第三章导数及其应用

考点一1.(2013,8,5)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示 答案

𝑥3-(a+ x≤ ,20,14)设a∈[-2,03

𝑎+3𝑥 2

+ax,x>(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xif(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且证明x+x+x123证明(1)设函数f(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f(x)=x3- 21fx)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1<x<0111f(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数fx)在区间(-1,0]内单调递减11 ②fx)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0]0<x<1,f(x)<0;当x>1f 即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递综合①,②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1(2)由(1)知f'(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0𝑎+3)内单调递减6在区间(𝑎+3+∞)内单6因为曲线y=f(x)在点Pi(xif(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且fx1)=ffx3由3𝑥2-(a+5)=3𝑥2-(a+3)x2+a=3𝑥2- 可得3𝑥2-3𝑥2-(a+3)(x2- 解得x+x𝑎+3,从而0<x𝑎+3<x2 2g(x)=3x2-(a+3)x+a,则g(𝑎+3)<g(x2613𝑥2-1解得-√2𝑎+5<x131所以x+x+x12 t=√2𝑎+5,则a=3𝑡2-5,因为a∈[- 所以t∈[√3 故xxxt+3𝑡2+1=1(t-1)2-1≥-1,即x+x+x12

12 3.(2013,21,13分)设a>0,b>0,已知函数当x>0时,称f(x)为a、b关于x的平均数判断f(1),f(√𝑏)f(𝑏)是否成等比数列,并证明 a、b数记为G.称2𝑎𝑏为a、b均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x围解析(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-f'(x)=𝑎(𝑥+1)-(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎-𝑏 a>bfx)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,a<bfx)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,(2)(i)计算得f(1)=𝑎+𝑏>0,f(𝑏)=2𝑎𝑏 𝑎 2f(1)f(𝑏)=𝑎+𝑏·2𝑎𝑏=ab=[𝑓√𝑏)] 2 所以f(1),f(√𝑏),f(𝑏)成等比数列 因为𝑎+𝑏≥√𝑎𝑏,所以f(1)≥f(√𝑏).由①得 由(i)知f(𝑏)=H,f(√𝑏)=G.故由H≤f(x)≤G a=b 这时,x围为a>b0<𝑏<1,从而𝑏<√𝑏,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得 即x[𝑏 a<b𝑏>1,从而𝑏>√𝑏,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,得 即x[√𝑏𝑎考点二4.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ∀x∈R,答案D5.(2013课标Ⅰ,20,12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(1)求a,b(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x解析(1)fx)=ex(ax+a+b)-2x-由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故从而f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(e𝑥-2令f'(x)=0x=-ln2x=-从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f当x∈(-2,-ln2)时ff(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.x=-2函数f(xf(-2)=4(1-e-2).6.(2013,21,15a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析(1)当a=1f'(x)=6x2-12x+6,所以f又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-令f'(x)=0,得到a>1x01af+0-0+03a-a2(3-比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得 1<𝑎≤3,𝑎2(3-a),a>a<-1x01(1,--f-0+0单调递3a-单调递-28a3-g(a)=3a-综上所述f(x)在闭区间[0,2|a|3𝑎- a<-g(a)={0,1<𝑎≤𝑎2(3-a),a>考点三7.(2013课标Ⅱ,11,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.∃x0∈R,f(x0)=0x0f(x)的极值点,则f答案8.(2013,22,14函数f(x)=x-1+𝑎(a∈R,e然对数的底数若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于xa值a=1若直线l:y=kx-1曲线y=f(x)没有公共点,求k大值.解析(1)由f(x)=x-1+𝑎,得fx)=1-𝑎又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x则f'(1)=01-𝑎=0,解得a=e.e(2)f'(x)=1-𝑎①当a≤0f'(x)>0f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x②当a>0,令f'(x)=0,得ex=a,x=lnx∈(-∞,lna),f'(x)<0;x∈(lna,+∞),f所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lnaf(x)在x=lna值为f(lna)=lna,无极大值综上,当a≤0,函数f(x)无极值a>0f(xx=lna极小值lna,无极大值(3)解法一:当a=1f(x)=x-1+1g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+1,则l:y=kx-1曲线y=f(x)没等价于方程g(x)=0R假设k>1,此时g(0)=1>0,g(1)=-1+

𝑘-

e𝑘-又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在性定理,可知g(x)=0R方程g(x)=0R没有实数解”,故k≤1.k=1g(x)=1>0,知方程g(x)=0R解所以k值为解法二:当a=1f(x)=x-1+1直线l:y=kx-1曲线y=f(x等价于关于x方程kx-1=x-1+1在R实数解,即关于x方程(k-1)x=1在R数解

①当k=1,方程(*)可化为1=0,在R解②当k≠1方程(*)可化为1𝑘-g(x)=xex,则有g'(x)=0x=-当x,g'(x),g(xx(-∞,--(--0+↘-↗x=-1

=-1,同时当x于+∞时,g(xe从而g(x)的取值范围为[1e所以当1∈(1)时,方程(*𝑘- 解得k(1-e,1).综合①②,得k大值为1.9.(2013,21,12)2(2)若不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]恒成立,求实a解析(1)证明:记F(x)=sinx-√2x,则F'(x)=cosx- 当x∈(0π)时,F'(x)>0,F(x)在[0π]上是增函数 当x∈(π,1)时,F'(x)<0,F(x)在[π,1]上是减函数 F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥√2x.(32H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H'(x)=cosx-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.22

+2(x+2)cosx-2

-

22

-4

x)所以,当a≤-2不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]恒成立.(9下面证明,当a>-2不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]不恒成立因为当x∈[0,1]时2

+2(x+2)cosx-2

-

222

-22=-3x[𝑥-2(a+ 𝑎+2

所以存在x0∈(0,1)例如x0 和中的较小值满足ax0+𝑥2+0+2(x0+2)cosx0- 0即当a>-2不等式2

+2(x+2)cosx-4≤0x∈[0,1]不恒成立综上,实数a是(-∞,-2].(12解法二:记2

+2(x+2)cosx-4,则f2

+2cosx-2(x+2)sinG(x)=f'(x),则G'(x)=2+3x-4sinx-2(x+2)cos当x∈(0,1)时,cosx>1.因此G'(x)<2+3x-4·√2x-(x+2)=(2- 于是f(x)在[0,1]上是减函数,因此,当x∈(0,1)时fx)<f0)=a+2,故当a≤-2f(x)<0,f(x)在[0,1]上是减函数,所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]恒成立.(9下面证明,当a>-2,不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]不恒成立f'(x)在[0,1]上是减函数,且f0)=a+2>0,f'(1)=a+7+2cos1-6sin2当a≥6sin1-2cos1-7时f'(1)≥0,所以当x∈(0,1)时f'(x)>0.因此f(x)在[0,1]上是增函数,2当-2<a<6sin1-2cos1-7时f'(1)<0,又f'(0)>0,故存在x∈(0,1)使f'(x0,则当0<x<x 2'(x)>fx0)=0,所以f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当x∈(0,x0)时所以,当a>-2不等式2

+2(x+2)cosx≤4x∈[0,1]不恒成立综上,实数a是(-∞,-2].(12 ,21,14知函数f(x)={𝑥22x+a,x<ln𝑥,𝑥>其中a设A(x1f(x1)),B(x2f(x2))为该函数图象上的两点,且(1)函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)的图象在点A,B直,且x2<0,证明:x2-(3)若函数f(x)的图象在点A,Ba解析(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).(3)(2)由导数的几何意义可知,点A斜率为f'(x1),点B斜率为f'(x2).故当点A处的切线与点B直时,有f'(x1)f'(x2)=-1.x<0对函数f(x)求导,得f因为x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-所以因此xx1[-(2x2)+2x2]≥√[-(2𝑥+2

+22 2即x3且x1 所以,函数f(x)的图象在点A,B相垂直时,有x2-x1≥1.(7(3)当x1<x2<0x2>x1>0f'(x1)≠fx21当x1<0f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(𝑥2+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),111当x>0f(x)的图象在点(xf(x程为y-lnx1(x-x即y=1·x+lnx