2020高考数学一轮复习23函数奇偶性与周期性讲义理

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性

定义

图象特色假如对于函数

f(x)的定义域内随意一个

x，都有

f(－偶函数

对于

y轴对称x)＝f(x)，那么函数

f(x)就叫做偶函数假如对于函数

f(x)的定义域内随意一个

x，都有

f(－奇函数

对于原点对称x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇偶性有特色，定义域要对称；口诀记忆奇函数，有中心，偶函数，有对称.函数的周期性周期函数对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使适当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．最小正周期假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．其实不是全部周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)存心义，那么必定有f(0)＝0.(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种种类，即f(x)＝0，x∈D，此中定义域D是对于原点对称的非空数集．奇函数在两个对称的区间上拥有同样的单一性；偶函数在两个对称的区间上拥有相反的单一性．偶函数在对于原点对称的区间上有同样的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在对于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋)＝(x－)，则函数的周期为2；afaa(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；1(3)若f(x＋a)＝fx，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－f12a.x，则函数的周期为3．对称性的3个常用结论若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象对于直线x＝a对称；若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象对于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)对于点(b,0)中心对称．[小题检验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不必定过原点，奇函数的图象必定过原点．()(3)假如函数f(x)，g(x)为定义域同样的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)对于直线x＝a对称．( )(5)若T是函数的一个周期，则(∈Z，≠0)也是函数的周期．( )nTnn答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1．以下函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x分析：选BA中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，应选B.2．以下函数为奇函数的是( )A．y＝xB．y＝exC．y＝|x|D．y＝ex－e－x分析：选DA、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，应选D.3．若y＝(x)(x∈R)是奇函数，则以下坐标表示的点必定在＝(x)图象上的是( )fyfA．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))分析：选B由于(a，())是函数y＝(x)图象上的点，且y＝(x)是奇函数，其图象faff对于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))必定在4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[－1,2a]上的偶函数，那么a分析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[－1,2a]上的偶函数，∴a1又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝3.答案：135．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当

y＝f(x)的图象上．a＋b的值是________．1a－1＋2a＝0，∴a＝3.x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，则f3x，0≤x＜1，2＝________.分析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，31112∴f2＝f2－2＝f－2＝－4×－2＋2＝－1＋2＝1.答案：1[基础自学过关]考点一函数奇偶性的判断[题组练透]判断以下函数的奇偶性：1－xf(x)＝(x＋1)1＋x；x2＋2x＋1，x>0，f(x)＝x2＋2x－1，x＜0；4－x2f(x)＝x2；f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a>0且a≠1)．1－x解：(1)由于f(x)存心义，则知足1＋x≥0，所以－1＜x≤1，所以f(x)的定义域不对于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．法二：图象法作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象对于原点对称的特色知函数f( )为奇函数．x4－x2≥0，所以－2≤x≤2且x≠0，(3)由于x2≠0，所以定义域对于原点对称．又f(－x)＝4－－x24－x22＝2，－xx所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．函数的定义域为R，由于f(－x)＋f(x)＝loga[－x＋－x2＋1]＋loga(x＋x2＋1)＝loga(x2＋1－x)＋loga(x2＋1＋x)＝loga[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)]loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法定义法：确立函数的奇偶性时，一定先判断函数定义域能否对于原点对称．若对称，再化简分析式后考证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0能否建立．图象法：性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提示]分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x＜0来找寻等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)建立，只有当对称的两个区间上知足同样关系时，分段函数才拥有确立的奇偶性．考点二[师生共研过关]函数奇偶性的应用[典例精析](1)(2019·广州调研)已知函数f(x)＝22xa＝________.－1x(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，()是定义在R上的奇函数，且()＝(－1)，gxgxfx则f(2017)＋f(2019)的值为________．[分析](1)易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由于f(x)为奇函数，所以2－x2x2x2－x2x1(－x)＝－f(x)，即2－x－1＋a＝－2x－1－a，所以2a＝－2x－1－2－x－1＝－2x－1－1－2x＝1－1，所以a＝－.2(2)∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1，即x＜0时，f(x)＝x－1.由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2017)＋f(2019)＝f(2018－1)＋f(2018＋1)＝0.1x－1(3)0[答案](1)－2(2)[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略求函数的值：利用奇偶性将待求值转变为已知区间上的函数值求解．求函数分析式：先将待求区间上的自变量转变到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性结构对于f(x)的方程(组)，进而获得f(x)的分析式．(3)求分析式中的参数值：在定义域对于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特别值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．[过关训练]1．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的分析式能够为()A．g(x)＝x3B．g(x)＝cosxC．()＝1＋xD．()＝exgxgxx分析：选B由于f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，应选B.2．设函数f(xlog2－x，x＜0，f(x)是奇函数，则(3)的值是())＝若gx＋1，x>0，gA．1B．3C．－3D．－1C()＝log2－x，x＜0，( )是奇函数，∴(－3)＝－分析：选∵函数fxffgx＋1，x>0，xf(3)，∴log2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，则(3)＝－3.应选C.g2tx2＋2tsinx＋π＋x3．若对于x的函数f(x)＝2x2＋cosx4(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝________.2π分析：f(x)＝2tx＋2tsinx＋4＋xtsinx＋x2＝t＋2，2x＋cosx2x＋cosxtsinx＋x设g(x)＝2x2＋cosx，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.答案：1考点三[师生共研过关]函数的周期性[典例精析](1)已知函数－x，0≤x≤1，n∈N*，定义fn(x)＝f(x)＝假如对随意的x－1，1＜x≤2，，那么f2019(2)的值为( )A．0B．1C．2D．3(2)设定义在R上的函数f(x)知足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)

＋f(1)

＋f(2)

＋＋

f(2019)

＝________.[分析]

(1)∵f1(2)

＝f(2)

＝1，f2(2)

＝f(1)

＝0，f3(2)

＝f(0)

＝2，∴f

n(2)

的值拥有周期性，且周期为

3，∴f

2019(2)

＝f3×673(2)

＝f3(2)

＝2，应选

C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2019)＝1010.[答案](1)C(2)1010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略求解与函数的周期性有关的问题，应依据题目特色及周期定义，求出函数的周期．周期函数的图象拥有周期性，假如发现一个函数的图象拥有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数必定拥有周期性．[口诀记忆]函数周期三种类：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐蔽周期别大意.[过关训练]1．[口诀第2句]已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤111－1时，f(－x)＝－f(x)；当x>2时，fx＋＝fx2，则f(6)等于()2A．－2B．－1C．0D．2111分析：选D当x>2时，fx＋2＝fx－2，即周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．[口诀第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6

B．7C．8

D．9分析：选

B

当0≤x＜2

时，令

f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以

y＝f(x)的图象与

x轴交点的横坐标分别为

x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又

f(x)的最小正周期为

2，所以

f(x－2)＝f(x)，所以

f(x)＝(x－2)(

x－1)(

x－3)，所以当

2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与

x轴交点的横坐标分别为

x3＝2，x4＝3.同理可得，当

4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与

x轴交点的横坐标分别为

x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也切合要求．综上可知，共有

7个交点．3．[口诀第

5、6句]已知定义在

R上的奇函数

f(x)的图象对于直线

x＝1对称，且当

x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则以下不等式正确的选项是( )A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)分析：选C由于奇函数f(x)的图象对于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以

4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，联合题意可画出函数

f(x)在[－2,4]

上的大概图象，如下图．又

2＜log

27＜3，所以联合图象可知－

1＜f(log

27)＜0，故

f(－5)＜f(log

27)＜f(6)

，应选

C.考点四[全析考法过关]函数性质的综合应用[考法全析]考法(一)单一性与奇偶性综合[例1](2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单一递加，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x>2}B．{x|x＜0或x>2}C．{x|x＜0或x>3}D．{x|x＜－1或x>1}[分析]由于函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单一递加，所以可作出函数f(x)的表示图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，应选A.[答案]A考法(二)奇偶性与周期性综合[例2](2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f( )知足f(＋3)＝()．若f(2)>1，xxfxf(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)[分析]∵f(x＋3)＝f(x)，f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，a>1，即a∈(1，＋∞)．应选D.[答案]D考法(三)单一性、奇偶性与周期性联合[例3](2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)知足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单一递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是()A．>>B．>>abccabC．b>c>aD．a>c>b[分析]∵偶函数f(x)知足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，＝(－1.6)＝f(0.4)＝(－0.4)，＝(0.5)＝(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，bffcff且函数f(x)在[－1,0]上单一递减，∴a>c>b，应选D.[答案]D[规律探究]考法(一)是已知函数单一递加且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；看个考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周性期性进行变换，将所求函数值的自变量转变到已知分析式的函数定义域内求解；考法(三)是函数周期性、奇偶性与单一性联合．解决此类问题往常先利用周期性转化自变量所在的区间，而后利用奇偶性和单一性求解对于函数性质联合的题目，函数的周期性有时需要经过函数的奇偶性获得，函数的找共奇偶性表现的是一种对称关系，而函数的单一性表现的是函数值随自变量变化而变性化的规律．所以在解题时，常常需要借助函数的奇偶性和周期性来确立另一区间上的单一性，即实现区间的变换，再利用单一性解决有关问题1．(2018·全国卷Ⅱ

)已知

[过关训练]f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，知足

f(1－x)＝f(1＋x)．若

f(1)

＝2，则

f(1)

＋f(2)

＋f(3)

＋＋f(50)

＝(

)A．－50

B．0C．2

D．50分析：选C∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)的图象对于直线x＝1对称，f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋＋f(49)＋f(50)0×12＋f(49)＋f(50)f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.2．已知

f(x)是定义在

R上的偶函数，且

f(x＋1)＝－f(x)，若

f(x)在[－1,0]

上单一递减，则

f(x)在[1,3]

上是(

)A．增函数

B．减函数C．先增后减的函数

D．先减后增的函数分析：选D依据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，应选D.3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单一递加．若实数a知足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．分析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单一递加，∴f(x)在(0，＋∞)上单一递减，f(－2)＝f(2)，1∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|＜2＝22，11113∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.2222213答案：2，2[课时追踪检测]一、题点全面练1．(2018·天水一模)以下函数中，既是奇函数，又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x21C．y＝xD．y＝x|x|分析：选D对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不知足条件．对于B，y＝－x2是偶函1数，不知足条件．对于C，y＝x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不知足条件．对于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．应选D.2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logx，则f(－2)＝()211A．－2B.2C．2D．－2分析：选B由已知得f(－2)＝f(12)＝log22＝.应选B.23．函数f(x)知足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f52的值为( )11A.2B.411C．－4D．－2分析：选A∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期511111为2.∴f2＝f2＋2＝f2＝2×2×1－2＝2.xax＋1)为偶函数，4．(2018·佛山一模)已知f(x)＝2＋x为奇函数，g(x)＝bx－log2(42则f(ab)＝( )175A.4B.2C．－15D．－342xa－xa分析：选D依据题意，f(x)＝2＋2x为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即2＋2－x＋xa2＋2x＝0，解得a＝－1.()＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则()＝(－)，gxgxgx即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，解得b＝1，则ab＝－1，－113所以f(ab)＝f(－1)＝2－2－1＝－2.5．定义在R上的偶函数f(x)知足：对随意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2－fx1＜0，则()x2－x1A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)分析：选A∵(x)是偶函数，∴(－2)＝(2)．又∵随意的x1，2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，fffxfx2－fx1有x21＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f(1)>f(2)＝f(－－x2)>f(3)，应选A.1－x116．已知函数f(x)＝asinx＋bln1＋x＋t，若f2＋f－2＝6，则实数t＝()A．－2B．－1C．1D．31－x11分析：选D令g(x)＝asinx＋bln1＋x，易知g(x)为奇函数，所以g2＋g－2＝0，1111则由f(x)＝g(x)＋t，得f2＋f－2＝g2＋g－2＋2t＝2t＝6，解得t＝3.应选D.7．(2019·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f2019＝()2A.3＋1B.3－1C．－3－1D．－3＋1分析：选D由于f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以20193331xf2＝f1008＋2＝f2＝－f－2＝－f2.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3－1，所以12019f2＝3－1，f2＝－3＋1.8．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，并且f(x)是减函数，假如f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数的取值范围是()mA.1，5B.－∞，533C．(1,3)D.5，＋∞3分析：选A∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x)，∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可转变为f(m－2)>－f(2m－3)，即f(m－2)>f(－2m＋3)．∵f(x)是－1＜m－2＜1，5减函数，∴－1＜2－3＜1，∴＜m－2＜－2m＋3，1m3.9．(2019·洛阳第一次统考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a＝________.分析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(exe－x＋11x，∴2＋1)＝lnx＝lnx＝－axe＋1ea1＝－1，解得a＝－2.法二：(取特别值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，－1∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝lne＋1＝ln1＝－1，∴e＋1e1a＝－2.1答案：－210．设定义在R上的函数f(x)同时知足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x＜1时，f(x)＝2x－1，则f1＋f(1)＋f3＋f(2)＋f5＝________.222分析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.135∴f2＋f(1)＋f2＋f(2)＋f2111＝f2＋0＋f－2＋f(0)＋f2111＝f2－f2＋f(0)＋f2＝f1＋f(0)210＝22－1＋2－1＝2－1.答案：2－1二、专项培优练(一)技法专练——活用快得分2|x|＋1＋x3＋21．[巧用性质]已知函数f(x)＝|x|的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于2＋1( )A．0B．2C．4D．8f(x)＝|x|＋＋x3x3分析：选C2|x|＋1＝2＋2|x|＋1，x3设g(x)＝2|x|＋1，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，maxmin＝4.∴M＋m＝2＋g(x)＋2＋g(x)12．[巧用性质]设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)建立的x的取值范围为________．分析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．11当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－1＋x2，由于y＝ln(1＋x)与y＝－1＋x2在(0，＋∞)上都单一递加，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单一递加．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，2221两边平方可得x>(2x－1)，整理得3x－4x＋1＜0，解得3＜x＜1.所以x的取值范围为1，1.3答案：

13，1－x2＋2x，x>0，3．[数形联合

]已知函数

f(x)＝

0，x＝0，

是奇函数．x2＋mx，x＜0(1)务实数

m的值；(2)若函数

f(x)在区间

[－1，a－2]上单一递加，务实数

a的取值范围．解：(1)

设x＜0，则－

x>0，所以

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，22于是x＜0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx，所以

m＝2.(2)要使f(x)在[－1，－2]上单一递加，作出f(x)的图象如下图，aa－2>－1，联合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．a－2≤1，(二)修养专练——学会更学通4．[逻辑推理

]奇函数

f(x)的定义域为

R.若

f(x＋2)为偶函数，且

f(1)

＝1，则

f(8)

＋f(9)

＝(

)A．－2

B．－1C．0

D．1分析：选

D

由函数

f(x＋2)为偶函数可得，

f(2＋x)＝f(2－x)．又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故该函数是周期为8的周期函数．又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.