0，【烟台芝罘区】明老师，y，即π0，

一中十中校区：南山路号∴f(x)在(是减函数，在(是增函数，∴

f

2,f(，又，∴22(k

，即

kk

解之得2或k，结合k0，∴综上可知，所求k的取值范围([5、已知函数

f()sin

．（1）设，Q函数

f(x

图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；（2）求实数a的取值范围，使不等式

f≥ax

在

上恒成立．解）由题意，得

f

≥0

．所以函数

f()sin

在R单调递增．设

x

，

Qx

，则有

kPQ

0（2）当a0时，f(x)x≥axcosx

恒成立．当，令g()f(x)cosxsinxg()acosn(1cx

，①当

≥，即0时，g'(x)sinx

，所以

)

在

，

上为单调增函数．所以

gx≥sin0

，符合题意．②当

，即a时，令)g'(x)(1)cos

，于是

(x)a1)sin

．因为

，所以

2

，从而

h'(x≥0

．所以

()

在π

上为单调增函数．6

【烟台芝罘区】明老师

一中十中校区：南山路号所以

h(0)≤hx≤h

2

2≤)2

，亦即

2x)≤