微积分学习总结

习总结Documentnumber：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT§内容网络图区间定义域 不等定义 集合对应法则法表达方法 图象法初等函数解析法非初等函数单调函数的特性 奇偶性函数 有界性定义反函数重要的函数 存在性定复合函数符号函数：sgnx

0,1,

xxx0.几个具体重要的函数 取整函数：fx[x]，其中[x]表示不超过 x的最大整数.§内容提要与释疑解难

0,

x,x一、函数的概念定义:设 、B个数，个则f，对A中个数 x，在B中都有唯一确定的实数 y与x对应，则称对应法则f是A上的函数，记为f:xy f:AB.yx对应值记为

yf

A.其中 x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数 f的定义域，记为（f），f()f(x)x,称为函数的值域，R（），Oxy下，集合(x,y)

yf(x),

称为y=f(x图形。是微积分基本一概念因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。1、由确因素是域、对应法则及值域而值域被域和对应法则完全确故确两素为域和对应法则。从而在判断两是否为同一时只看这两域和对应法则是否相同至于自变量、因变量用什么字母用什么记都是无关紧要的。2、与达式区别达式指是解析式子是主形式而除了用达式来还可以用格法、图象法等形式来把与达式等同起来。二、反函数定义 设

xD，若对 R(f)中每一个 y，都有唯一确定且满足 y

xD与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在 （f）上的函数，称这个函数为 f的反函数，记作f1:Rf

Dx

f1

yRf由于习惯上用 x表示自变量，y表示因变量，所以常把上述函数改写成 y

f1

xRf1、、可知域是原来值域值域是原来2、函数 y=f(x)与 x=f-1(y)的图象相同，这因为满足 y=f(x)点（x,y）的集合与满足 x=f-1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数 y=f(x)与 y=f-1(x)图象关于直线y对称。

3若 yx的反函数是x=f1y，则 y

f1(y),

xf1f x.4、定理1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。定义

yfuE,

xD，若D(f)，则 y过u成 x的函数，称为由 yu

ux复合而成的函数，简称为复合函数，记作 y

f((x))。复合函数的定义域为xx()E，其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，x称为内函数，u)称为外函数。1、在实际判断两个函数 y

f(u),

函数，

yf的定义为，若为，则能成函数，则能函数。2在函数，函数，函数，如 y=f(x),y=g(x),若 y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。则复合函数 y

f，若 y

作为外函数， y

fx作为内函数，则复合函数为 y=g(f(x))。3、我们要学会分析复合复合结构既要会几复合复合又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四初等函数、幂、指、对、三角、反三角统称为基本初等。大家一定要记住基本初等的定义域，域，会画它们的图象，并且要知道这些些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点与坐标轴的交点是什么以后我们由基本初等经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的统称为初等。不是初等函数称为非初等函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如2fx,x0x2

y

u, u

x2复合而成。x, x0五具有某些特性的函数奇（偶）D是关于原点对称的数集，y=f(xD函数，若对每一个x

x

fxf

fx

f

y=f(xD上的奇（偶）函数。（1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。（2）f(x为奇函数f(0)=0f(-0)=-f(0)f(0)=-f(0)f(0)=0.2．周期函数定义设y=f(x)为定义在D上的函数，若存在某个非零常数 T，使得对一切x

D，都有f(x+T)=f(xy=f(x为周期函数，Ty=f(x的一个周期。显然，若T是f(x)的周期，则kTZ也是f（x）的周期，若周期函数 f(x)的所有正周期中存f(x的基本周期，一般地，的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期f(xc（c为），因为对任意的实常数 T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数 f(x)=c没有最小正周期。如果 f(x为周期函数，且周期为 ，任给xD，有 f(x)=f(x+kT，知

kTD

Z。所以D是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。 单调函数 定义设 y=f(x)为定义在 D上的函数，若对 D中任意两个数 x1,x2且 x1<x2,总有f1

f2

fx1

fx ，2则称 y=f(x)为 D上的递增（递减）函数，特别地，若总成立严格不等式f1

f2

f1

fx ，2则称 y=f(x)为 D上严格递增（递减）函数。递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数。如果一个函数在其定义域内，对应于不同的x范围有着不同的表达形式，则称该函数为分段函数。注意分段函数不是由几个函数组成的，而是一个函数，我们经常构造分段函数来举反例，常见的分段函数有符号函数、狄里克雷函数、取整函数。有界函数与无界函数定义 设 yx为定义在 D上的函数，若存在常数 ≤M，对一个x

，都有则称 f(x)为 D上的有界函数，此时，称 N为 f(x)在 D上的一个下界，称M为 f(x)在 D上的一个上界。由定义可知上、下界有无数个，我们也可写成如下的等价定义，使用更加方便。定义 设 y=f(x)为定义在 D上的函数，若存在常数 M>0，使得对每一个xD，都有则 f(x)为 D上的有界函数。几何意义，若 f(x)为 D上的有界函数，则 f(x)的图象完全落在直线y=-M与 y间。注意：直线 y=-M，y=M不一定与曲线相切定定yx定D，一MM，x D使0

f0

，则称f(x)为D上的无界函数。函数的延拓与分解有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题这里我们从函数的特性出发开拓由已知产生新的函数的方法。y

fx,x,a，[-a,a]F(x，它是偶函数，[0,a]，使f xx)，Fxf

x0,a,xF（x）f(x的偶延拓f(x的奇延拓，（x）a,a]，且在,a，（x）x)，fxaFx

x0fxa,0

这样，f(x只要，F（x）就可以了。同样，y=f(x),xa,b，可以构造一个以ba）（x），在（ Fxf

xba,b）上，（x）=f(x，则有

fxnzf(x的周期延招，f(xF（x）就可以了。此外义在区间（-a,a）上的任何f(x都可以表示成个奇函数个偶函数和事实上fx

f

fx

f

fx2 2 设fxf

x

x

fx

x

x,1 2 2 2由奇偶函数的义知

(x

(x是偶函数

fx

fx1

f2

(x，

(x是唯存在

fx

gx1

gx,2其中g1(x)是奇函数，g2(x)是偶函数，于是fx

xg

x,

fxg

xg

xg

xg

x,1 2

2

1 2解得g

xf

xfx

fx，

gxf

xfx

f1 2 1 2 2 2§解题基本方法与技巧一、求函数定义域的方法若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集（1）分式的分母不能为零； （2）偶次根号下应大于或等于零；（3）对数式的真数应大于零且?底数大于零不为 1； （4）arcx1；

x或 csx，其（5）

nx，其

x2

k其2

xk

,k（6）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集；（7）分段函数的定义域是各段定义域的并集。涉及到际问题除了还当确保际自变量取值全体组成的集合。对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。1求下列函数的定义域：3x3xx3（

y ； （

yarcsin

1x解（1）要使函数式子有意义，3xx30。 33化简有33

xx x

0,33 33即 x xx 0.33 33解之，得定义域为

x0, 。（2）使函数式子有意义，2x1x1，即2x1x

2x1

1，化简有12

21

1，

3

2111

1，3不等式各边除以（2）有， 23

11

2，2各边取倒数得， 3

1

213

1。例 2不清设

f1

x1x

，求 f(x)的定义域。解 要使函数式子有意义，必须满足1 1

x1 x

即 x2x20

xR且

。注意：如果把1

x1x

化简为

xx

1

，那么函数的定义域为x

1的一切实数，因此，求函数的定义变形式时需特别小心，避免出错。例 3已知

f

ex2,

f

1x

x

0

并写出它的定义域。解 由ex

1

n1x，由

x0，得1

1，即 x≤0，所以

x

x0。例 4设 fx的定义域为[0，1]，试求fxafxa的定义域（a0）。解 要使 f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足0x

a

ax1a,0x

a

ax1.当0a

时，由a1aax121

1a。当

时，由 a1—a，知定义域121不存在。、求函数值域的方法由定义域 x的范围，利用不等式求出 f(x)的范围；若 yfx有反函数 xf1y，求出反函数的定义域就是函数的值域；1x利用一元二次方程的判别式求函数的值域例 5求下列函数值1x1x1x

yx

； （

yx

13； （

yx2x2

2x11x

11。解（1）令

t,

x1

，于是

x

1

tt1

55。2 2 2 4 42

1，即x

3时，

5。故函数

x

的值域是,5。2 4 4x1

13y

11xx1

4（2）由

x

(x+3)yx1x

y1

yx3

的反函数，而x13

的定义域是

1，故函数值域是。y1（3）由原函数式变形，得

y2

1x

2x

1，即

10。当 y-1=0，即 y时，x=0；当

1

y1 ， y224y120，即0y4y1。[04]。、判断两函数是否为同一函数的方法例 6判断下列各组函数是否为同一函数：（1）（

yx

； （ii）s

,1cos2t1cos2t

y x1； （ii） y 1 。1cos2tx21cos2t2t解（1）由 yx的定义域是[0，2t

s [0π]。知两11cos2t

t

知两函数对应法则相同，故（i）（ii）数。（2）由 y

x1的定义域是x1的全体实数， y 1 的定义域是

1的全体实数，知两x21 x1函数定义域不同，尽管当x是同一个函数。、求反函数方法

1时，

x1x21

1x

，知两函数对应法则相同，但（i）（ii）不步骤：1.从 yx中解出 xf1y).改写成 y=f--1(x),则 y—1(x是 x—1y的函数.7求下列函数的反函数:1x2(1)y 1x23x 1x23x3x 1x23x 1x2

0；（2） y ；（3） yx2x1x22x,x1x21y2,解（1y2,

y，知反函数y

， x

0,1。3x 1x233x 1x23x 1x2两边立方得33x 1x2x 1x22x1x2 32x33x1x33x1x2x3y,

(x1(x1x2)x1x22

1x2即y解之

12

y3。1 所以反

2

x3,x y,y,

x,x,（3）由

x y

反

y x

16,og y,2

og x,x2

16.五、求复合函数的方法。代入法某自变量用另表达式来替代这种构复合方称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。分析法根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。例8

fx

x f11x2

x

f f f x f f f x n次1x1x21f211x2x21x212x2解 f

ffx

fx

x ，2 1

f2xfx3

fff

ffx2

fx2121f x22

x11112x2x212x213x2猜想 fn

x x 。1nx2时论已成立1nx2

fxk

x1k

成立，时，f

f

x1kx2x1kx2xkk1

1 x21k2时论成立

fxn

x 。1nx2例9

fx,x,x

ff。x

f

ff

f1，x

f

ff

f1。故f(f(x))=1。例10

fex,x,

xx,x

fx。解由f

x,xe

x1,x

x2

x（1）当x1时或x0,

2

x0,x

x1。或x0,

x

1

x0,

, 0x 2.2x22 2x2（2）当x1时或x0,

2

x0,x

1

0。或x0,

xx

1

x0,x 2 xx

, x

得2、判断奇偶函数的方法2偶函数 f(x的图象关于 y轴对称；奇函数 f(x)的图象关于原点对称。奇偶函数的运算性质奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。一奇一偶的乘积为奇函数两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。用定义.若 xx0，则 f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。例 11判断下列函数的奇偶性：33x23x2

1x（

f x

； （

f x n ；1x（

f

1 13 1x23 13 1x23 1x23 1x2

（a>0,a≠1常数）解（1）

fx

1x2

fx，fx为偶函数（2）

f

fx

11

1x1x11x11

11

11

1知 f(x)为奇函数。（3）由

fx

1 1ax1 2

1 11 1 2ax

ax 11ax 2

a1ax

112ax

1a1ax

12

11a

12

1 1ax1 2

fx，知 fx为奇函数、周期函数的判断与周期的求法周期函数周期的求法a（1）若 T为 f(x)的周期，则 ax+b的周期为 a

a0（2）若 fx的周期为 T1，gx的周期为 ，则 1fx2gx的周期为 T1，2的最小公倍数。周期函数的判断方法。（1）用定义。（2）用周期函数的运算性质。常见函数的周期：sinx,cosx,其周期 例12求下列函数周期

x,cotx,x,cosx,其周期 T=π。（1）

f2tanx2

3

x； （3

f

xcos

x；（

f

xx。解（1）由

x的周期T2 1

12

tan

x的周期T3 2

313

。故f(x)的周期性期为 6π。 （2）由 f x n2xcos2x22n

xcos2x2112x22

11cos4x4

31cos4xf(x)4 4

24

1。2（3）

xnr

，T为任意整数,由fT

f

rn

r

rn

r

nrr

f知任意整数均为其周期，则最小周期T=1。例 13若函数

f

的图形关于两条直线 xa和 xb对称（a），则 f(x)为周期函数。证 由条件函数的对称性知fxfx

fax， （1）fbx， （2）故函数在a,b中点(a+b)/2处的值等于点 aba/2

bba处的函数值2从而猜想如果 f(x)为周期函数，则周期应为

bbaabaa。 2 2 2事实上

f

f

b

f

b

f2ax所以 f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数。、单调函数的判断方法利用单调函数的性质。（1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。例 14设x及f(x)为递增函数证明：若x

f

（1）则

ff

x

（2）证 设x0为三个函数公共域内的任一点，则

x 0

f0 0由（1）以及函数 fx的递增性知

f0

ffx ，0

0

f0从而

0

ff0同理可证

ff。0 0由 x0的任意性知，于是（2）式成立。九、函数有界性的判断判断函数是否有界，经常用定义。例 15判断下列函数是否有界：（

f

x1x2

； （

f

1,x2

0,1。解（1）由 fx的定义域是 。当x0

,f

x1x2xx1x2x

，当x0x2x1x2x1

,f00,

f01，2知xR,

f

1，所以 f(x)为有界函数。M111M111M1（

M0,x 0

1

fx0

MM1M.由无界函数的定义知f(在（0，1）上无界。§内容网络图limxxx

f(x)Af(x)A 0limxxlimx

f(x)f(x)夹逼定理判断函数极限存在准则单调有界定理函数极限与连续

单侧极限与双侧极限函数极限与数列极限——归结原则。关系定理 函数极限与无穷小无穷大与无穷小无穷小的阶——高阶、同阶、等价。闭区间上连续函数的性质

最大（小）值定零值点定理（根的存在介值定理函数连续定义mxx0

f(x)

f(x

m y00 x0可去间断点第一类间断点 跳跃间断点间断点分类第二类间断点§内容提要与释疑解难一、函数极限的概念mx

f(x)

A一个常数

0,X,

f(x)A

。mx

f(x)

A:把 1中“x

X”。mx

f(x)

A:把 1中“x

”换成“x

X”。定理 mx

f(x)

Amx

f(xA

mx

f(x)A.mxx0

f(x)

A

f(x

x 的某空心邻域内 0

0

有定义，若存在一个常数 ，0

0,0

x 0

，都有

f(x)A

。mxx0

f(x)A:

f(x

x 的某左半邻域 0

U(x

)内有定义，若存在一个常数 ，0000,

0,

xx 0时，都有 0

f(x)A

。此时也可用记号

f(x0

0

f(x)表示左极限值 ，因此可写成 0mxx0

f(x)

f(x0

0m xx0

f(x)

f(x )00mxx0

f(x)

A

f(x

x 的某右半邻域 0

U(x

)内有定义，若存在一个常数0

0，当 0

x 8时，都有 0

f(x)A

f(x0

0或

f(x)表示右 0极限 A因此可写成

m0xx0

f

fx0

0m

f(x)

f x 。 xx0定理 mxx0

f

Amxx0

fA

mxx0

fxA.该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在 x0的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。mxx0

f(x):

0,0

xx0

时，都有

f(x)M

。此时称

xx时，0f(x是无穷大量。而mxx0

f(x，只要把公式中“

f(x)M

”改成“

f(x)M

mxx0

f(x，只要把上式中“f(x)

”改成“

f(x)M”。mx

f(x):

0

xX时，都有

f(x)M。读者同理可给出

mx

(f(x(定义。注： mxx0

f(x)

A（常数）与

mxx0

f(x)的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极 限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。mxx0

f(x0

f(x

xx0

是无穷小量这里的

x可以是常数，也可以是0,。定理 mxx0

f(x)

)

f(x)

A(x)。其中 mxx0

(x)0。

0,

,x0(xx

,时，都有

f(xM，称

f(x)x

x时是有界量。0设 mxx0

f(),mxx0

g(x)0，（这里

x可以是常数，也可以是0

，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若

mxx0

f(x)g(x)

0，称

f(x

xx时是0

g(x)的高阶无穷小量，记作 f(x)

f(x)(g(x))(x

x).。0（2）若

mxx0

g(x)

c(常数0，称

f(x)x

x时是g(x的同价无穷小量。0（3）若0

f

1，称

f

x时是0

的等价无穷小量，记作

f

x，0此时（2）式也可记作

f

x。0（4）若m

f(x)

c()0(k

，称

f

x时是x的 k无穷小量。xx0

xk 0 00等价无穷量的作，此，若0

f

1记作

f~g

x)，0f均为f均大为大量；如果f(x),g(x)既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如xx0

f

0，

f~A(x

x。0：A，若 A=0， f()不可能和0等价。无穷小量的性质：

1

(x),,m

x无穷小量，则0（

cc

(x)0.x 1 1 2 2 m m0cc1

,cm

均为常数。（

0

1

(x)m

(x)0。

f

x时是量，0

x0

，xx0

f(x)(x)0。无穷量的无穷量是无穷量。则无穷是无穷量。无穷小量无穷则若

f

1 0；xx0

xx0

f(x)若

f(x)0,

0,

0(

,f(x)

1 。则xx则0

0 xx0

f(x)1

xx0

f(x)

f(x

),f(x)0

x 0用语言可写为定义设

f(x)x 0

U(x 0

0,

x 0

时，都有f(x)

f(x )0

f(x)

x0

y

x0

0

f(x)x

x 0若 xx0若 xx0

f(x)f(x)

f(xf(x

,0),0

(x)(x)

x 0x 0理f(x)x 续0

f(x)x 0果 f(x)

x 0

xx 0

f(x)的间断点。间断点的分类：

xx0

f(x)

),但f(x

x0

xf(x0若x

x 0

f(x

f(x)

x0

使

f(x

xx 0数 F(x)使F(x)

xx 0

xx 0

F(x)

f(x

f(x)x

x 0也具有这种性质，从而达到了我们的目的。如 f(x)

sinxx

,x

f(x)

x

sinxx

1，

nx,

0,f(x)

,知f(x)

,

F(x)

xx

0.F

x0F

f

nx,

0,虽然F(x与f(x

，又如

f(x

,

x0.sinx

nx,

0,x

f(x)x0 x

1

f(0)知

f(x)

。设 F(x) x,

x0.F(x

x0F(x

f(x

0处，两个函数值不同，知F(x与

f(x

0不同，其余点函数值处处相同。（2）若 xx0

f(x)

f(x0

0).xx0

f(x)

f(x0

0

f(x0

0)

f(x0

0，称

xx 0

f(x)的跳跃间断点，称

f(x0

f(x0f(x的跳跃度。（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。（3）若

x 处，左、右极限至少有一个不存在，我们称0

xx为f(x)的第二类间断点。0若xx

f(x)

，我们也称

xx 为0

f(x型间断点，类间断点。0在种类型的函数极限：（

x

f(x

（

x

f(x

（

x

f(x

（

xx0

f(x)（

xx0

f(x

（

xx0

f(x)与数极限相类的一，我们以只要作适当修改就可以了。

xx0

f(x，其类型极限的相1（一）若极限

xx0

f(x存在，则一个极限。0 02（）若极限内有界。

xx0

f(x存在，则存在

x 域0

U(x

)0

f(x

U(x )0

xx0

f(x存在，

f(x

x 0

f(x在其定义域。性质 3

xx0

f(x)

xx0

g(x)

B,A

B，则存在

x的某空心邻域0

U(x,00 0

，使0xU(x,00 0

时，都有

f(x)

g(x)。性质 4（局部保号性）

xx0

f(x)

A0，则对任何常数

0

A0，存x的某空心邻域0

U(x000

，使得对一切

xU(x000

，都有

f(xf(x0成立。性质 5（不等式）若

xx0

f(x)A,

xx0

g(x)

，且存在

x的某空心邻域0

U(x,00 0

，使得对0一切 xU(x,00 0

)，都有

f(x)

g(x),AB。性质 6（复合函数的极限）若

xx0

(x)u,0

uu0

f(u)A

，且存在

x的某空心邻域00U(x00

,，当

xU(x000

,时，(xu0

，则 xx0

f[(x)]uu0

f(u)A 。性质 6是求极限的一个重要方法法，即f((x))(xuxx uu

f(u)A 。0 xx,(x)u 00 0性质 7（函数极限的则）若

xx0

f(x)与xx0

g(x)

存在，则函数f(x)g

f(xg(xcf(x)(c为常数)在x

x时极限均存在且0（

limf(x)g(x)xx0

xx0

f(x)

xx0

g()；（

limf(x)g(x)xx0f

xx0

f(x)xx0

g(x)；（

xx0

(x)Cxx0

f(x

xx0

g(x0,在xxgx 0

时的极限存在，且有（

xx0

f(x)g(x)

0xx0xx0

f(x)。g(x)极限的重要。的式。性质 8（则（ ）

xx0

f(x存在的要是：limxn

x0

xn极限0

f(xn

都存在且等。若存在个数xx

,limx=x,且

f(x)

f(x)

B,ABn n n n

0 n n

n

n n存在 n

xn

x,lim0n

f(xn

不存在，则

nx0

f(x0

不存在。此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。、函数连续的性质若函数

f(x)x

x处连续，即0

mxx0

f(x)

f(x0

极限的1-5可得到函数在xx00连续局部有界性，局部保号性，等式等，只把U(x00

U(x0

)即可，读者自己叙述出来。极限的函数的

f(xg(x)x

x0f(x)g(x),

f(x)g(x),cf(x)(c为常数)

f(x)(g(x

0)x

x。g(x) 0 02若

(x)x0

,y

f(u)u0

(x0

yf((x))x

x0mxx0

f((x))

f((x0

))

f(mxx0

(x))在质2的极限函数 f要mxx0

(x)u0

,y

f(u)

u,0

mxx0

f((x))

f(mxx0

(x))。(x),x证设g(x)

xg(x)x

处连续，又y

f(u)u

g(x)0u,xx, 0 o 000 0处连续，由性质2mxxo

f(g(x))

f(mxxo

g(x))。x

x,要求x0

x有g(x)(x0

mxxo

f((x))

f(mxxo

(x))。一个函数2函数极限的一个重要方法。极限函数 f函数极限函数极限。定理 函数在定六、闭区间上连续函数的性质定理 定理

f(xb

f(x在b一定存在

x,x1

f(x)M,1

f(x2

m

xa,b，都有mf(x)M。推论 1

f(x)上连续，则

f(x)上有界。定理（根的存在定理或零值点定理）若函数

f(x)上连续，

f(af(b0，则至少存在一点

af()0。推论 1若函数

f(x)上连续，且

f(a)

f(b),c为介于f(a),

f(b之间的任何常数，则至少存在一点

af()c。推论 2若函数

f(x)上连续，则

值域R(f)m,M。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。

sinx

1.

1x)x

e.x0

xx)

x01x)

1x)x

1x)x

e1.x0 ex1

x0

x0t 1

x0x0

设exx

1tt0

t)

t

t)t

1.

ax1

ex

1

a(a

1为常数).x0 x

x

xlna6

x)b

1

ebx

1xbb(b为常数b0.x0 x

x

bx) xx0

arcsinxx

设arcsinx

tt

tsint

t

1sint

1.x0

arctanxx

设x

t

tt

t

tsint

cost

111.

0(k

0常数).x xk

xk0(aax

1常数,k为常数).若

xx0

u(x)axx0

v(x)b(a,b均为常数),则xx0

u(x)V(

xx0

eV(x)u(

exe

V(x)u(

=x=

V(x)limx

u(

eb

elnab

ab即 xx0

u(x)v(x)

ab。即的 x成f(x)，x

xo

f(x)0，结论依然成立。利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当x0，sinx~ ~ ex

1~ ax1

xlna(a

0,a1,常数).1x)b1~0,),arcsinx~

arctanx

cosx

x2.2注：上式中的x可换成

f(xx

x时，0

f(x)0.结论依然成立。例如sin

f(x)

f(x)(若x

x0

f(x)0)。

xx0

f(x)

常数)

f(x)

A(x

x).0§ 解题基本方法与技巧等价量替换定理，若（1）

f(x)

f(x),g(x)~1

g(x),h(x)1

h1

x)；0

f (x)g1

(x)

f(x)g(x)

f (x)g1

(x)

A(或).xx0

h(x)1

xx0

h(x)

xx0

h(x)1

f(x)g(x)

f (x)g1

(x)

f(x)

g(x)

h(x)1

A111

A(或),xx0

h(x)

xx0

h(x)1

f1

g1

h(x)即

f(x)g(x)

f(x)g1

(x)

A(或).xx0

h(x)

xx0

h(x)1、母中的因式可用它的简单的等价的量来替换以便化简容易计算。但替换以后要存或为无穷大。需要注意的是、中加减的项不能替换应解因式用因式替换等价量来替换。夹逼定理

mxx0

f(x)

mxx0

g(x)

A在

x 0

U(x

,)，使得对一切000x0(

,0

f(x)h(x)

g(x0

mxx0

h(x)A。定理（在。

f(x

U(x

)，0

mxx0

f(x)存

f(x

(,a)内递增（或递减）有下界（或上界），mx

f(x)存在。

x,0

函数定理以。达(LHospital)则I 设mxx0在

f(x),mxx0x 0

g(x)0；0 U(x )，当xU(x )时，0 0 0

f(xg(x都存且

g(x)0；mxx0

f(xg(x)

或

mxx0

f(x)g(x)

mxx0

f(xg(x)

A(或).

(Ll)，设（1）mxx0

f(x),mxx0

g(x)；

x 0

U(x )，当xU(x )时，0 0

f(xg(x都存

g(x)0；mxx0

f(xg(x)

或

mxx0

f(x)g(x)

mxx0

f(xg(x)

A(或).

xx 0

x,0

x,0

,

时，（作相应的修改，结论依然成立。在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。注：洛比达法则是第三章内容。、函数极限的类型

f(x)是初等函数，x 0

f()的定义域，由初等函数的连续性知mxx0

f(x)

f(x).0若

mxx0

f(x)

,mxx0

g(x)

B，则AB

AB0（

m

f(x)g(x)

, 0

AB,A,Bxx0

" " 0

A0,B0, " ", AB,

A,BB,（

mxx0

f(x)g(x),

AA0

,对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。（3）

mxx0

AB,(f(x)g(x))

AB,A、B中有一个是,另一个是,A、B异,A、B,当A

,且A、B同号时，mxx0

fxgx.这时，把

fx,gx化成分式，通分化简，化成“ 0或“，再利用洛必达法则。0 AB

A常数0,B常数,

","

ABAB0（

xx0

xgx

"0

A,B0,

AB,

AB

A

时，我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限limx0

1x1来计算，另一种方法，x化为以 e为底的指数函数，再利用洛必达法则xfx1gx

1

lim

fx1gx0.法一

fgx0

lim

10

f x1

fx1

ex0 .xx成

xx0"。0

lnfx0 1 0

x

xx0

xgx1

limxx0

eln

xgx

limxx0

egxfx

gx .两种方法，我们利用法一方（ii）当A,

0时，（iii）当A,

0时这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即xx0

f(x)g(x)(00)(0

xx0

eg(x)f(

x

g(x)f(x)(0)(0)

ex

f(x)(1 g(x)

)(.A0

或A0

时不属于未定式，因为

g(x)lnf(x)()xx0xx0

f(x)g(x)(0)f(x)g(x)(0)

xx0xx0

eg(x)f(eg(x)f(x)

exx

g(x)f()

ee

0。。求函数极限的种重要方法（1）极限的则算（ 2）（ 3）（ 4）洛必达法则。对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。1

11111x2

xarcsinx.x3

1 3解limx0

xarcsinxx3

0）=0 x0

3x

(0)0 x0

x2)26x

2(2x)

1。62求解 x0

1cos x)cosxcosxcos x cosx)

.cosxcosxcos x)0

x0

1cosx ,cosxx,cosx1x21

~2,

1cos

~ 1 xx2x

x x2 ,1cosx~ ,2 2原x0

2xx2

2。未定式，用变量替换，用洛必法则极限。3

1tanx11xx0

xx)x2

tnxnx x011sinx

xx)x

1tanx

1sinxxxln(1x)x 1tanxsinx(1cosx)1sinxcosxx0，

sinx

x21tanxx,1cosx1tanx

~

cosx

1，得原式

xx 2

1x2 (0)x0

2xx)

4x0ln(1x)x01

2x

1

x)

1。4x0

1 1x

2x0 x 2例 4

1x2

cosx .解 原式

x0 (x(x(xx2)x( 1x2 cosx)

x2x)1x

cosx，x01x2cosx由x0时，x~x, ~1x2cosx原式

1x

cos

1

1x

cos

(0)x0

2(x

x2)

2x

x2x3 01

2x

(0)

1

2cos

133.2x0

2x3x2 0

2x

26x

2 2 4例 5

x

xsinsin2x.x4

1x2解 原式x0

xxx3

xlimx0x3

(0)0

x

1cosx(3x2 0

)x

2 1.3x2 6例 6

x3x)(1

x).x1

x)n1

1x11n解法

x

nxx)nx

(0)n0 x

1，故nx3xnx原式1x3xnx

1

1

=1111.x1

1

1

1

2 3 n 解法二1

tt0

, 1 1t31t)(1n1t)t t t 1 1 t

2 3 n 1由n1t)1t)n

n(t)

n

0，得原式

t0

tn1

n!.例 7

ex0

x)xx

.2x)

2ln(1x)2e2e xx解法一原式xx0

e xe2xx0 x

1,x0

2x)x

20,知e2x2

1

2x)x

2,得e2x01

2x)xx1

2e2x0

x)x(0)x2 02e2

1x

xe2

e2

1 e2.x0 2x

x0

xx

x01x1解法二 原式

e2e

2xx

(0)

2x)e x

21

xx)例 8

(1x0 x

x0cot2

xx).

0 x0 x2解 原式(cos2

x(

sin2

x2cos2

sin2

x2cos2xx0 x2

sin2

x0

x2sin2

x0 x4由

xcos

(sin

cosx)2x0 x x0 x原式2

xcos

(0)2

cos

cos

x

2

sinx2.x0 x3 0

x

3x2

3x0 x 3例 9

x

cos(sinx)cosx.x4解 原式x0

2sinsinx2x

sinsinxx2由x时

xx2

x2

，,

xx2

sinxx2 原式

2x2

x2

1

x

sinxxx0 x4

2x0 x

x31x200

sinx

x

( )

1cos

2

1.x1x0 xx1

x0 x

0 x

3x

x03x2 6例

x

3x2x2x2

2

x).1解 原式

t1(

2 1)12t11ttx t12t11tt22 1t22 12 1t22 1

)1(11)1.2t0

2 2 4例

x1

xx).解 原式1x1

tt0

t)

tt0

limt0

t

()

1tt01t2

t0

0.例

x

ex2.x100解 原式设1

t50

( )次洛必达法则

50!0.x2 tet tet例 13

x0

x

1)x2. (sinx1)1 解法一原式 x0

x

1x

x x2elimsinxx0e

cosx1

lim

1x22 (0) 1ex0 x3

(0)

x

3x2

ex03x2

e6.sinx

cosx1x 0

lnsinxlnx0

lim

x x

xeeelimeee

cosxnx解法二

x0

()x2 0

limx0 x

(0)

x0 2

x

2x2sinxlim

xcosxnx0

cosxxnxcosxx 1

ex02

2xe1e

0

ex

6x2

x0 6x e 6.例

lim(sinxx

cosx)x.解 原式令x

1tcost)tt0

t

eln(sin2tcost)tlim

cost)

lim2cos2tsintet0lim

1x

()et0n2tco

e2.例

ln(x)x0 1 x

xlnln1解 x)(0)

e xx0例 求

x0

xsinx.

x0

x

lim

xlnx解 x0

xsinx00

ex0

ex0lnx

1x 1

x0xex0

x1e

x2

x0

e0

1.例

(ex

e2

enx)1.xx0 nx解 (exx0

e2

enxn

1)x)

1tf(xt)dt例 18

f(x

x0

f(0)

f(0)2，求0 .解 10

tf(xt)dt

uxu0x

f(u)1x

1xuf(u)dux2 0

x0 x

xuf(u)duo

(0)

xf(x)

f(x)

=1

f(x)

f(0)

1f(0)2x0

0

3x2

x0

3x0 x 3 3例

2xsinx.x3xcosx分析 因为

2x

()

cos

，所以洛必达法则不适用，宜改用其它方法。

x3xcosx 21sinx

x解 式x3

x 1cosx

230

2.3例

excosx.x

exsinx，所以不用洛必达法则 .解 式

11ex

cos

1

1.x1

1sinxex

10用求若f(x

Axk

o(xk

A0常数(x0),则f(x)~

Axk，x0

f(x)Axk

x0

Axk

o(xkAxk

x0

1o(xk))1.A xk以求当

x0时，若则x

f(x)g(x)

x

AxkBxm

,A,B,

kkm,k例 21

4x4

cosxx4

x2e 2.解 由于cos

x2e 2

x22!

x o(x4

x22

1x4

o(x4),1(14!

1)x8

0(x4)

1x4(x12

0)，所以

x

cosxx4

x2e

x

x12x4

1.12对于求

xx 时的函数极限，若用泰勒公式求极限，可令0

xx0

t，变成求

t0时的t的函数极限，再利用上述的方法去解决。利用求函数极限。例

x0

x[1].x解 11

1

1,

0x1x

x11.x xx

x由

x)

1，

x1

1.x0

x0

x0

x例

.xsinxsintdt0

"，用法则，limx

xsinxsinxdt0

sin

不存在。，用方法，解 对数?n，有

0

t

n0

2n，当

x(n

时，成立不等式

2n (

2(n.xxt0n x n由

2n

2n

,

2(n

2(n

2 2.根据夹逼定理知原式= .x

(n

n(n

x

n n 注：这里

2n(n是x的函数，是分段函数，即

f(x)

2n(n

,n

(n1).利用定义证明函数极限的存在利用函数极限定义证明函数极限与利用数列极限定义证明数列极限存在完全类似，在这里我们就不再重复了，一般情况，能不用尽量不用。除非要求用定义证，且考研出这种题的可能性较小。n1xn1x

n1xx(n1n1xx(n1x)n1(n1x)n2(n1x) 1

nN。n1xn1x证 不n1xn1x

x

1，

1

x，n1xn1n1xn1x

0，

1，由

1

x(0x

，只要x

,,0x

，有

，由定义知

x0

1。注：这里用了公式

(ab)(a

an2bbn1)an

an1bab

an1bab

bn

an

bn。至于用函数极限的单调有界定理求函数极限的可能性更小。这种题型考的可能性更大，因为这种题型更能考察考生运用无穷小量阶的比较和洛必达法则分析问题，解决问题的能力。例25xx1

7x42)a

x]b0，数 a,b.解令 t,当x

0，于是原式

[(

72)a

1]

(17t5)a 1 t0 t5 t

t t0

t5a tt0

t15a7t2t5)at

1b0，由t0

0，知分子当 t0时，是分母的同阶无穷小量，所以 t0

t15a7t5)a

0.1

0,

a1,即51 1原式

t0

7t5)51t1(7t5)5

11

t0

1(7t2t5)51t7tlimtt0

74) 。5t05例设x0

x)(axx2

bx2

2，求常数a,b.解limx0

x)x2

bx2

(0)0 x

11

(a2bx2x

2，由2x

0，知分子是分母的同阶无穷小量，得

1

a2bx

01a.x0

1 12bx

x0x 1 有a

x

1x2x

(0)0 x

x)22

2

12 ，解得b5故2

1,b5。2xx2 x27试确定常数k1

c

时,arcsin(

x)

xk。题意

x

c 1.arcsin( xarcsin( x2 xx)于arcsin(

x)=arcsinx2 xxxx2 xxx2 xxx

~xx2 xxx2 xx

(x),2x 1 1 1 2 x123x2arcsin( x2 xarcsin( x2 xx)1所以

2

x2

xk1,x cxk

x cxk

2cx 1x2x必有k

1,111f11f(x)1x

c

,2

1.2例 28已知x0 x2

c,c为常数，求常数 a和 ，使

0时，

f~

axk.解 x0 x

c，由x111f1x

0，知(x0

0,1111f(x)x111f(x)1x

f(xxf(x)

0，从而limx0 x

xx2x2( 1 f(x)x1

limx0

f(x)2x3

c(，得limx0

f(x2cx3

f(x

2cx3,

2c.例 29确定常数a,b,c的值，使

axsin

c0，x0xb

t3)dtt解 由

0,

0,

知分子分有lim

axsin

(0)

acos

acosx

c0，x0

t3) 0x dt0 t

x

x3))x

x0 x2且xx0

0,acosx0aax0

故abc1,2xx0

ln(1t3)dtt

b

ln(1t3)dt0t

（1）b0,b0，（1）

b0.xx0

ln(1t3)dtt

b

ln(1t3)dtt

0

ln(1t3)dtt

。故b0。例30设

f(xx0

f(x)

4

f(0),f(0),f(0)。x01cosx分析：这里表面上没有字母常数，实际上f(0),f(0),f(0)

就是待求的字母常数。解法一由

f(x)

f(x)

4

f(x)

2.x01cosx

x0 x22

x0 x2由x0

得x0

f(x)0

f(0f(x)在xx0

f(x)x2

0)0

f(x)2x

2。由x0

2x得x0

f(x)0

f(0f(x)在xlim

f(x)

1

f(x)

f

1f(0)2，f(0)4，

x0 2x

2x0 x 2

f(0)

f0

f(x)

2

f0，f42x 0 2 2x0

x0

f(0)

x0

f(x

f(x在x0

x0

f(x)

f(0)。解法二由limx0

f(x)x2

2，x0f(0)f(0)x0

f(0)x2!x2

x20(x2)

2由x0

0,得

x0

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