【创新设计】高中数学人教版选修22配套练习：1.3.2函数极值与导数(含答案解析)

函数的极值与导数明目标、知要点1．认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵巧应用．2．掌握函数极值的判断及求法．3．掌握函数在某一点获得极值的条件．1．极值点与极值极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a邻近其余点的函数值都小，f′(a)＝0；并且在点x＝a邻近的左边f′(x)＜0，右边f′(x)0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b邻近其余点的函数值都大，f′(b)＝0；并且在点x＝b的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时：0假如在x0邻近的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)假如在x0邻近的左边f′(x)＜0，右边f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．[情境导学

]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．邻近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，

但函数在定义域内某一点怎样利用导数的知识来判断函数在某点邻近函数值的大小问题？又怎样求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．研究点一函数的极值与导数的关系思虑1如图察看，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点邻近的函数值有什么关系？

y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点邻近，

y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d邻近其余点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的邻近的左边f′(x)<0，右边f′(x)＞0.近似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e邻近其余点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e邻近的左侧f′(x)>0，右边f′(x)<0.结论思虑1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思虑2函数的极大值必定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是独一的吗？答函数的极大值与极小值并没有确立的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值能够不只一个．思虑3若某点处的导数值为零，那么，此点必定是极值点吗？举例说明．答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不必定是极值点．可导函数f(x)在x0处获得极值的充要条件是f′(x且在x0双侧f′(x)的符号不一样．0)＝0比如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处知足f′(0)＝0，但因为当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．思虑4函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象以下图，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．答案1分析由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单一递加，在(x1，x2)内单一递减，在(x2，x3)内单一递加，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.故填1.例1求函数f(x)＝1x3－4x＋4的极值．3解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)>0，得x<－2或x>2；由f′(x)<0，得－2<x<2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2843－3由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝28；3当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.反省与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确立函数的定义区间，求导数f′(x)；求方程f′(x)＝0的根；用函数的导数为0的点，按序将函数的定义区间分红若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右双侧的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．3追踪训练1求函数f(x)＝x＋3lnx的极值．解函数f(x)＝3＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，x333(x－1)f′(x)＝－x2＋x＝x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)3所以，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.研究点二利用函数极值确立参数的值思虑已知函数的极值，怎样确立函数分析式中的参数？答解这种问题，往常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来成立对于参数的方程，进而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零不过函数在该点处获得极值的必需条件，所以一定对求出的参数值进行查验，看能否切合函数获得极值的条件．例

2

已知

f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在

x＝－1时有极值

0，求常数

a，b的值．解因为

f(x)在

x＝－1时有极值

0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，f(′－1)＝0，3－6a＋b＝0，所以即f(－1)＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.a＝1，a＝2，解之得或b＝3b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时获得极小值，所以a＝2，b＝9.反省与感悟(1)利用函数的极值确立参数的值，常依据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，一定考证根的合理性．追踪训练2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．试确立常数a和b的值；判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点仍是极小值点，并说明原因．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，f′(x)＝a＋2bx＋1.x由极值点的必需条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，a＋2b＋1＝0且a＋4b＋1＝0，21解方程组得，a＝－3，b＝－6.12由(1)可知f(x)＝－3lnx－6x＋x，且函数f(x)＝－2lnx－1x2＋x的定义域是(0，＋∞)，36f′(x)＝－2－11(x－1)(x－2).x－x＋1＝－3x33当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．研究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单一区间和极值；(2)若对于x的方程f(x)＝a有三个不一样的实根，务实数a的取值范围．解(1)f′＝(x)3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以，f(x)的单一递加区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单一递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.由(1)的剖析知y＝f(x)的图象的大概形状及走向以下图．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不一样的交点，即方程f(x)＝a有三个不一样的实根．反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数，是一种很有效的方法．它经过函数的变化状况，运用数形联合思想来确立函数图象与断方程根的个数．

x轴的交点个数，进而判3追踪训练3若函数f(x)＝2x－6x＋k

在

R上只有一个零点，求常数

k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是单一减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单一增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只要4＋k<0或－4＋k>0(以下图)或即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点获得极值”的( )A．充分不用要条件C．充要条件

B．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件答案

B分析

对于

f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不可以推出

f(x)在

x＝0处取极值，反之成立．应选

B.2.函数

f(x)的定义域为

R，导函数

f′(x)的图象以下图，则函数

f(x)(

)．无极大值点，有四个极小值点．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点．有四个极大值点，无极小值点答案C分析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )A．－1<a<2B．－3<a<6C．a<－1或a>2D．a<－3或a>6答案D分析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．答案(－∞，－1)分析y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．答案－2<a<2分析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0能够获得x＝1或x＝－1，∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.[呈要点、现规律]1．在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处获得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0双侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、基础过关1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内获得极小值的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案A分析当知足f′(x)＝0的点，左边f′(x)<0，右边f′(x)>0时，该点为极小值点，察看题图，只有一个极小值点．2．以下对于函数的极值的说法正确的选项是( )A．导数值为0的点必定是函数的极值点．函数的极小值必定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单一函数答案D分析由极值的观点可知只有D正确．3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2B．3C．6D．9答案D分析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案C分析由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x<－1或x>3时，y′>0，当－1<x<3时，y′<0故.当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．5．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0答案C分析∵f(x)在x＝1处存在极小值，x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．1<a<2B．1<a<4C．2<a<4D．a>4或a<1答案B分析y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单一函数，不合题意，舍去；当a>0时，y′＝3x2－3a＝0?x＝±a，不难剖析，当1<a<2，即1<a<4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．二、能力提高x2＋aa＝________.在x＝1处获得极值，则7．若函数f(x)＝x＋1答案3x2＋a分析∵f′(x)＝x＋1′(x2＋a)′(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)′＝(x＋1)22x＋2x－a＝2，又∵函数f(x)在x＝1处取极值，f′(1)＝0.1＋2×1－a＝0，a＝3.考证知a＝3切合题意．8．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论必定正确的选项是( )A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案D分析A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象对于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象对于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)分析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.10．求以下函数的极值：x3－2(1)f(x)＝2(x－1)2；2－x(2)f(x)＝xe.解(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．2(x－2)(x＋1)∵f′(x)＝2(x－1)3，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－＋0＋3单一递减单一递加f(x)3－8故当x＝－1时，函数有极大值，3并且极大值为f(－1)＝－，无极小值．函数的定义域为R，－x21f′(x)＝2xe＋x·ex′2－x2xe－xex(2－x)e－x，－令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)0－24e由上表能够看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为－2f(2)＝4e.11．已知f(x)＝x3＋1mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－5，求m的值．22解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，2令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝3m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－m)－mf′(x)＋0f(x)极大值f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋1m3＋2m3－42＝－5，2m＝1.

－m，2223m3m3m，＋∞－0＋极小值12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f′＝(x)3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1.3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)333f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值所以

f(x)的极大值是

f(－1)＝5＋a，327极小值是

f(1)＝a－1.函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，

x取足够大的正数时，有

f(x)>0，x取足够小的负数时，有