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文档简介

新课标（SK）提分微课（五）利用“胡不归、阿氏圆”解决“PA+n·PB”型的最值问题提分微课·思维与方法

“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决“PA+n·PB”(n为常数且n≠1)型的最值问题.两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将nPB的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离.动点P在直线上运动的可用“胡不归”问题模型,动点P在圆周上的运动可用“阿氏圆”问题模型.类型一“胡不归”问题

如图W5-1,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+nPB(0<n<1)的最小值.图W5-1解决方法:在B处构造直线l,使l与BC的夹角为α,且满足sinα=n,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=nPB,过A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+nPB=AP+PQ≥AQmin.图W5-2[答案]B图W5-3图W5-4图W5-5

图W5-6类型二“阿氏圆”问题如图W5-7所示,☉O的半径为r,点A,B都在☉O外,P为☉O上的动点,已知r=k·OB.连接PA,PB,求“PA+k·PB”的最小值.解决方法:找另一个定点C,使得P在圆周上运动时,总有PC=kPB,这样就可以将问题转化为常见的求线段PA+PC和的最小值问题.如图,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可说明△BPO与△PCO相似,得kPB=PC.则本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,当A,P,C三点共线,且P在线段AC上时最小.图W5-7图W5-8[答案](1)5

5图W5-8

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