第三章圆的性质(56节)圆的有关计算讲义

龙文教育学科教师辅导讲义

11课外辅导专家课 题教学目标重点、难点考点及考试要求一、知识梳理：C2r圆面积：Sr2

第三章圆的性质（5-6节圆的有关计算能够运用弧长、扇形面积公式进行有关计算灵活公式进行有关计算教学内容CRC2R360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是2R。360n°的圆心角所对的弧长是nR180lnR180

P120*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。R360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2的扇形面积是：S nR21lR（n1°的倍数，无单位）扇形 360 2龙文教育·教务管理部11课外辅导专家圆锥的概念如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。SO，SOS的顶点。SOASOSO另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SASA1 2锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P由图可得

122圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；圆锥的母线长都相等圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。c，n（如图，则它们之间有如下关系：cnl180同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：龙文教育·教务管理部S圆侧面

1clrl2

中小学1对1课外辅导专家圆锥的全面积为：rlr22rh。8、阴影部分的面积：1)2）不按规则图形：采取“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采取“割补法图形面积。二、典例剖析：例：1、在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为80cm，那么⊙O的半径为 cm答案：120解：由弧长公式：l

nR得：180180lRn

18080120

120cm例：2、若扇形的圆心角为120°，弧长为10cm，则扇形半径为 ，扇形面积为 。答案：15；25π例：3、如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心为 。答案：90°例4：已知扇形的周长为28cm，面积为则它的半径为 cm答案：75：

AB10

，CD6，

，又AC=12，求阴影部分面积。解：OC=r，OA=r+12，∠O=n°l n(r12AB 180AB

10l nrCD 180CD

6n60r18∴OC=18，OA=OC+AC=30S S S阴 扇AOB 扇COD3 龙文教育·教务管理部1l2

OA1l2

OC

中小学1对1课外辅导专家AB CD110302

1618296例6：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解：∵正方形边长为a∴S a2，

1 R2

a( )

1 a2正S正方形

2S

半圆 2S半圆 两个空白

2 2 8S

a22

1a28

a21

1a24S

2S

2

2a

a221 1S S阴

S

a2

(2a

a2)2

a2a222

a2

a2*也可看作四个半圆面积减去正方形面积S 4S

S 4

1 a( )

a

1 a

a2阴 半

2 2 2AB7：AB、CDOAB=8，CD=6，AB圆中的阴影部分的总面积为？解：CDB，D、B如图，CE

的度数与

CD的度数的和为180°，那么CDABE

的度数为180°龙文教育·教务管理部∴AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°又∵AB=8，BE=CD=6

中小学1对1课外辅导专家由勾股定理AE

826210∴半径OA

110521

1 25S S阴 半

SABE

52

862

24AB2AB8：在△AOBO=90°，OA=OB=4cmO阴影部分的面积。

为半径画

，以AB为直径作半圆，求解：∵OA=4cm，∠O=90°∴S扇形AOB

90424cm360AB4 2cm，(2 2)2，S 8(cm2) S 4(cm2)AOB 半圆 2S S S (48)(cm2)弓形AmB 扇形AOB AOB则阴影部分的面积为：S S S 4(48)8(cm2)阴影 半圆 弓形AmB例9：①、②„m 是边长均大于2的三角形，四边形、„„、凸n边形，分别以它们的各顶点圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，„„图①中3条弧的弧长的和为 图②中4条弧的弧长的和为 求m 中n条弧的弧长的和（用n表示）龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家（1）π，2π1：∵n（n－2）180°n(n360

1n212∴n2112

(n2)(n2)解法2：设各个扇形的圆心角依次为, , , 1 2 n则1

2

n

(n2)180∴n条弧长的和为：11

2 1

n1180 180

180( 1

180)n 180

(n2)180(n2)10：Rt△ABCBCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABCBCABC'AC（阴影部分）的面积为？分析：Rt△ACBC=90°，∠BAC=30°，AB=61BC

AB3,CBA602AC

AB

BC

3 3

A'C

1 BC'A'C'2

33 39 32龙文教育·教务管理部S

nr21206212

中小学1对1课外辅导专家扇A'BAS 扇形C'BC

36012032360

3603S S S S S 9阴影 扇A'BA A'C'B 扇C'BC ACB法二：以B为圆心，BC为半径画弧A'BD，ABD'有SA'C'B

S ，S SACB 扇C'BD 扇CBD'S 阴

扇ABA'

S扇D'BD

12062360

12032360

123911：Rt△ABCAB=13cmAC=5cmACAB解：BC 1325212(cm)以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：S S S 1221213300(cm2)表 底 侧龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。1CD13260

15122CD13SS S CDBCCDAC上 下60136013

6012 513171020 13例12：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为 。答案：6例13：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 答案：2π例14：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为 答案：160°例15：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是 答案：180°龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家例16：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。画出它的展开图；计算这个展开图的圆心角及面积。（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）c，圆心角为α，l=50cmc80cm180cllc180

1808050

=288（度）S rl40506280(cm2)扇形例17：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得2lc ,c2r222

2r,l2rRt△SOAl

r2

102由此求得r10 3

20(cm),l3

3(cm)故所求圆锥的侧面积为S

rl 10

3203

32003

(cm2)龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家18：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建209m24m解：Sr2,9r2,r31∵h=4，∴l1SS S锥 柱rl2rh

h2r25135233.5152136S 2036720总答：至少要720平方米的毛毡。点将练兵已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为 。已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是 。如图，在平行四边形ABCD中，AB4 3，AD2 3，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，CD于F，则图中阴影部分的面积为 。龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家如图，ABO1

的直径，AO1

是⊙O2

MN//AB，MN⊙O2

CO1

的半径2，OB、CN、

所围成的阴影部分的面积是 。BN OC1 1如图，△ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周5m内（虚线以内，△ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为 。如图，两个同心圆被两条半径截得阴影部分的面积为 。

AB6cm

，CD10cm，

，⊙O'与

都相切，则图中如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）AB，CDA.4 B.2 C.43AB，CD

D.龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家如图，OA⊙OABOAO’的弦，O’BOC，OA=4，AB，AC∠OAB=45°，则由 AB，AC

和线段BC所围成的图形面积是