五年高考真题分类汇编-立体几何

五年高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.（2015安徽高考，理5）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【解析】选D.由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.2.（2015北京高考，理4）设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选B.因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.3.（2015新课标全国卷=1\*ROMANI，理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【答案】B4.（2015陕西高考，理5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解析】选D.由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．5.（2015新课标全国卷=1\*ROMANI，理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）（A）1（B）2（C）4（D）8【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.6.（2015重庆高考，理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、B、C、D、【解析】选A.这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，选A.7.(2015北京高考，理5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【答案】C,三棱锥表面积.8.(2015安徽高考，理7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）【解析】选B.由题意，该四面体的直观图如下，是等腰直角三角形，是等边三角形，则，所以四面体的表面积，故选B.9.(2015新课标全国卷=2\*ROMANII，理9)已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C10.(2015山东高考，理7)在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）QUOTEQUOTE（B）QUOTEQUOTE（C）QUOTE（D）【解析】选C.直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：,故选C.11.(2015浙江高考，理8)如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A.B.C.D.【解析】B.试题分析：设，设，则由题意，在空间图形中，设，在中，，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，过作，连结，∴，则就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，显然面，故，在中，，在中，12.(2015湖南高考，理10)某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A.B.C.D.【解析】选A.分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.13.（2015浙江高考，理2）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.B.C.D.【答案】C.14.（2015福建高考，理7）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选B.若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．学优高考网15.（2015新课标全国卷=2\*ROMANII，理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A．B．C．D．【解析】选D.由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．16.（2015浙江高考，文4）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【解析】选A.采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，时，可以相交；选项D中，时，也可以异面.故选A.17.（2015新课标全国卷=1\*ROMANI，文6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【解析】选B.设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.18.（2015浙江高考，文2）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解析】选C.由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体与一个底面边长为，高为的正四棱锥的组合体，故其体积为.故选C.19.（2015重庆高考，文5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(B)(C)(D)【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为，故选B.20.（2015陕西高考，文5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解析】选.由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为，故答案选21.（2015广东高考，文6）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交【解析】选A.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．22.（2015浙江高考，文7）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【解析】选C.由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.23.（2015湖北高考，文5）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】选.若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以命题q：不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选.24.（2015新课标全国卷=1\*ROMANI，文11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则()（A）（B）（C）（D）【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.25.（2015福建高考，文9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．【解析】选B.由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为，直角腰长为，斜腰为．底面积为，侧面积为，所以该几何体的表面积为，故选B．26.（2015山东高考，文9）已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()（A）QUOTE（B）QUOTE（）（）【解析】选.由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为，故选.27.（2015湖南高考，文10）某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A、B、C、D、【答案】A28.（2015北京高考，文7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．【解析】选C.四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，，故选C.29（2015安徽高考，文9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）【解析】选C.由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC⊥底面ABC，且≌，由三视图中所给数据可知：,取中点连接，则中，∴，故选C.30.(2014·湖北高考文科·T7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和② B.③和①C.④和③ D.④和②【解题提示】由已知条件,在空间坐标系中作出几何体的大致形状,进一步得到正视图与俯视图.【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④,俯视图为②,故选D.31.(2014·湖北高考文科·T10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.QUOTE B.QUOTE C. D.【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力.根据近似公式V≈L2h,建立方程,即可求得结论.【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,L=(2πr)2,V=QUOTESh=πr2h=(2πr)2h≈L2h,所以≈QUOTE,即π的近似值为.32.（2014·湖北高考理科·Ｔ5）.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为=4\*GB3④与俯视图为=2\*GB3②，故选D.33.（2014·湖北高考理科·Ｔ8）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）B.C.D.【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。根据近似公式，建立方程，即可求得结论【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为34.（2014·湖南高考理科·Ｔ7）7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是做成的最大球的半径。【解析】选B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为，这就是做成的最大球的半径。35.（2014·湖南高考文科·Ｔ8）与（2014·湖南高考理科·Ｔ7）相同一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．1B．2C．3D．4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是做成的最大球的半径。【解析】选B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的躺下的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为，这就是做成的最大球的半径。36.（2014·上海高考理科·Ｔ16）【解题提示】根据向量数量积的定义可得.【解析】37.（2014·福建高考文科·Ｔ3）3．以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）【解题指南】本题考查的是圆柱的侧面积的计算．根据圆柱侧面展开图为矩形可知，圆柱的侧面积应该是底面周长母线长.【解析】A．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1．故侧面积为．故选A．38.（2014·福建高考理科·Ｔ2）2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱【解题指南】通过三视图还原原几何体时，注意排除干扰项．【解析】A.无论如何放置，圆柱的正视图都不可能为三角形.39.（2014·浙江高考文科·Ｔ3）某几何体的三视图（单位：cm）若图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.【解析】选B.由三视图可知，原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体，如图所示：所以其体积为，故选B.【误区警示】此题利用三视图还原几何体时容易出现错误.40.（2014·浙江高考理科·Ｔ3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90B.129C.132D.138【解题指南】由三视图还原成几何体，再根据几何体的特征求表面积.【解析】选D.由三视图可知，几何体如图所示：所以表面积是：41.（2014·浙江高考文科·Ｔ6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（）A．若，，则B．若，，则C．若，则D．若，，，则【解题提示】依据线、面平行，垂直的条件与性质逐一判断.【解析】选C.对A若，，则或或，错误；对Ｂ若，，则或或，错误；对Ｃ若，则，正确；对Ｄ若，，，则或或，错误；42.（2014·辽宁高考理科·Ｔ7）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为【解题提示】结合三视图的特点，该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的．【解析】选Ｂ.截得该几何体的原正方体的体积；截去的圆柱（部分）底面半径为１，母线长为２，截去的两部分体积为；故该几何体的体积为．43.(2014·陕西高考文科·T5)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4π B.8π C.2π D.π【解题指南】正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周所得几何体为圆柱,利用圆柱的侧面积公式求解.【解析】选C.边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,得几何体为底面半径为1,高为1的圆柱,则所得几何体的侧面积为2π·1·1=2π.44.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为QUOTE的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.QUOTE B.4π C.2π D.QUOTE【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则QUOTE+QUOTE=1可得QUOTE=QUOTE;又侧棱长为QUOTE,所以球心到截面圆的距离d=QUOTE;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R=QUOTE=QUOTE=1,代入球的体积公式得球的体积为QUOTE.45.(2014·江西高考理科·T5)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是()【解题指南】由三视图中的俯视图是几何体在下底面上的投影可得.【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.46.（2014·安徽高考文科·Ｔ8）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.B.C.D.7【解题提示】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截取两个全等小正三棱锥所得的组合体。【解析】选A。由三视图可知原几何体是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥。正方体的体积为V1=8，两个相等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直接三角形，一个三棱锥的体积为，所以两个三棱锥的体积为，故所求几何体的体积为.【误区警示】没有正确将三视图还原为几何体而无法进行计算。47.（2014·安徽高考理科·Ｔ7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+B.18+C.21D.18【解题提示】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截取两个全等小正三棱锥所得的组合体。【解析】选A。由三视图可知原几何体是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥。正方体的表面积为S=24，两个相等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直接三角形，其表面面积的和为3，三棱锥的底面是边长为的正三角形，其表面积的和为，故所求几何体的表面积为24-3+=21+。【误区警示】易忽视了正方体截取三棱锥后截面是一个边长为的正三角形，其面积的和为，而误选C。48.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π·6=54π.因为加工后的零件,左半部分为小圆柱,半径为2,高为4,右半部分为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π·4+9π·2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.故选C.49.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T7)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为QUOTE,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3 B. C.1 D.【解题提示】恰当地转换顶点求得三棱锥的体积.【解析】选C.因为B1C1∥BD,所以BD∥面AB1C1,点B和D到面AB1C1的距离相等,所以===××2××=1.故选C.50.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π·6=54π.因为加工后的零件,左半部分为小圆柱,半径为2,高为4,右半部分为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π·4+9π·2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.故选C.51.（2014·四川高考文科·Ｔ4）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）A．B．C．D．【解题提示】由三视图得到该三棱锥的直观图是解决本题的关键.【解析】选D.根据所给的侧视图和俯视图，该三棱锥的直观图如下图所示．从俯视图可知，三棱锥的顶点A在底面内的投影O为边BD的中点，所以AO即为三棱锥的高，其体积为.52.（2014·重庆高考文科·Ｔ7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【解题提示】直接根据三视图还原为几何体，然后求出该几何体的体积.【解析】选C.由三视图可知，该几何体为如图所示的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的.三棱柱的体积为,截去的三棱锥的体积为,所以该几何体的体积为.53.（2014·四川高考理科·Ｔ8）如图正方体中,点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解题提示】如图连接，面,又面,所以的正弦值与所求相等，观察可知可以取到1，然后直接计算分别与重合时的值即可得到答案．【解析】选B.直线与平面所成的角为的取值范围是，由于，，，所以的取值范围是.54.（2014·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ4）相同已知表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解题提示】否定一个结论,只需一个反例即可.【解析】选B.如图,正方体中,直线分别与平面平行，但是直线相交，故选项（A）错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项（B）正确；直线,但直线故选项（C）错误；直线，但直线故选项（D）错误55.(2014·广东高考文科·T9)(2014·广东高考理科)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题提示】由于l2∥l3,所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3,所以l1⊥l2,l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定.56.(2014·广东高考理科)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)【解题提示】直接利用向量的夹角与数量积公式逐一验证.【解析】选B.(1,0,-1)·(-1,1,0)=-1,夹角不可能为60°,(1,0,-1)·(1,-1,0)=1,且|(1,0,-1)|=|(1,-1,0)|=,夹角恰好为60°.57.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()A. B. C. D.【解题提示】建立坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选C.如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为x,y,z轴,建立坐标系.令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以=(-1,1,-2),=(0,-1,-2).cosθ===.故选C.58.（2013·湖南高考理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\f(\r(2)＋1,2)【解析】选C本小题主要考查三视图及考生的空间想象能力，考查函数与方程思想．由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正视图的面积最大，为1×eq\r(2)＝eq\r(2).而eq\f(\r(2)－1,2)<1，所以正方体的正视图的面积不可能等于eq\f(\r(2)－1,2).59．（2013·辽宁高考理）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)【解析】选C本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).60．（2013·安徽高考理）在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A本题考查了立体几何中的公理与定理，意在要考生注意回归课本，明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．61．（2013·浙江高考理）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则()A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【解析】选A本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质，考查二面角的平面角的概念，考查阅读理解、空间想象能力以及动手操作能力．简化问题，不妨取点P∈α，根据题意，A中不妨取正方体的一组相邻面，检验可能成立；B中取正方体的一个底面及与其成45°的一个体对角面，则PQ1＝1时，PQ2＝eq\f(\r(2),2)，不成立；C中取正方体的一组相对的面，明显有PQ1＝1，PQ2＝0，不成立；D中与B类似有PQ1＝eq\r(3)时，PQ2＝eq\f(3,2)，不成立，故选A.也可以通过折纸的方法很快解决．62．（2013·重庆高考理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(560,3)B.eq\f(580,3)C．200D．240【解析】选C本题考查三视图，意在考查考生的空间想象能力．由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V＝eq\f(1,2)×(2＋8)×4×10＝200.63．（2013·新课标Ⅰ高考理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3 C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3【解析】选A本题考查正方体和球组成的组合体、球的体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、转化化归能力以及运用体积公式进行计算的能力．解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2)cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3，选择A.64.（2013·新课标Ⅰ高考理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【解析】选A本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力．先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算．根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋eq\f(1,2)π×22×4＝16＋8π，选择A.65.（2013·新课标Ⅱ高考理）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【解析】选D本题涉及直线与平面的基本知识，意在考查考生的空间想象能力、分析思想能力，难度中等偏下．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.66.（2013·新课标Ⅱ高考理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【解析】选A本题考查三视图的基本知识．作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A.67．（2013·江西高考理）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10D．11【解析】选A本题考查立体几何中的线、面间的位置关系，意在考查考生的数形结合思想及转化与化归的能力．取CD的中点G，连接EG，FG，则易证CD⊥EG，CD⊥FG，所以CD⊥平面EFG.又AB∥CD，所以AB⊥平面EFG，所以AB⊥EF，所以正方体中上、下、前、后四个面所在平面与EF相交(左、右两个面所在平面与EF平行)，即n＝4.由CE在正方体的下底面所在平面内，知CE与上底面所在平面平行，故正方体中前、后、左、右四个面所在平面与CE相交，即m＝4.所以m＋n＝8.68.（2013·广东高考理）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.eq\f(14,3)C.eq\f(16,3)D．6【解析】选B本题考查三视图及几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力及运算能力．由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).69.（2013·广东高考理）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】选D本题考查空间线与面的平行、垂直的位置关系，考查考生空间想象能力及符号语言识别能力．A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．70.（2013·山东高考理）已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)【解析】选B本题考查三棱柱的体积计算、线面角的求解等基础知识和基本方法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查方程思想．设三棱柱的高为h，则eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×h＝eq\f(9,4)，解得h＝eq\r(3).设三棱柱的底面ABC的中心为Q，则PQ＝eq\r(3)，AQ＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ即为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝eq\r(3)，所以∠PAQ＝eq\f(π,3).71.（2013·大纲卷高考理）已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)【解析】选A本题考查线面角的三角函数值的求解，利用空间向量可简化计算．建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故DB→＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)，DC→＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·DB→＝0，,n·DC1→＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC→〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·DC→,|n|·|DC→|)))＝eq\f(2,3)，故选A.72.（2013·湖北高考理）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【解析】选C本题考查三视图以及几何体的体积计算问题，意在考查考生空间想象能力和运算求解能力．由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝eq\f(1,3)π×(12＋22＋1×2)×1＝eq\f(7,3)π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝eq\f(1,3)×(22＋2×4＋42)×1＝eq\f(28,3)，比较大小可知答案选C.73.（2013·四川高考理）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以()【解析】选D本题考查简单组合几何体的三视图，意在考查考生的空间想象能力，同时考查考生排除法的思维方法．由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.74.（2013·北京高考文）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有()A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】选B本题主要考查空间几何体及三角形中的边角关系，意在考查考生的空间想象能力和空间构造能力．解决本题的关键是构造直角三角形．在Rt△D1DB中，点P到点D1，D，B的距离均不相等，在Rt△D1CB中，点P到点C的距离与点P到点D1，D，B的距离均不相等，在Rt△D1A1B中，点P到点A1的距离与点P到点D的距离相等，在Rt△D1C1B中，点P到点C1的距离与点P到点D的距离相等，在Rt△D1B1B中，点P到点A的距离与点P到点C的距离相等，在Rt△D1AB中，点P到点A的距离与点P到点C的距离相等，故选B.75.（2013·重庆高考文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240【解析】选D本题主要考查三视图与棱柱的表面积．几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为eq\f(1,2)×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.76.（2013·山东高考文）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8,8【解析】选B本题主要考查三视图的应用，考查空间想象能力和运算能力．由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S侧＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).77.（2013·大纲卷高考文）已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)【解析】选A本题主要考查空间直线、平面间的垂直的判定与性质的应用，直线与平面所成角的求法．如图，连接AC与BD交于点O，连接OC1，过C作CE⊥OC1，垂足为E，连接DE，则∠CDE就是CD与平面BDC1所成的角，设AB＝1，则AA1＝CC1＝2，OC＝eq\f(\r(2),2)，OC1＝eq\f(3\r(2),2)，因为eq\f(1,2)OC1·CE＝eq\f(1,2)OC·CC1，所以CE＝eq\f(2,3)，所以sin∠CDE＝eq\f(CE,CD)＝eq\f(2,3).78.（2013·新课标Ⅱ高考文）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【解析】选A本题主要考查空间直角坐标系、三视图等知识，意在考查考生的空间想象能力．在空间直角坐标系中作出几何体的直观图，如图所示，结合“正投影”的性质可知以zOx平面为投影面的正视图为A项．79.（2013·湖南高考文）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)【解析】选D本题主要考查三视图与图形面积的计算，意在考查考生处理问题的能力．由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为eq\r(2)，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为eq\r(2).80.（2013·浙江高考文）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解析】选C本题主要考查空间直线与平面平行和垂直的判定定理和性质定理等基础知识，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力，以及利用相关定理解决问题的能力．逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内．81.（2013·浙江高考文）已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【解析】选B本题主要考查考生对三视图与几何体的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V＝6×6×3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×3＝100cm3.82.（2013·新课标Ⅰ高考文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【解析】选A本题主要考查三视图、简单组合体的体积．该几何体是个组合体，其下面是半个圆柱，上面是个长方体．该几何体的体积为V＝eq\f(1,2)×π×22×4＋4×2×2＝16＋8π.83.（2013·江西高考文）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π【解析】选A本题主要考查三视图与空间几何体体积的计算，考查考生的观察能力、空间想象能力及运算求解能力．这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为eq\f(6,2)＝3，母线长为2，故V＝10×4×5＋eq\f(1,2)π×32×2＝200＋9π.84.（2013·四川高考文）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【解析】选D本题主要考查简单几何体的三视图，意在考查考生数形结合的能力．由俯视图可排除A，B，由正视图可排除C，选D.85.（2013·广东高考文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1【解析】选B本题主要考查三视图和体积知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的空间想象能力．根据三视图，该几何体是三棱锥，V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2＝eq\f(1,3).86.（2013·广东高考文）设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选B本题主要考查线面关系知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力．画出一个长方体ABCD­A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.87.（2013·辽宁高考文）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)【解析】选C本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).88.（2012·重庆高考理）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，eq\r(2))B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2))D．(1，eq\r(3))【解析】选A此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于eq\r(2).89.（2012·广东高考理）某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．12πB．45πC．57πD．81π【解析】选C由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V＝π×32×5＋eq\f(1,3)×π×32×eq\r(52－32)＝57π.90.（2012·江西高考理）如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图像大致为()【解析】选A(1)当0<x<eq\f(1,2)时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，∵SC与该截面垂直，∴SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan60°＝eq\r(3)x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝eq\r(2)AH＝2eq\r(2)x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋eq\f(1,2)FI×eq\r(EF2－\f(1,2)FI2)＝2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝eq\f(1,3)(2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2)×CE＋2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×(1－2x)×eq\f(\r(2),2)(1－2x)＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)，其图像不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当eq\f(1,2)≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan60°＝eq\r(3)(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin45°＝eq\f(\r(2),2)(1－x)，∴V(x)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CG·CF·h＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3，∴V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2，又显然V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2在区间(eq\f(1,2)，1)上单调递增，V′(x)<0(x∈(eq\f(1,2)，1))，∴函数V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3在区间(eq\f(1,2)，1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.91.（2012·四川高考理）下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】选C对于A，这两条直线可能平行、相交或异面，因此选项A不正确；对于B，当这三个点不同在平面的一侧时，这两个平面相交，因此选项B不正确；对于D，同时垂直于一个平面的两平面可能相交或平行，因此选项D不正确；故C正确．92.（2012·四川高考理）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则A、P两点间的球面距离为()A．Rarccoseq\f(\r(2),4)B.eq\f(πR,4)C．Rarccoseq\f(\r(3),3)D.eq\f(πR,3)【解析】选A如图，连接BP、AP、AB，因为∠BOP＝60°，根据平面BDC与α成45°，又由题意知平面AOB与平面BOC垂直，所以有cos∠AOP＝cos∠AOB·cos∠BOP＝cos60°cos45°＝eq\f(\r(2),4)，所以∠AOP＝arccoseq\f(\r(2),4)，所以A、P的球面距离为Rarccoseq\f(\r(2),4).93.（2012·陕西高考理）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)【解析】选A设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量AB1→＝(－2,2,1)，BC1→＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1→，BC1→〉＝eq\f(－2×0＋2×2＋1×－1,\r(0＋4＋1)·\r(4＋4＋1))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).94.（2012·湖南高考理）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()【解析】选D对于选项A，两个圆柱符合要求；对于选项B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项C，一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱组合体的符合要求；选项D如果可能的话，则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长是三棱柱底面三角形的高，故只有选项D中的不可能．95.（2012·大纲卷高考理）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2eq\r(2)，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1【解析】选D连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，又CC1＝2eq\r(2)，所以OH＝eq\r(2)sin45°＝1.96.（2012·北京高考理）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)【解析】选B该三棱锥的直观图，如图所示，其中侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.故S△PAC＝eq\f(1,2)×5×4＝10；S△ABC＝eq\f(1,2)×5×4＝10；PC＝5，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×4×5＝10；由于PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝eq\r(16＋25)＝eq\r(41)，而AB＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)，故△BAP为等腰三角形，取底边AP的中点E，连接BE，则BE⊥PA，又AE＝eq\f(1,2)PA＝eq\r(5)，所以BE＝eq\r(41－5)＝6，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋6eq\r(5)＝30＋6eq\r(5).97.（2012·湖北高考理）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3)D．6π【解析】选B由三视图可知该几何体的体积V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.98.（2012·湖北高考理）我国古代数学名著《九章算术》中“开