高中数学 考前归纳总结 求轨迹方程的常用方法

求迹程常方一求迹程一方：待系法如果动P运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭

圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，常数,即可得到轨迹方程，也有将此方法称为定义法。直法果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些线的定义难以

待定方程中的判断，但点P满的等量关系易于建立则可以先表示出点P满足的

几何上的等量关系，再用点的标x）示该等量关系式，即可得

到轨迹方程。参法如果采用直法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运

的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立点坐标x，y与该参数t

的函数关系x＝f（t＝g（t而过消参为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。代法相点如动点P的动是由另外某一点P'运动引发的，

而该点的运动规律已知点坐标足某已知曲线方程以设出P（x，y（，y）表示出相关点P'的坐标，然把的坐标代入已知轨迹方程。

曲线方程，即可得到动点P的几何：若求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线性质等以几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6交法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这

的类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得

所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到法并用。二求迹程注事：

轨迹方程法常与参数1.求轨方程的关键是在纷繁杂的运动变化中，发现动点的动规律，点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

即P轨方既用通方程F(表示又可用参数方程

xf(tyg(t)

t为参数)来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通3.求轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解即以

方程。该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上要检验是否丢解轨迹上

的某些点未能用所求的方程表示现解则要舍去，出现丢解，则需补的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。三典分1.用义求线迹

充。检验方法：研究运动中求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：知的点A，B的坐标分别为（-4，0为点，且满足sinBA

sin

求点C的迹。【析由A

sin可c

，即|BC10

，满足椭圆的定义。令椭圆方程为

x

y'

，

5,c

4

3

，则轨迹方程为

y（25

，图形为椭圆（不含左，右顶点【评熟一基曲的义用义求线程关。（1）圆到点距等定长椭：两点距之为数大两点距）双线到定距之的对为数小两点距）（4）到点定线离等【式】:1:已知圆的圆心为M，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆切的条件可得：

的圆心为M，，。。∴动圆圆心P的迹是以M、M为焦点的双曲线的右支c=4，a=2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：

x

2y外，而与圆C：xy2

内切，那么动圆的圆心M的迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：曲线一支MO【答令动圆半径为R，则有MCR用直法曲轨方程此类问题重在寻找数量关系。

，|MO|-|MC|=2，满足双曲线义。故选。例2：一线段的长等于2,个端点和B分别在x轴轴上滑动，求AB点的迹方程？解设M点坐标为

(,y)

由平几的中线定理：在直角三角形AOB中OM=

11ABa2x

ax

M点的迹是以O为圆，为半径的圆.【评此中到OM=

AB

这等关是题功关所。般译有列种况代题中已等关：动的律题中已等关系显出则用接数关代化方求轨。列符题条的式有题无标，选适位的坐系再据设件出式得其迹程运有公：时运符题的关式使公中有动坐，作应恒变即其迹程借平中有定和质有动规的量系明，这可助面何的关理性、股理垂定、线理连线性质等从分出数量关，种助何理方是动轨的要法【式:动点x,y到两定点－3和距离的比等于即

|PA|PB|

求动点P的轨方程？【答∵||=

(x2y

(x2y代入

|PA|PB|

得

(x(x

22

22

2(xy2x22kk2kk化简得（－5）+=16轨迹是以（5，0）为圆心，4为径的.用参法曲轨方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．点（2）两条互相垂直的直线l，l，若l交轴于A点l交y轴B点求线段AB的中M的迹方程【析分1从运动的角度观察发现，点的运动是由直线引的，可设出的斜率k作为参数，建立动点M坐标x，y满足的参数方程。解1设M（x，y直线l方程为－4＝k（x）1由ll则直线l的方程为(2)2l与轴交点的坐标为(2

4k

l与y轴交点B的标(0∵M为AB的中，2ky2k

(k为参数)消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时中点为M，2足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中为M（1满足上述轨迹方程。综上所述，的迹方程为x＋2y＝0分2：解法1中利用k＝－1时，需意k、k否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：|MP

|AB解2设M（x，y结MP则（2x，0（0，2y∵l⊥l，△PAB为角三角由直角三角形的性质MP|

|PAPBPAPB(x

2

1·(2x)2

(2y)

化简，得x＋2y－5，此即M的迹方程。分3设M（x，y已l⊥l，想到两直线垂直的充要条件k＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点标表示A、B两坐标。事实上，由为的点，易找出它们的坐标之间的联系。解3设M（x，y为中点（2x，0（0，2y又l，l过P（2l⊥l∴PA⊥PB，从而k·k＝，4y而，k2x244y·2x2

简得xy0注意到l⊥x轴时，⊥y轴，此时（2，0（0，4中点M（1检，它也足方程－5＝0综上可知，点M的迹方程为x＋2y＝0【评解法1用参数法，消参时注意取值范围。解法2，3为直译法，运

用了k·k＝，

|MP|

|AB

这些等量关系。用参数法求解时，一

般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，

有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意值范围对动点坐标取值范围的影响

义，选定参变量还要特别注意它的取【式3圆+y=4外一线圆截得的弦的点M的轨。解一几法设点M的标为（x,y因为点M是BC的点，所以OM⊥BC,所以|OM|＋|ＭＡ|＝|Ａ|，即x+y)+(x－４)+y=16化简得－2）+y=4................................由方程①与方x+y=得两的交点的横坐标为1，以点M的迹方程为（x）+y=4（0＜1以M的迹是以，0为圆心，2为半径的圆在圆O内部分。解二参法设点M的标为（x,y（x,y（x,y直线AB的程为－4),由直线与圆的方程得1+k）x－8kx+16k－4=0...........(*),xk2由点M为BC的点，所以x=...............(1),2

中又OM⊥BC，所以k=

.................(2)由方程（）消去k得（x－2）+y=4,又由程*）的△≥0得k≤

13

,所x＜1.2212222122所以点的迹方程为（－2）+=4（0＜1所以M的迹是以2）为圆2半径的圆在圆O内部分。用代法其方求轨方例4.

B椭圆的动求的中Ma2轨迹方程。分：中涉及了三个点、B、M，中为点，而B、M为动，且点B的动是有规律的，显然M的动是由B的动而引发的，可见M、B相关点，故采用相关点法求动点M的迹方程。【析设动点M的标为（，y设B点坐标为x，y）则由M为段AB中点，可得02y02

x02y0即点B坐可表为2x－2a，2y又点(x在椭圆0

22a2y0a2

x)2y从而有a22整理得动点M的轨迹方为

)24y2ab【评代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【式】图所示，已知P(4，0)圆+

内一点，B是圆两动点，且满足∠=90°求矩形的顶点Q的轨迹方程【析设AB的点，坐标(y)，则在Rt△中，||=||又为是弦AB的中点，依垂径定理在eq\o\ac(△,Rt)OAR中，|AR|

=||

－||

=36－(

+y)又|=|PR(4)所以有x－4)+－(+y),即+y－4因此点R在个圆上，而当R在此圆上运动时点在所求的轨迹上运动设(y)，Rx)，因为R是PQ的中点，所以yxy,2

yo

B

P

A

x代入方程x+－4－10=0,得y())22

－10=02222整理得+=56,就是所求的轨迹方程四常错：【题】迹方程。

中，B坐标别为（，0三角形周长为16，求点A的轨【常见错误】由题意可知|AB|+|AC|=10满足椭圆的定义。令椭圆方程为

y2a2b

，则由定义可知

ac，4，轨迹方程为

y22516【因析为角形，故A，B，C能三点共线。【确答ABC为角形，故A，B不能三点共线。轨迹方程里应除去点22即轨迹方程为25

(5,0).(

，提示：1：在求轨迹方程中易错的是对轨纯性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，

中，将其剔要将其“捉拿归案：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方选择。：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部或漏掉的部分。针性习

法的分1:已知两点

5M),()4

给出下列曲线方程：①

4②x

22

3

；③2xy曲上存在P满足2

MP

的所有曲线方程）A①【案:D

B②C①③D②④【答使得曲线上存在点P满足

MPNP

,即要使得曲线与MN的垂线

y有交点把线方程分别与四个曲线方程联立求只有①无解,则选D2.两条直线

xmy与y0

的交点的轨迹方程是.【答:直接消去参数

即得(交轨法:

x2y23:已知圆的方程为(x-1)+y过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.【解答】:令M点的标为11(x)2(x得24

x)

,则A的坐标为(2

xy)

,代入圆的方程里面4:当参数m随意变化时，则抛物线

x

的顶点的轨迹方程为___________。【析把所求轨迹上的动点标，y别用已有的参数m来表，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【答抛物线方程可化为

x

5y

它的顶点坐标为

x

，y

54消去参数m得

y

故所求动点的轨迹方程为

4xy

。5:点M到F（4，0）的距离比它到直线____________。

的距离小1，则点M的轨迹方为【析点M到（4）的距离比它到直线

的距离小1，意味着点M到点F（4的离与它到直线

的距离相等由抛物线标准方程写出点的轨方程。【答依题意，点M到F（4，0的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x为准线的抛物线。故所求轨迹方程为

x

。6:求与两定点

O点的轨迹方程为_________【析:动点为P，由题意

，则依照点P在运中所遵循的件，可列出等量关系式。【答设P点依题意得

由两点间距离公式得：

2y

2

化简得：

y2

x7抛线

y24x

的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于、B点，动点C在抛物线上，求△ABC重P的迹方程。【析抛物线

y

2

的焦点为

F

。设△重的标为

(，)

，点C的标为

(x)

。其中

【答因点

点标公式得：

x

xy1，y33即

x