小学奥数公因数和公倍数

第三讲：公因数和公数知识点一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数被排除在约数与倍数之外。例如：的约有：1,2,3,4,6,1218的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的约数有1,2,3,6其中6是12和18的大公约数，记作12，18）=61

．求最大公约数的方法①解因法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，

，以；12②除：找出所有共有的约数，然后相乘．例如：39，以(12,18)；③转除：一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用一个余数去除前一个余数到数是0为那么最后一个除数就是所求的最大公约数果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质)．例如，求600和1515最大公约数：1515315；600315285；；30；2；以1515和600的大公约是15．2

．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公数乘以n．二、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：的倍有：12,24,36,48,60,72,84...18的倍有：18,36,54,72,90...12和18的倍数有：36,72...，中36是12和18的小公倍数，记[12，1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；1

例如：3，252

，以

；②短除法求最小公倍数；12例如：96

，所以；③[ab]

a(,)

．2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个然分除它的大约，得商质。如果为的最大公约数ABmb么a、b互质以A的小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①mbmab，两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是B、AB、及小公倍数的约数．2．两个的大约最公的积于两数乘积即(a,]，性质比较简单，学生比较容易掌握。3．对于意个续自数如三连数的偶为a奇奇那么三数乘等这个的小倍例如：5210，就567的最小公倍数b偶偶那这个的积等这个最公数2倍例如：336，,,的小公倍数为336168性质（）是个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大例题精【1】根电线分别长和16m将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余成小段最长可以是多少米？2

【巩固】求12和的最大公因数。【2】出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗206和和86和19【固说出下面各组数的最大公数。和15和【3】一个数去除30、，都能整除，这个数最大是多？【固一个数用3、4都能整除，这个数最小是多少？【4】三根铁丝，长度分别是厘米、180厘和厘现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【固加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个件，第二道工序每个工人每小时可完成个第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【固有三根钢管，它们的长度分别为240cm，200cm，，果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？3

【5】张长方形的纸，长7分米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【固把1米分米长、米厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能几块？【6】一张长毫、宽469毫的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）【固用辗转相除法判断和是互质。【7】辗转相除法求的大公约数。【固求1008、1260882四数的最大公约数是多少？【8】21672和11352的小公倍数。【9】知两个自然数的最大公约数为，小公倍数为，求这两个数．4

【固两个数的最大公约数是15，最小公倍数是，这两个数分别是多少？【固已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的是多少？【】

两个自然数的积是，最小公倍数是120这两个数各是多少？【固已知两数的最小公倍数是210，它的积是，它们的和是，求这两个数的差？【】

两个自然数的和是，它们的最大公约数是25试求这两个数．【】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲去一次，乙去一次，丙5天去一次一们三人正好图书馆相会少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？【固1路和路都从东站发车车每隔分钟发一辆车每隔15分发一辆，而5路车每隔20分发一辆这种路线的车同时发车后少过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？【固甲、乙、丙从同一起点出沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用秒，问：再多长时间三人第二次从同时从起点出发？5

【】一所学校的同学排队做操，排成行行、18行正好能成长方形。这所学校至少有多少人？【固有一批乒乓球，总数在1000个内个一袋，个一袋或个、个、个一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？【】学校六年级有若干同学排队做操，如果一行余人7人行余2人，11人行也余2人。六年级最少有多少人？【固一袋糖，平均分给个小朋友或各朋后，最后都余下。这袋糖至少有多少块？【固一个数能被3、7整除，但是被11除，个数最少是多少？【】一盒围棋子颗颗多颗颗多5颗颗颗多颗棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？【固五一班的五十多位同学去扫除，平均分成组多2人平均分组3，请你算一算，五一班有多少位同学？【固有一批水果，每箱放个则多个，每箱放35个少10个这批水果至少有多少个？【】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根线杆，原来每两根电线杆之间相距米现在要改成每两根之间相距60米除两端两根不需移动，中途还有多少根不必移动？6

【固插一排红旗共26面。原来每两面之间的