2013北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学理科

第页由正弦定理得，．…………13分（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.…………4分（Ⅱ）因为平面，，ADBCPEADBCPEFGHzyx所以，.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为,所以，，，，，．…………5分因为，，分别为，，的中点，所以，，.所以，.设为平面的一个法向量，则,即，再令，得.,.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以==.所以平面与平面所成锐二面角的大小为.…………9分（Ⅲ）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.由,则.又因为,，所以.因为直线与直线所成角为，，所以=，即，解得.所以，.所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时.………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为．从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“或”的概率约为．……………………3分（Ⅱ）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3．所以；；；．随机变量的分布列为0123所以．……………9分（Ⅲ）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为．显然基本事件的总数为．不妨设，当时，或或，其基本事件数为；当时，或，其基本事件数为；当时，，其基本事件数为；所以．所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分的概率为．……………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，.…………1分①当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.…………3分②当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.……………5分（Ⅱ）依题意，“当时，对于任意，恒成立”等价于“当时，对于任意，成立”.当时，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以函数的最小值为.所以应满足.……………6分因为，所以.……………7分①当时，函数，，，显然不满足，故不成立.……………8分②当时，令得，，.（ⅰ）当，即时，在上，所以函数在上单调递增，所以函数.由得，，所以.……………10分（ⅱ）当，即时,在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.由得，，所以.……………11分（ⅲ）当，即时,显然在上，函数在上单调递增，且.显然不成立，故不成立.……………12分综上所述，的取值范围是.……………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设，，则，.由，得.又因为，解得.所以椭圆的方程为.……………4分（Ⅱ）依题直线的方程为.由得.设，，则，.…………6分所以弦的中点为.……………7分所以.……………9分直线的方程为，由，得，则，所以.…………11分所以.……………12分又因为，所以.所以.所以的取值范围是.………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得．．……………3分（Ⅱ）设．当时，．若固定，仅让变动，此时，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可在某一组取值的所达到，于是．当（）时，．因为，所以，且当，时，．因此．……………8分（Ⅲ）设.固定，仅让变动，此时，因此．同理．．以此类推，我