2022-2023学年苏教版必修第一册 5.4函数的奇偶性 课件（32张）

第5章5.4函数的奇偶性学习目标1.理解函数的奇偶性的含义及其几何表达，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性.2.学会应用函数的图象理解与研究函数的性质.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算

新知学习一、奇、偶函数的定义设函数y＝f（x）的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝f（x），那么称函数y＝f（x）是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝-f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数.如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们称函数f（x）具有奇偶性.【解读】利用定义判断函数的奇偶性（1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称.（2）①若定义域不关于原点对称，则函数f（x）为非奇非偶函数.②若定义域关于原点对称，则需再判断f（-x）与f（x）的关系.若f（-x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数；若f（-x）＝-f（x），则函数f（x）为奇函数；若f（-x）≠±f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；若f（-x）＝±f（x），则函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

DB

二、函数奇偶性的图象特征（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（2）如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.（3）如果f（x）为奇函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x）），即点（-x，-f（x））也在f（x）的图象上；如果f（x）为偶函数，点（x，f（x））在其图象上，那么点（-x，f（-x）），即点（-x，f（x））也在f（x）的图象上.示例

已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式x·f（x）<0的解集为

.【解析】∵x·f（x）<0，∴当x>0时，f（x）<0，结合函数的图象可得1<x<2；当x<0时，f（x）>0，根据奇函数的图象关于原点对称，可得-2<x<-1.∴不等式x·f（x）<0的解集为（-2，-1）∪（1，2）.（-2，-1）∪（1，2）示例

奇函数f（x）的定义域为［-5，5］，若当x∈［0，5］时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）<0的解集是

.【解析】由于奇函数的图象关于原点对称，故函数f（x）在定义域［-5，5］上的图象如图所示.由图象知不等式f（x）<0的解集是（-2，0）∪（2，5］.（-2，0）∪（2，5］三、奇、偶函数的运算性质与复合函数的奇偶性1.奇、偶函数的运算性质对于定义域的交集不是空集的具有奇偶性的两个函数.（1）两个奇函数的和仍为奇函数，即奇+奇＝奇.（2）两个偶函数的和仍为偶函数，即偶+偶＝偶.（3）两个奇函数的积为偶函数，即奇×奇＝偶.（4）两个偶函数的积为偶函数，即偶×偶＝偶.（5）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数，即奇×偶＝奇.2.复合函数的奇偶性设非零函数f（x），g（x）的定义域分别是F，G，若F＝G，则有下列结论：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）f（g（x））偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数【解析】对于A，f（-x）＝f（x）＝1，故A正确；对于B，定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故B不正确；对于C，H（-x）＝f（-x）g（-x）＝-f（x）g（x）＝-H（x），故C正确；对于D，f（|-x|）＝f（|x|），则函数y＝f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，故D正确.示例［多选题］下列四个命题中正确的是（

）A.f（x）＝1是偶函数B.g（x）＝x3，x∈（-1，1］是偶函数C.若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）g（x）一定是奇函数D.函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称ACD典例剖析

【解】

（方法1）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称.当x>0时，-x<0，∴f（-x）＝（-x）［1-（-x）］＝-x（1+x）＝-f（x）.当x<0时，-x>0，∴f（-x）＝-x（1-x）＝-f（x）.∴函数f（x）为奇函数.（方法２）作出函数的图象，如图所示的实线部分，由图象可知，该函数为奇函数.【方法总结】判断分段函数奇偶性的方法（1）一般根据函数奇偶性的定义，分段处理，先说明各段上f（-x）与f（x）的关系，再进一步说明在整个定义域内f（-x）与f（x）的关系，在此基础上才能判断函数的奇偶性，要特别注意：若x∈［a，b］，-x∈［-b，-a］，在求f（-x）时，需代入f（x）在区间［-b，-a］上的解析式.（2）分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断.例 3

（1）已知函数f（x），x∈R，若a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），求证：f（x）为奇函数.（2）已知函数f（x），x∈R，若x1，x2∈R，都有f（x1+x2）+f（x1-x2）＝2f（x1）·f（x2），求证：f（x）为偶函数.（3）设函数f（x）的定义域为（-l，l），证明：f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数.【证明】（1）令a＝0，则f（b）＝f（0）+f（b），∴f（0）＝0.令a＝-x，b＝x，则f（0）＝f（-x）+f（x），∴f（-x）＝-f（x）.∴f（x）是奇函数.（2）令x1＝0，x2＝x，得f（x）+f（-x）＝2f（0）f（x）.①令x2＝0，x1＝x，得f（x）+f（x）＝2f（0）f（x）.②由①②得f（x）+f（-x）＝f（x）+f（x），即f（-x）＝f（x），∴f（x）是偶函数.（3）∵x∈（-l，l），∴-x∈（-l，l），即f（-x）的定义域也是（-l，l）.设F（x）＝f（x）+f（-x），G（x）＝f（x）-f（-x），则F（x）与G（x）的定义域也都是（-l，l），关于原点对称.∵F（-x）＝f（-x）+f（-（-x））＝f（-x）+f（x）＝F（x），G（-x）＝f（-x）-f（-（-x））＝f（-x）-f（x）＝-［f（x）-f（-x）］＝-G（x），∴F（x）为偶函数，G（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数.【方法总结】判断抽象函数的奇偶性，需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f（-x）与f（x）的关系.赋值时，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1，0或1来达到解题目的.【解析】

（1）（方法1）设g（x）＝f（x）+4，则g（x）＝ax3+bx在R上为奇函数，∴g（-2）＝f（-2）+4＝2+4＝6，∴g（2）＝-g（-2）＝-6.又∵g（2）＝f（2）+4，∴f（2）＝-10.（方法2）由f（-2）＝2，得-8a-2b-4＝2，即8a+2b＝-6，∴f（2）＝8a+2b-4＝-10.（2）F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值为5，且f（x），g（x）均为奇函数，则F（x）-2＝af（x）+bg（x）为奇函数，且在（0，+∞）上的最大值为3.根据奇函数的性质可知F（x）-2＝af（x）+bg（x）在（-∞，0）上的最小值为-3，故F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（-∞，0）上的最小值为-3+2＝-1.二、函数奇偶性的简单应用例4

（1）已知f（x）＝ax3+bx-4，其中a，b为常数，若f（-2）＝2，则f（2）等于（）A.-26

B.-18

C.10

D.-10（2）已知f（x），g（x）均为奇函数，且F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值为5，则在（-∞，0）上F（x）的最小值为

.D-1【方法总结】利用函数奇偶性求值的方法（1）未知的值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；（2）有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值.

例5

（1）已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x<0时，f（x）＝x2-2x，则当x>0时，f（x）＝

.（2）已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2-2x+1，则f（x）＝

.x2+2x

【方法总结】应用函数的奇偶性求函数f（x）解析式的一般方法（1）“求谁设谁”，即求函数在哪个区间内的解析式，x就设在哪个区间内；（2）将所设区间的x转化到已知区间，代入已知区间的函数解析式；（3）利用f（x）的奇偶性求得f（x）的解析式.

1-3A【方法总结】当定义域中含有参数时，可以根据奇、偶函数的定义域关于原点对称，直接求出参数的值；当解析式中含有参数时，可以根据奇、偶函数的定义列出等式f（-x）＝-f（x）或f（-x）＝f（x），由等式求出参数的值，有时也可以由特殊值或由函数的性质直接分析求解.【解析】

因为f（x）满足f（x-4）＝-f（x），所以f（-4）＝-f（0）.又f（x）在R上是奇函数，所以f（0）＝0，所以f（-4）＝-f（0）＝0，所以f（4）＝-f（-4）＝0.由f（x）＝-f（-x）及f（x-4）＝-f（x），得f（3）＝-f（-3）＝-f（1-4）＝f（1）.又f（x）在区间［0，2］上单调递增，所以f（1）>f（0），即f（1）>0，所以f（-1）＝-f（1）<0，f（3）＝f（1）>0，于是f（-1）<f（4）<f（3）.三、函数奇偶性的综合应用例7

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）＝-f（x），且在区间［0，2］上单调递增，则（）A.f（-1）<f（3）<f（4）

B.f（4）<f（3）<f（-1）C.f（3）<f（4）<f（-1）

D.f（-1）<f（4）<f（3）D【方法总结】利用函数的奇偶性比较大小比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，通过将其中某些函数值转化为其对称区间上的函数值，使它们在同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.

例8

（1）已知函数y＝f（x）在定义域［-1，1］上既是奇函数，又是减函数，若f（1-a2）+f（1-a）<0，则实数a的取值范围是

.（2）已知定义域为R的函数f（x）在［1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）<1的解集为（）A.（-1，1）

B.（-1，+∞）

C.（-∞，1）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）A［0，1）（2）∵f（x+1）是偶函数，∴f（1-x）＝f（1+x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称.又∵f（x）在［1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（-∞，1］上单调递减.∵f（3）＝1，∴f（-1）＝f（3）＝1，∴当2x+1≤1时，f（2x+1）<f（-1），即-1<2x+1≤1；当2x+1≥1时，f（2x+1）<f（3），即1≤2x+1<3，∴-1<2x+1<3，解得-1<x<1.【方法总结】抽象不等式问题的解题步骤（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”，转化为解不等式（组）的问题.需要注意的是，在转化时，自变量的取值必须在同一单调区