北京市宣武区第二次模拟题数学试卷(理科)

学无止境2001年北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。1．已知映照f：A→B，此中会合A={-3，-2，-1，1，2，3}，会合B中的元素都是集合A中的元素在映照f下的象，且关于随意a∈A，在B中和它对应的元素是log2|a|，则集合B中元素为有理数的个数是（）A0B1C2D32．函数ylog2(x1)(x1)的反函数的图象是（）3．椭圆x2y21(ab0)的离心率是2，那么双曲线x2y21的离心率a2b22a2b2是（）A236D6BC2234．已知m、n是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，关于以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，mα，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β若中正确的命题是（）A①与②

B②与③

C仅②

D仅④25．函数y=(arcsinx)+4arcsinx-

1

获得最大值和最小值的状况是（

）有最小值-5，无最大值2B有最小值-5，最大值21422C有最小值21，最大值214422D有最小值1，最大值21424学无止境6．极坐标方程所表示的曲线是（）A两条订交的直线B两个订交的圆C一条直线和一个圆，且直线与圆相离D一条直线和一个圆，且直线与圆相切7．设复数zcosicos,[0,]，w=－1+i，则|z－w|的最大值是（）A21B5C2D28．已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x－1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则Q1分有向线段MO2的比λ等于（）6B565A6CD556}的连续三项，9．数列{a}是公差不为零的等差数列，且a、a、a是一等比数列{bn71015n若该等比数列的首项为b1=3，则bn等于（）A3(5)n1B3(5)n1C3(3)n1D3(2)n1385310．如图一，菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=1，沿对角线AC将△ACD折起，使点D至D′地点，连BD′获得三棱锥D′—ABC（如图二），则三棱锥D′—ABC体积的最大值为（）3131ABCD16881611．某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。现为达成一件任务，需派三辆车按不一样时间出车，此中若2号、3号车被同时派出时，则2号车必定要排在3号车前面。这样不一样的派车方法的种数为（）A51B45C60D3012．不等式ax1x1的解集是{x|1≤xb}，此中a、b是实数，且b1，22则b的值等于（）A1B22C22D2第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分。把答案填在题中的横线上。13．tg10tg20tg20tg60tg60tg10的值为。14．已知轴截面是正三角形的圆锥的侧面积等于一个球的表面积，那么这个圆锥的体积与球的体积之比是。15．关于函数f(x)x2lg(xx21)，有以下四个结论：学无

止

境①f(x)的定义域是全体实数；②f(x)在[0,

)上是增函数；③f(x)是偶函数；④若又知

a、m

R，且

f(a)=m，则f(a)

2a2

m此中正确结论的序号是

（把正确结论的序号都填上）16．已知抛物线

x2=y+1

上必定点

A(0，－1)和两动点

P、Q，当

PA⊥PQ时，点

Q的横坐标的取值范围是三、解答题：本大题共

6小题，共

。74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分

12分）已知会合

A

{x|log

3

(x

2

2x)

1}

，会合B={x|x

2+(4－3a)x≤12a}，若

A∪B=B，求实数

a的取值范围。18．（本小题满分

12分）在△ABC

中，角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c，若cos2(

A)

3cosA

7，2

4且b

c

2a，求cosBC的值。219．（本小题满分14分）已知：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M、N、E分别为AB、PC、PD的中点。I）求证：AE⊥平面PMC；II）求证：MN⊥AB；III）若平面PCD和平面ABCD所成的二面角为锐角θ，试确立θ的值，使得直线MN为异面直线AB和PC的公垂线；（IV）在（III）的条件下，若又知AB=1，AD=2，求多面体AMCDEN的体积。20．（本小题满分12分）某房子开发企业用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米均匀建筑花费与学无止境楼层相关，若该楼建成x层时，每平方米的均匀建筑花费用f(x)表示，已知建成n层时所需花费与建成m层所需花费有以下关系建立：f(n)f(n)(1nm)，（此中n＞m，m、n∈N）20400元，为了使该楼每平方米的综合又知建成五层楼房时，每立方米的均匀建筑花费为花费最省（综合花费是建筑花费与购地花费之和），企业应把该楼建成几层？21．（本小题满分12分）设a为实常数，且a≠－1，an为(1+a+x)n睁开式中

x的系数，此中

n∈N。I）写出数列{an}的通项公式；II）设Sn=a1+a2++an，求Sn；（III）当a(,2][0,)时，求liman的值。Sn22．（本小题满分12分）已知双曲线x2y21(a0,b0)，F为右焦点，A为右极点，又点B的坐标G:b2a2为（0，b），△ABF的面积为21，∠FAB=135°。2I）求双曲线G的方程；II）直线过点且与双曲线G的左支交于M、N两点，求直线m的斜率k的取值范围；III）在（II）的条件下，又知直线1过点（－2，0）和线段MN的中点，PQ是y轴上的一条动线段，当1和线段PQ无公共点时，PQ的长的最大值能否存在，请说明原因。参照答案一、1C2B3D4C5C6D7C8A9A10B11A12B二、13．114．6:215．①、②、④16．(,2][2,)学无止境三、17．解：关于会合A，有log3(x22x)1，x22x0x0或x2x22x31x3∴A=（－1，0）∪（2，3）关于会合B:x2(43a)x12a≤0，(x4)(x3a)≤0∵ABB∴AB∴3a4∴B[4,3a]又AB，∴3a≥3，∴a≥1。18．解：由cos2(A)3cosA7，274得sin2A3cosA47即1cos2A3cosA4整理得cos2A3cosA3=04解得cosA3，∴A=30°2又由bc2a，依据正弦定理得sinBsinC2sinA2sinBCcosBC2sin3022∵ABC，22∴2cosAcosBC2222∵cosAcos156224∴262cosBC2422∴cosBC221312262312学无止境19．（1）证明：∵EN为△PCD的中位线，∥1∴EN==CD2∥1又AM==CD∥2是平面四边形∴EN==AM，∴四边形AENMAE∥MN，MN平面PMC，AE平面PMC，∴AE∥平面PMCII）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB。又AB⊥AD，PAAD=A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AE。由（I）知AE∥MN，∴MN⊥AB。（III）解：45时，直线MN是异面直线AB和PC的公垂线。下边进行推证：AD⊥CD，PA⊥底面ABCD。∴PD⊥CD，∴∠PDA为平面PCD和平面ABCD所成二面角的平面角。即∠PDA=，设AB=a，AD=b，PA=c。若MN为异面直线AB和PC的公垂线，又由（II）知MN⊥AB，则须MN⊥PC，即须MC=PM。∵在Rt△CBM中，MCCB2BM2b21a24在Rt△PAM中，PMPA2AM2c21a24∴须CM=PM，只须b=c，即AD=PA即可。此时tgPA1，45。AD又当45时，AD=PA，CM=PM∵N为CD中点，∴MN⊥CP。又由（II）知MN⊥AB，∴此时MN为AB和PC的公垂线。综上，当且仅当45时，直线MN为异面直线AB和PC的公垂线。（IV）解：∵PDA45，∴△PAD是等腰Rt△，又E是斜边PD的中点，∴AE⊥PE。由（III）知PD⊥CD。EN∥CD，PD⊥EN，即PE⊥EN。PE⊥面AENM，PE是四棱锥P—AENM的高。学无止境1112PEPD2AD22222又AE⊥AB，∴四边形AENM为矩形。四边形AENM的面积SEAEN21222∴VpAENM1SPE12213323又VPAMCD1[1(AMCD)AD]PA1(11)221321262∴多面体AMCDEN的体积为V13320．解：设该楼建成x，则每平方米的购地花费为12810412801000xx

（元）由题意知f(5)=400，∴f(x)f(5)(1x5)400(1x5)（元）2020∴每平方米的综合花费为yf(x)1280400(1x5)1280x20x20(x64)300x≥20264300620（元）当且仅当x64即x=8时等号建立x∴当该楼建成8层时，每平方米的综合花费最省。21．解：（I）∵(1ax)n[(1a)x]n，∴anC1n(1a)n1n(1a)n1(a1)（II）∵ann(1a)n1，∴Sn12(1a)3(1a)2n(1a)n1①学无止境1）当a=0时，Sn12nn(n1)22）当a≠0时且a≠－1时，①×(1+a)得n2n－1－n(1+a)n②(1+a)S=(1+a)+2(1+a)++(1+a)①－②，得aSn(1a)(1a)2(1a)n1n(1a)n=(1a)n1n(1a)n(1a)1∴Sn1(1a)nn(1a)na2a（III）当a=0时，ann2,liman0Snn(n1)n1nSn2当a≠0时ann(1a)n1na2(1a)n1Sn1(1a)nn(1a)n1(1a)nna(1a)na2aa21(1)n11aa(1a)n1an若a＞0或a＜－2即1ana；1时，lim1anSn1a若a=－2即11时，liman21anSn综上，limana，此中a(,2][0,)nSn1a22．解：（I）如图A（a，0），F（c，0），B（0，b）∵∠FAB=135°，∴∠BAO=45°∴b=a，c2a学无止境1SABF(ca)b21(2aa)a221a22∴21a221∴a21,b2122双曲线G的方程为x2y21（II）设m的方程为ykx1，由ykx1k2)x22kx20。x2y2消去y，得(11直线m和双曲线G的左支交于两个不一样的点的充要条件是方程为一元二次方程且有两个不等的负实根，即1k20k14k28(1k2)02k2k201k21k21k0或k120k1或k11k2（III）设直线m和双曲线G左支的交点为M（x1，y1），N（x2，y