模糊聚类分析方法

模糊聚类分析方法对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化［9］（1）数据矩阵设论域U={X,X，…,X}为被分类对象，每个对象又有m个指标表示其性状，1 2 n即x={x,x，…，x} （i=1,2，…，n），i1i2 im于是，得到原始数据矩阵为XX1112X21X22XnmXnm顷n1Xn2其中xnm表示第n个分类对象的第m个指标的原始数据。（2）数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间［0,1］上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间［0,1］上。通常有以下几种变换：平移•标准差变换x，==ikx，==iksk其中 1寸i=1—^n(x,-x)2。ni=1(i=1,2,•••,n;k=1,2,•••,m)经过变换后，每个变量的均值为0,标准差为1,且消除了量纲的影响。但是，再用得到的*还不一定在区间［0,1］上。ik平移•极差变换x-min{x，}x"= ik——s«—ik ，(k=1,2,…，m)ik max{x'}-min{x'}皿nik 1<i<nik显然有0<x〃<1,而且也消除了量纲的影响。ik③对数变换x'=lgx, (i=1,2,...,n;k=1,2,...,m)取对数以缩小变量间的数量级。2、第二步：标定(建立模糊相似矩阵)设论域U={X,x，…,x},x={x,x,…,x}，依照传统聚类方法确定相似1 2 n ii1i2 im系数，建立模糊相似矩阵，工与匚的相似程度r=R(x,x)。确定r=R(x,x)的iJ ijiJ ijiJ方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。CD相似系数法夹角余弦法②最大最小法ikjkk=②最大最小法ikjkk=1算术平均最小法2£(XAX)

r= ——土ij兄、乙(X+X)k=1④几何平均最小法泛(XAX)r= ——土ij^Fk=1以上3种方法中要求x^④几何平均最小法泛(XAX)r= ——土ij^Fk=1以上3种方法中要求x^>0，否则也要做适当变换。⑤数量积法r-

ij其中•X)。jk⑥相关系数法,M=max(咒x—.ikEk=1-1£X=m乙Xk=1⑦指数相似系数法其中r=1£mexp[-3・(j]，ijmk1 4 s2其中s=—£n(X

kni=1X=-£kni=1x, k=(1,2,.・.,m)。(2)距离法①直接距离法其中c为适当选取的参数，使得0＜r尸1,d(xt,x「表示他们之间的距离。经常用的距离有•海明距离d(x,x)=^x一x。ij ikjkk=1•欧几里得距离d(x,x)=:Z(x一x)2。ij*ik jk*k=1•切比雪夫距离ikjkd(x,x)=，xikjk1j k=1倒数距离法1,i=j,M—.。 ,i壬j,d(x,x)ij其中m为适当选取的参数，使得0＜七＜1。③指数距离法r=exp[-d(x,x.)]。3、第三步：聚类(求动态聚类图)(1)基于模糊等价矩阵聚类方法①传递闭包法根据标定所得的模糊矩阵A还要将其改造称模糊等价矩阵R*。用二次方法求R的传递闭包，即t(R)=R*。再让人由大变小，就可形成动态聚类图。②布尔矩阵法[10]布尔矩阵法的理论依据是下面的定理：定理2・2・1设R是U={x,x，…,x}上的一个相似的布尔矩阵，则R具有传1 2n递性(当R递性(当R是等价布尔矩阵时)。矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如(11U(11U11、d0、(°1、J0?的特殊子矩阵。布尔矩阵法的具体步骤如下：①求模糊相似矩阵的人-截矩阵q.②若R按定理2.2.1判定为等价的，则由勺可得U在人水平上的分类，若气判定为不等价，则勺在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0—律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。如此得到的凡为等价矩阵。因此，由凡可得入水平上的分类（2）直接聚类法所谓直接聚类法，是指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包t（R），也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。其步骤如下：取七=1（最大值），对每个七作相似类[气％，且[X]={xIr=1}，即将满足r=1的x与x放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现[X]={x,X},[X]={x,X},[X]C[X]丰0.iRikiRjkij此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得七二1水平上的等价分类。取入为次大值，从R中直接找出相似度为人的元素对（x,x）（即TOC\o"1-5"\h\z2 ijr二人），将对应于人=1的等价分类中x所在的类与x所在的类合并，将所有的ij2 1 i j这些情况合并后，即得到对应于气的等价分类。取入为第三大值，从R中直接找出相似度为人的元素对（x,x）（即3 ijr二人），将对应于人的等价分类中x所在的类与x所在的类合并，将所有的这ij3 2 i j些情况合并后，即得到对应于%的等价分类。以此类推，直到合并到U成为一类为止。二、最佳阈值人的确定在模糊聚类分析中对于各个不同的Xe[0,1]，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值X，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值X的问题。一般有以下两个方法：按实际需要，在动态聚类图中，调整X的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分成几类。当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识确定阈值X，从而得出在X水平上的等价分类用F统计量确定X最佳值。[11]设论域U={x,x，…,x}为样本空间（样本总数为n），而每个样本x有m个1 2 n i特征：x={x,x，…,x}，（i=1,2,...,〃）。于是得到原始数据矩阵，如下表所示，i i1i2 im其中x*=1祝x.k（k=1,2^-,m），x称为总体样本的中心向量。ni=1样本指标12-- k --mxxxx••♦•••x111121k1mxxxx••♦•••x221222k2m••...•.••..••.xxxx••♦•••xii1i2ikim•....•.....••.xxxx••-••♦xnn1n2nknmx(xxx••♦•••A12km设对应于X值的分类数为尸，第j类的样本数为n，，第j类的样本记为：x"）,x；j）,…,x（j），第j类的聚类中心为向量x（j）=（x（j）,xg）,…,x（j）），其中x（j）为第k个特征的平均值，即

x（j）=—^x（j）,（k=1,2,...,m）,knikji=1作F统计量其中||x（其中||x（j）-x为x（为x（j）与x间的距离，|xi（j）-x（j）为第j类中第i个样本x（j）与其中心x（j）间的距离。称为F统计量，它是遵从自由度为,-1，n-尸的F分布。它的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内样本间的距离。因此，F值越大，说明类与类之间的距离越大;类基舞蹴聚塞麴的多属性决策方法的实际应用聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。第一节雨量站问题l=J

第一节雨量站问题l=J

I三m一、问题的提出某地区设置有11个雨量站，其分布图见图1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表1中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？

图1雨量站分布图表1各雨量站10年间测得的降雨量年序号x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x1112763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222122032041123242462322432812673102733152853273525291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371二、问题的分析应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。问题求解假设为使问题简化，特作如下假设每个观测站具有同等规模及仪器设备；每个观测站的经费开支均等；具有相同的被裁可能性。

分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。三、问题的解决求解步骤：1、 数据的收集原始数据如表1所示。2、 建立模糊相似矩阵利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵(尸弗)iixii，其中V.—..一.乙I(尤-x)II(x-x)I(X-X)2(X-X)2•工(x-X)2]2一 jkJk-1ikiFikik=1其中X=1oZ七’i=1，2，・・・,11。k=1x.=—x，j=1，2，・・，,11onk=1J取i=2,j=1，代入公式得打。.839,由于运算量巨大用C语言编程计算出其余数值，得模糊相似关系矩阵(％)其余数值，得模糊相似关系矩阵(％)11x11，具体程序如下#include<stdio.h>#include<math.h>doubler[11][11];doublex[11];voidmain(){inti,j,k;doublefenzi=0,fenmu1=0,fenmu2=0,fenmu=0;intyear[10][11]={276,324,159,413, 292,258,311,303,175,243,320,251,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,192,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232,246,232,243,281,267,310,273,315,285,327,352,291,311,502,388,330,410,352,267,603,290,292,466,158,224,178,164,203,502,320,240,278,350,258,327,432,401,361,381,301,413,402,199,421,453,365,357,452,384,420,482,228,360,316,252,158,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185,324,406,235,520,442,520,358,343,251,282,371};for(i=0;i<11;i++){for(k=0;k<10;k++){x[i]=x[i]+year[k][i];}x[i]=x[i]/10;}for(i=0;i<11;i++){for(j=0;j<11;j++){for(k=0;k<10;k++){fenzi=fenzi+fabs((year[k][i]-x[i])*(year[k][j]-x[j]));fenmu1=fenmu1+(year[k][i]-x[i])*(year[k][i]-x[i]);fenmu2=fenmu2+(year[k][j]-x[j])*(year[k][j]-x[j]);fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2);r[i][j]=fenzi/fenmu;}fenmu=fenmu1=fenmu2=fenzi=0;}}for(i=0;i<11;i++){for(j=0;j<11;j++){printf("%6.3f",r[i][j]);}printf("\n");}getchar();}TOC\o"1-5"\h\z1.0000.8390.5280.8440.8280.7020.9950.6710.4310.5730.7120.8391.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.5720.5280.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.5680.8440.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.6070.8280.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.5840.7020.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.5110.9950.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.7190.6710.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.9940.4310.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.4850.5730.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.6880.7120.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求 R2一R4：R4即t(R)=R4=R*。3、聚类注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵「1.0000.86110.6970.69710.8610.9960.69710.8610.9960.6970.9921R*=0.8610.9950.6970.9220.92210.9940.8610.6970.8610.8610.86110.7190.7190.6970.7190.7190.7190.71910.6970.6970.9620.6970.6970.6970.6970.67610.6880.6880.6880.6880.6880.6880.6880.6880.6971_0.7190.7190.6970.7190.7190.7190.7190.6880.6970.6881_取入=0.996,则

11111R* = 10.9961111故X,X,X同属一类，所以245{故X,X,X同属一类，所以245{X},{X},{X}678X,X,X在置信水平为0.996的阈值人下相似度为1,2 4 5此时可以将观测站分为9类｛x,x，X｝,｛X｝，｛X｝24 5(气0},{X]]}。降低置信水平人，对不同的人作同样分析，得到:降低置信水平人，对不同的人作同样分析，得到:人=0.995时可分为8类，艮叽X2,XX6},(X]}{X},{X},{X}3 7 8((X]0},{X]]}。人=0.994时，可分为7类｛X人=0.994时，可分为7类｛X2,X4，6},{X],X7}(X3},{X}((X]0},{X]]}。人=0.962时可分为人=0.962时可分为X6},(X],X9}((X]0},{X]]}。人=0.719时可分为5类{X人=0.719时可分为5类{X,x，X,24 5X},(X,X}，6 1 7},{X8，X]]},{X10}。2人=0.996TOC\o"1-5"\h\z-人=0.996人=0.9957人=0.994■■人=0.9957人=0.994-c3一； H人=0.962 （巨二 [U8乙 " ^12 5】 第二节成绩评价问题一、 问题的提出某高中高二有7个班级，学生成绩的好与差，没有明确的评定界限，并且班级间成绩好坏的表现具有一定的模糊不确定性。二、 问题的分析解决上述问题可运用模糊聚类分析方法。现以7个班级某次其中考试的四门主课成绩为依据，对7个班级成绩好坏的相关程度分类。设7个班级组成一个分类集合：X=（气,七,...,\）分别代表1班到7班。每个班级成绩均是四门基础课（语文、数学、英语、综合作为四项统计指标，即有Xj={x^,x.2,x.3,XJ这里X^表示为第i个班级的第j门基础课指标（i=1,2,...,7;j=1,2,...,4）。这四项成绩指标为：语文平均成绩X.]，数学平均成绩X’2，英语平均成绩X’3，综合平均成绩X.4。各班级成绩指标值见表1。表1 7个班4门基础课的成绩指标

班瓠1班2班3班4班5班6班7班A62.0362.4878.5272.1274.1873.9566.8359.4763.7072.3873.2867.0768.3276.0468.1761.0475.1777.686727470.0976,8772.4568.1774.6570.7770.4368.7373.18三、问题的解决1、数据标准化㈣采用极差变换X'=气「、n, (1)〃y式中X是第ii个班级第j门基础课平均成绩的原始数据，x和x分别为不同ij maxmin班级的同一门基础课平均成绩的最大值和最小值。X'为第i个班级第j门基础课ij平均成绩指标的标准化数值。当X=X时，x'=0，当X=X时，x'=1。ijmin ijmax表2 平均成绩指标值的标准化数值班级1班2班3班4班：5班6班了班00.027310.61190.73680.72290.291100.25530.77910.83850.45870.534110.428500.849210.39660.54390.9513坦40.6605010.40120.34880.08640.77312、用最大最小法建立相似矩阵计算模糊相似矩阵R，根据标准化数值建立各班级之间四门基础课成绩指标的相似关系矩阵，采用最大最小法来计算，：ij£(xAx)r=4一——Jj—j刘、

4(xVx)k=1其中rje[0,1],(i=1,2,・..,7j=1,2,3,4)是表示第i个班级与第j个班级在四门基础课成绩指标上的相似程度的量。取i=2,j=1，*=0，其余运算量可以通过MATLAB编程运算，程序如下：[13]clcclearallmeanp=[00.02731 0.61190.73680.72290.2911;0 0.25530.7791 0.8385 0.4587 0.5341 1;0.4285 00.8492 10.39660.54390.9513;0.6605 01 0.40120.34880.08640.7731];%平均成绩指标值的标准化数值Ca=[0;0;0;0];%初始化比较的数据Cb=[0;0;0;0];%初始化比较的数据mina=[0];%初始化比较的数据maxa=[0];%初始化比较的数据fori=1:7forj=1:7form=1:4Ca=meanp(m,i);Cb=meanp(m,j);mina(1,m)=min(Ca,Cb);%计算任意两横的最小值maxa(1,m)=max(Ca,Cb);%计算任意两横的最大值endR(i,j)=sum(mina)/sum(maxa);%计算r..，即相似程度的量endendR %显示相似矩阵

100.210.330.300.270.36010.150.140.080.100.090.210.1510.770.520.600.42得相似矩阵： R=0.330.140.7710.530.610.430.300.080.520.5310.690.680.270.100.600.610.6910.73_0.360.090.420.430.680.7313、改造相似关系为等价关系进行聚类分析矩阵R满足自反性和对称性，但不具有传递性，为求等价矩阵，要对R进行改造，只需求其传递闭包。由平方法可得「10.150.360.360.360.360.36-0.1510.150.150.150.150.150.360.1510.770.600.610.60RoR=R2=0.360.150.7710.610.610.610.360.150.600.6110.690.690.360.150.610.610.6910.73_0.360.150.600.