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文档简介

目录2021年高考数学全国乙卷理科真题 12021年高考数学全国乙卷理科真题解析 52021年高考数学全国乙卷文科真题 132021年高考数学全国乙卷文科真题解析 172021年高考数学全国甲卷理科真题 242021年高考数学全国甲卷理科真题解析 292021年高考数学全国甲卷文科真题 382021年高考数学全国甲卷文科真题解析 432021年新高考数学I卷真题 522021年新高考数学I卷真题解析 562021年高考数学北京卷真题 672021年高考数学北京卷真题解析 712021年高考数学上海卷真题 802021年高考数学上海卷真题解析 832021年高考数学浙江卷真题 912021年高考数学浙江卷真题解析 962021年八省联考数学真题 1072021年八省联考数学真题解析 2021年1月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题 2021年1月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析 2021年1月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题 1252021年1月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析 1292021年3月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题 1352021年3月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析 1392021年3月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题 145目录 ii2021年3月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析 1502021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项:答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设2(z+z)+3(z−z)=4+6i,则z=().A12i B12i C1i D12.S{s|s2n1n∈Z}T{t|t4n1n∈Z}ST=().A:∅ B:S C:T D:Zpx∈Rsinx1;q∀x∈Re|x|⩾1,().A:p∧q B:¬p∧q C:p∧¬q D:¬(p∧q)f(x1x().1+xA:f(x−1)−1 B:f(x−1)+1 C:f(x+1)−1 D:f(x+1)+1ABCDA1B1C1D1中PB1D1的中点PBAD1().A:π2

B:π3

C:π4

D:π654个项目进行培训1个项目1名志愿者.().A:60种 B:120种 C:240种 D:480种yf(x1倍纵坐标不变π个单2 3−位长度,得到函数y=sin(x π)的图像,则f(x)=().−42A:sin(2

7π x π 7π π122121212− ) B:sin( + ) C:sin(2x− ) D:sin(2x+ )122121212(01)(12)1个数7().4A:79

B:2332

C:932

D:29魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,EHGAC上DEFG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度称为“表高”EG称为“表距”,GCEH都称为“表目距”GCEH的差称为“表目距的差”.AB=().A:表高×表距+表高 B:表高×表距−表高2021年高考数学全国乙卷理科真题 2C:表高×表距+表距 D:表高×表距−表距BA E H G C(第9题图)a̸=0,xaf(xa(xa)2(xb的极大值点().A:a<b B:a>b C:ab<a2 D:ab>a2x2 y2 , ⩽ ,设B是椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的上顶点若C上的任意一点P都满足|PB| 2b则C的离心率的取值范围是().A:

√2,1) B:2

1,1) C:2

√2 1] D:(0,]2 212.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1,则().A:a<b<c B:b<c<a C:b<a<c D:c<a<b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.

x2 2

√ , .已知双曲线C:m−y

1m0)

3x+my=0则C的焦距为 14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a−λb)⊥b,则λ= .记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b= .以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).1 1 1 2 2 2图 图 图2 2 2 2图 图(第16题图)3 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s2和s2.1 2 .(1)求x,y,s2,s2; .12s2+s2(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−x⩾2备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

1 2则认为新设218.(12分)如图P−ABCD的底面是矩形PDABCDPDDC1,MBC的中点PBAM.BC;APMB的正弦值.P19.(12分)

A B(第18题图)S{an项和b

2 1}的前n项积,已知 + =2.n n n n

Sn bn证明:{bn}是等差数列;{an}的通项公式.2021年高考数学全国乙卷理科真题 420.(12分)f(xln(axx0yxf(x的极值点.(1)求a;(2)g(x)=xf(x)证明:g(x1.xf(x)21.(12分)Cx22py(p0)FFMx2y4)214.p;PM上PA,PBC的两条切线A,B是切点△PAB面积的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.4−4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.⊙C的一个参数方程;F(41)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系坐标方程.45:不等式选讲】(10分f(x|xa||x3|.a1时f(x⩾6的解集;f(x−aa的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷(参考答案)注意事项:答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设2(z+z)+3(z−z)=4+6i,则z=().A:1−2i B:1+2i C:1+i D:1−i答案:C.zabi,zabi,2(zz3(zz)4a6bi46i,a1b1,z1i.2.S{s|s2n1n∈Z}T{t|t4n1n∈Z}ST=().A:∅ B:S C:T D:Z答案:C.解析:s=2n+1,n∈Z:当n=2k,k∈Z时,S={s|s=4k+1,k∈Z};当n=2k+1,k∈Z时,S={s|s=4k+3,k∈Z}.所以T⫋S,S∩T=T.故选C.px∈Rsinx1;q∀x∈Re|x|⩾1,().A:p∧q B:¬p∧q C:p∧¬q D:¬(p∧q)答案:A.解析:p真,q真.故选A.f(x1x().1+xA:f(x−1)−1 B:f(x−1)+1 C:f(x+1)−1 D:f(x+1)+1答案:B.− −解析:f(x)= 1+2关于(1,1)− −x+11个单位1(00)中心对称.yf(x1)1为奇函数.ABCD−ABC

中PB

的中点PBAD

D1 C1所成的角为().A:π2

1111

11 1A1B:π3 CC:π4答案:D.

D:π6A B解析:如图,∠PBC1为直线PB与AD1所成角的平面角.2021年高考数学全国乙卷理科真题解析 6△A1BC1

为正三角形,PA1C1

π中点,所以∠PBC1=6.π54个项目进行培训1个项目1名志愿者.().A:60种 B:120种 C:240种 D:480种答案:C.解析:所求分配方案数为C2A4=240.54yf(x1倍纵坐标不变π个单2 3−位长度,得到函数y=sin(x π)的图像,则f(x)=().−4A:sin(

7π x π 7π π− ) B:sin( + ) C:sin(2x− ) D:sin(2x+ )2 12答案:B.

2 12π 左移π π

12 121 π解析:逆向ysin(x

)

y=sin(x+12

横坐标变为原来的2倍))

y=sin(x+2

).故选B.124(01)(12)1个数7().44A:79答案:B.

B:2332

C:932

D:294解析:由题意记x∈(0,1),y∈(1,2),题目即求x+y>7的概率.绘图如下所示.4S阴 1×1−1AM·AN 1−1×3×3 23P

=S正ABCD

21×1

= 2 1

4= .32魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,EHGAC上DEFG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度称为“表高”EG称为“表距”,GCEH都称为“表目距”GCEH的差称为“表目距的差”.AB=().A:表高×表距+表高 B:表高×表距−表高C:表高×表距+表距 D:表高×表距−表距表目距的差

表目距的差BA E H G C(第9题图)7 答案:A.解析:DFABMABAMBM.BααM D β FααβA E H G CtantanGCEH记∠BDM=α,∠BFM=β,则MB−MB=MF−MD=DF.而tanβ=FG,tanα=tantanGCEHtantantantanFGEDEDMB−MB=MB(1−1)=MB·(GC−EHtantantantanFGEDEDMB=ED·DF=表距AB=表高表距表高.GC−EH

表目距的差a̸=0,xaf(xa(xa)2(xb的极大值点().A:a<b B:a>b C:ab<a2 D:ab>a2答案:D.解析:若a>0,其图像如图(1),此时,0<a<b;若a<0,其图像如图(2),此时,b<a<0.(1) (2)综上a2

x2 y2 , ⩽ ,设B是椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的上顶点心率的取值范围是().

若C上的任意一点P都满足|PB|

2bC的离A:

√2,1) B:2

1,1) C:2

√2 1] D:(0,]2 2答案:C.x2 y2 y2解析:由题意B(0b).P(x0y0则0+0=1⇒x2=a2(1−0).故a2 b2y2

0 b2c22 2 2

0

2 2 2 2|PB|

=x0+(y0−

=a(1−b2)+y0−2by0+b

=−b2y0−2by0+

+b,y0∈[−b,b].b3由题意y0−b时|PB|2最大−

⩽−b,b2⩾c2,a2−c2⩾c2,e=

c ⩽a 2⩽

√2,即e∈(0,2].12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1,则().A:a<b<c B:b<c<a C:b<a<c D:c<a<b2021年高考数学全国乙卷理科真题解析 8答案:B.解析:f(xln(1x√12x1,bcf(0.02).易得f′(x)=1−√2

=√1+2x−(1+x).1+x 21+2x

(1+x)1+2x√当x⩾0时,1+x= (1+x)2⩾√1+2x,故f′(x)⩽0.√f(x[0+∞上单调递减.f(0.02)f(0)0.bc.再设g(x)=2ln(1+x)−√1+4x+1,则a−c=g(0.01).易得g′(x)=2−√4

=2·√1+4x−(1+x).1+x 21+4x

(1+x)1+4x当0⩽x<2时,√1+4x⩾√1+2x+x2=1+x.所以g′(x)在[0,2)上⩾0.故g(x)在[0,2)上单调递增.所以g(0.01)>g(0)=0.故a>c.综上,a>c>b.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.

x2 2

√ , .已知双曲线C:m−y答案:4.

1m0)

3x+my=0则C的焦距为 √解析:y±bxa2m,b21,y−3x则有a mm=0(舍去),m=3.故焦距为2c=4.14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a−λb)⊥b,则λ= .答案:3.55解析:(a−λb·b0,15−25λ0,λ=.5记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b= .答案:2√2.解析:S =1acsinB=√3ac=√3,所以ac=4.△ABC 2 4 √由余弦定理,b2=a2+c2−ac=3ac−ac=2ac=8,所以b=22.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).答案:②⑤或③④.解析:由高度可知,侧视图只能为②或③.PPABC(1)

B(2)9 侧视图为②,如图(1).平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=√2,BA=BC=√5,AC=2.俯视图为⑤.俯视图为③,如图(2).PA⊥平面ABC,PA=1,AC=AB=√5,BC=2.俯视图为④.图 图 图图 图(第16题图)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s2和s2.1 2(1)求x,y,s2,s2;12判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高

( ⩾.s2+s2,y2122备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).y2122解:(1)各项所求值如下所示.1x= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,101y= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,10s2=s2=1×Σ(9.7−10.0)2+2×(9.8−10.0)2+(9.9−10.0)2+2×(10.0−10.0)2+(10.1−10.0)2+s2=1×Σ(10.0−10.3)2+3s2=1×Σ(10.0−10.3)2+3×(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+2×(10.4−10.3)2+2 102×(10.5−10.3)2+(10.6−10.3)2Σ=0.04.2021年高考数学全国乙卷理科真题解析 10(2)

(1)

.s2+

√ √ .由 中数据得y−x=0.3,.s2+s2

1 2=10

0.0076<20.0225=0.3yx18.(12分)

1 2所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.10如图P−ABCD的底面是矩形PDABCDPDDC1,MBC的中点PBAM.BC;APMB的正弦值.PA B题图 解析图解:(1)因为PD⊥平面ABCD,且矩形ABCD中,AD⊥DC.所以以A,C,P分别为x,y,z轴正方向DDxyz.设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(t,1,0),P(,0,1),所以B=(t,1,−1),→=(−t,1,0).2 2→→ t2 √ √因为PB⊥AM,所以PB·AM=−2+1=0,所以t= 2,所以BC= 2.(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z).由于P=(−√2,0,1),则m·P=−√2x+z=0m·→=−2x+y=0.令x=√2,得m=(√2,1,2).设平面PMB的一个法向量为n=(x′,y′,z′),则n·B=√2x′=0,n·B=√2x′+y′−z′=0.令y′=1,得n=(0,1,1).m·n

3 3√14

√70cos⟨mn=|m||n|=√7√219.(12分)

14.所以二面角A−PM−B的正弦值为14.S{an项和b

2 1}的前n项积,已知 + =2.n n n n

Sn bn证明:{bn}是等差数列;{an}的通项公式.解:(1)由已知2+1Sn bn

=2,则bnbn−1

=

(n⩾2).⇒bn−1+1=2⇒

+1=

⇒b−b

13= (n⩾2),b= .13bn bn

n−1

n n n−1 2 1 2

3 1}是以 为首项, 为公差的等差数列.n 2(2)由(1)b=

21 +(n−1) =

+2,则2+2=2⇒S

=+2.n1时

n 23=S1= 2

2n+

2 n+1

n+21

n n+1n2时anSnSn−1=n1

n =−n(n+1).an

3, n=1,2 1 −n(n+1),n⩾2.20.(12分)f(xln(axx0yxf(x的极值点.a;(2)g(x)=xf(x)证明:g(x1.xf(x)解:(1)[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x).x0时xf(x)]f(0)lna0,a1.(2)f(xln(1xx1.0x1时f(xln(1x0,xf(x0;x0时f(xln(1x0,xf(x0.xf(xxf(xxln(1xxln(1x0.令1−x=t(t>0且t̸=1),x=1−t,即证1−t+lnt−(1−t)lnt>0.f(t1tlnt(1tlnt则ttttf′(t)=−1+−[(−1)lnt+−t]=−1+1+lnt−1−t=lnt.ttttf(t(01)上单调递减(1+∞上单调递增f(tf(1)0得证.21.12分)Cx22py(p0)FFMx2y4)214.p;PM上PA,PBC的两条切线A,B是切点△PAB面积的最大值.

F

p2

+(y+

1

p+3=4,所以p=2.2(2)抛物线y=1x2.设A(x,y),B(x,y),P(x,y),则4 1

22 001PA2111l :y= x(x−x)+PA2111

=xx−1x2=1xx−y,2141211PB222000l y=1xxyx2−y22141211PB222000

−15.2021年高考数学全国乙卷理科真题解析 12l,l,

00P(x,P(x,yy0=1x1x0−0 000

221 1= x1 1= xx−y,即y= xx−y

:y:y

AB 0 20

20 02x2=4y .2x2=4y .

0 220 2x22x0x4y00,4x216y0.0x√20x√所以 0 2

√ 2√2 ,

|x2−4y0|.00|AB|= 1+4· 4x0−16y0= 4+x0· x0−00

dP→AB=

√x2+4S = |AB|·d = |x−4y|·x2−1 2△PAB 2 P→AB 20 △PAB2P→AB2000

=1(x2

3 1(−y2−12y− 30204y0)2=0015)2而y0∈[−5,−3].故当y0=−5时,S△PAB0204y0)2=0015)2(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.4−4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.⊙C的一个参数方程;F(41)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系坐标方程.⊙ ⊙解:(1)因为 C的圆心为(2,1),半径为1.故 C的参数方程为x=2+⊙ ⊙y=1+sinθ

(θ为参数).(2)设切线y=k(x−4)+1,即kx−y−4k+1=0.故| −− 2| −− √1+k2 =1,333即|2k|=√1+k2,4k2=1+k2,解得k=±√3.故直线方程为y=√3(x−4)+1,y=−√3(x−4)+1.333ρsinθ=√3ρcosθ−4√31ρsinθ=−√3ρcosθ+√31.3 3 3 345:不等式选讲】(10分f(x|xa||x3|.a1时f(x⩾6的解集;f(x−aa的取值范围.解:(1)a1时f(x|x1||x3||x1||x3|⩾6的解集.当x⩾1时,2x+2⩾6,得x⩾2;当−3<x<1时,4⩾6,此时没有x满足条件;当x⩽−3时,−2x−2⩾6,得x⩽−4.综上,解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).(2)f(x−a而由绝对值的几何意义xa−3距离的最小值.3xa−3之间时最小f(x|a3||a3|−a.3a⩾−3时,2a+3>0,得a>−2;a<−3时,−a−3>−a,此时a不存在.−综上,a> .−22021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学乙卷注意事项:答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时选出每小题答案后2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=().A:{5} B:{1,2} C:{3,4} D:{1,2,3,4}2.设iz=4+3i,则z=().A:−3−4i B:−3+4i C:3−4i D:3+4ipx∈Rsinx1;q∀x∈Re|x|⩾1,().A:p∧q B:¬p∧q C:p∧¬q D:¬(p∧q)f(xsinxcosx().3 3x+y⩾A:3π和√2 B:3π和2 C:6π和√2x+y⩾x,y

x−y⩽y⩽3,

则z=3x+y的最小值为().A:18 B:10 C:6 D:46.cos2π−cos25π=().12 12A:1 B:√3 C:√2 D:√32 3 2 27. 1 1A:34

)1个数,2B:23

的概率为().3C:13

D:164().| A:y=x2+2x+4 B:y=sinx+| |sinx|

C:y=2x+22−x D:y=lnx+4lnxf(x1x().1+xA:f(x−1)−1 B:f(x−1)+1 C:f(x+1)−1 D:f(x+1)+1ABCD−A1B1C1D1中PB1D1的中点PBAD1().A:π2

B:π3

C:π4

D:π62021年高考数学全国乙卷文科真题 14

x2 2 , ,

().设B是椭圆C: +5

=1PC|PB|的最大值为A:52a

B√6 C√5 D0,xaf(xa(xa)2(xb的极大值点().A:a<b B:a>b C:ab<a2 D:ab>a2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若ab,则λ= .14.

x2 y2 .双曲线 − =1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为 4 5记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b= .以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可). 1 1 1 2 2 2图 图 图2 2 2 2图 图(第16题图)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s2和s2.1 2 .(1)求x,y,s2,s2; .12s2+s2(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−x⩾2备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

1 2则认为新设215 18.(12分)如图,四棱锥P−ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.证明:PAM⊥PBD;PDDC=1,PABCD的体积.PA B(第18题图)19.(12分)

1的等比数列

nan= .a,3a,

成等差数列.n{an{bn的通项公式;SnTn{an

n n 3n项和证明

Sn< 2

1 2 320.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.C的方程;已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足Q=9F,求直线OQ斜率的最大值.2021年高考数学全国乙卷文科真题 1621.(12分)f(xx3x2ax1.f(x的单调性;yf(xyf(x的公共点的坐标.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.4−4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.⊙C的一个参数方程;F(41)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系坐标方程.45:不等式选讲】(10分f(x|xa||x3|.a1时f(x⩾6的解集;f(x−aa的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学乙卷(参考答案)注意事项:答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时选出每小题答案后2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=().A:{5} B:{1,2} C:{3,4} D:{1,2,3,4}答案:A.解析:由M={1,2},N={3,4},所以M∪N={1,2,3,4},所以∁U(M∪N)={5}.2.设iz=4+3i,则z=().A:−3−4i B:−3+4i C:3−4i D:3+4i答案:C.解析:在等式iz=4+3i两边同时乘i得−z=4i−3,所以z=3−4i.px∈Rsinx1;q∀x∈Re|x|⩾1,().A:p∧q B:¬p∧q C:p∧¬q D:¬(p∧q)答案:A.解析:由已知可得命题p为真命题,命题q为真命题,所以p∧q为真命题,故选A.f(xsinxcosx().3 3A:3π和√2 B:3π和2 C:6π和√2 D:6π和2答案:C.解析:f(xsinxcosxf(x√2sinx+πT=2π=2π6π√2.3 3 3 4 ω 13x+y⩾4,x,yxy⩽

则z=3x+y的最小值为().y⩽3,A:18 B:10C:6 D:4答案:C.解析:由约束条件可得可行域如图所示,当直线z=3x+y过点B(1,3)时,z取最小值为6,故选C.2021年高考数学全国乙卷文科真题解析 186.cos2π−cos25π=().12 12A:1 B:√32 3

√2 √3C: D:2 2答案:D. √解析:cos2πcos2πcos2πsin2πcosπ=3.12 127. 1

12 12 6 21A:34答案:B.

)1个数,2B:23

的概率为().3C:131

D:16解析:由题意可知本题是几何概型P(A4().

3−0 21 =3.2−0A:y=x2+2x+4 B:y=|sinx|+4

C:y=2x+22−x D:y=lnx+4答案:C.

|sinx|

lnx解析:由题意可知A的最小值为3,B的等号成立条件不成立,D无最小值,故选C.f(x1x().1+xA:f(x−1)−1 B:f(x−1)+1 C:f(x+1)−1 D:f(x+1)+1答案:B.− −解析:f(x)= 1+2关于(1,1)− −x+11个单位1(00)中心对称.yf(x1)1为奇函数.ABCD−A1B1C1D1中PB1D1的中点PBAD1().A:π2答案:D.

B:π3

C:π4

D:π6解析:如图,∠PBC1为直线PB与AD1所成角的平面角.D1 C1A1CA B△A1BC1

为正三角形,PA1C1

π中点,所以∠PBC1=6.π

x2 2 , ,

().设B是椭圆C: +5

=1PC|PB|的最大值为A:52答案:A.

B:√6 C:√5 D:2x2500解析:PC上P(x0y0且0+y2=1,B(01)|PB|2=x2y01)2.50019 由0+y2=1,x2=5−5y2,y0∈[−1,1],代入上式得|PB|2=5−5y2+(y0−1)2,化简得5 0 0 02

012 25|PB|

=−4(y0+4)+4,y0∈[−1,1].因此,

1 5042=−时,|PB|的最大值为.故答案选A.042a̸=0,xaf(xa(xa)2(xb的极大值点().A:a<b B:a>b C:ab<a2 D:ab>a2答案:D.解析:若a>0,其图像如图(1),此时,0<a<b;若a<0,其图像如图(2),此时,b<a<0.(1) (2)综上,a2<ab.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若ab,则λ= .答案:8.5×解析:由已知,ab,则2 4=5λ,故λ=8.×514.

x2 y2 .

4−5=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为

|3+2×0−8| √解析:由题意可知,双曲线的右焦点坐标为(3,0),由点到直线的距离公式得d= √12+22 = 5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b= .答案:2√2.解析:S =1acsinB=√3ac=√3,所以ac=4.△ABC 2 4由余弦定理,b2=a2+c2−ac=3ac−ac=2ac=8,所以b=2√2.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).答案:②⑤或③④.解析:由高度可知,侧视图只能为②或③.侧视图为②,如图(1).平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=√2,BA=BC=√5,AC=2.俯视图为⑤.俯视图为③,如图(2).PA⊥平面ABC,PA=1,AC=AB=√5,BC=2.俯视图为④.2021年高考数学全国乙卷文科真题解析 20图 图 图图 图(第16题图)PPABC(1)

B(2)三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题12分,共60分.17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s2和s2.1 2 .(1)求x,y,s2,s2; .12s2+s2(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−x⩾2备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).解:(1)各项所求值如下所示.

1 2则认为新设21x= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,101y= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,1021 s2=s2=1×Σ(9.7−10.0)2+2×(9.8−10.0)2+(9.9−10.0)2+2×(10.0−10.0)2+(10.1−10.0)2+s2=1×Σ(10.0−10.3)2+3s2=1×Σ(10.0−10.3)2+3×(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+2×(10.4−10.3)2+2 102×(10.5−10.3)2+(10.6−10.3)2Σ=0.04.(2)

(1)

.s2+

√ √ .由 中数据得y−x=0.3,.s2+s2

1 2=10

0.0076<20.0225=0.3yx18.(12分)

1 2所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.10如图,四棱锥P−ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.证明:PAM⊥PBD;PDDC=1,PABCD的体积.解:(1)因为PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PD⊥AM.因为PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PB⊂平面PBD,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD.又因为AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.(2)因为M为BC的中点,所以BM=

1AD且AB=DC=1. ①2因为AM⊥平面PBD,BD⊂平面PBD,所以AM⊥BD,则有∠BAM+∠MAD=90◦, ∠MAD+∠ADB=90◦,即∠BAM∠ADB则有△BAMADB

M=AB即BM=AB将式代入AD√2.S

AB=AD·DC=√2×1=√2,V

DA = S

DAPD=1×√2×1= 2.√√矩形ABCD19.(12分)

P−ABCD

3矩形ABCD 3 3

1的等比数列

nan= .a,3a,

成等差数列.n{an{bn的通项公式;SnTn{an

n n 3n项和证明

Sn< 2

1 2 3解:(1)设{an}的公比为q,则an=qn−1.1233ana,3a,9a成等差数列19q223qq=1233an

1n−1.3)3)

an n= ,所以bn= .3 3n(2)(1){an}

an

)n−1所以有311−3n 3 1Sn=

11−

=2(1−3n).2021年高考数学全国乙卷文科真题解析 22n又b= ,所以

1 2 = + +···+

−1+n,两边同乘1,

1+2+···+n−1+n.n

n 31 32

3n−1 3n

3得3Tn=32 33

3n 3n+1两式相减,得

2 1 1 1 1 n3Tn=3+32+33+···+3n−3n+1,即1 12 3(1−3n) n 1 1 n整理得

3Tn=

11−3

−3n+1=2(1−3n)−3n+1,3 1 n 3 2n+3Tn=4(1−3n)−2×3n=4−2×3n.故2T−

3 2n+3 1 4n+32(− )−(1− )=− 0,

Snn< .nn 20.(12分)

4 2×3n 2

2×3n 2已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.C的方程;已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足Q=9F,求直线OQ斜率的最大值.解:(1)在抛物线中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),F(,0),则Q=(x2−x1,y2−y1),F=(1−x2,−y2).因为Q=9F,所以x2−x1=9(1−x2),y2−y1=−9y1,那么x1=10x2−9,y1=10y2.2 91122525又因为点P在抛物线上,y2=4x,所以(10y)2=4(10x−9),则点Q的轨迹方程y2= x− .1122525525OQykxOQy2x−9相切时斜率最大联立直线与曲线方程此时5255255255253k2x2=2x−9k2x2−2x+9=0,相切时0,()24k2·9=0,k=±1.5255255253所以直线OQ斜率的最大值为1.321.(12分)f(xx3x2ax1.f(x的单调性;yf(xyf(x的公共点的坐标.解:(1)f(xx3x2ax1Rf′(x3x22xa.3a⩾1时f′(x0至多有一解f′(x⩾0,f(xR上单调递增;3②当a3

时,若f′(x)=0,即3x2−2x+a=0,此时方程3x2−2x+a=0有两根:12x=1−√1−3a, x123

=1+√1−3a.3f′(x)>0时,x<x1或x>x2;f′(x)<0时,x1<x<x2.f(x(−∞x1上单调递增(x1x2上单调递减(x2+∞上单调递增.综上可得a⩾时f(xR上单调递增;a<1时f(x(−∞1√13a上单调递增,在333333(1−√1−3a,1+√1−3a)上单调递减,在(1+√1−3a,+∞)上单调递增.33333323 00(2)yf(xlP(x0x3x2ax01).000000因为f′(x0)=3x2−2x0+a,所以切线l的方程为y−(x3−x2+ax0+1)=(3x2−2x0+a)(x−x0).000000l过坐标原点2x3x210,x01.ly(1a)x.00x3x2ax1(1a)xx3x2x10,x1x−1.yf(xyf(x(11a(−1−1a).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.4−4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.⊙C的一个参数方程;F(41)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系坐标方程.⊙ ⊙解:(1)因为 C的圆心为(2,1),半径为1.故 C的参数方程为x=2+⊙ ⊙y=1+sinθ

(θ为参数).(2)设切线y=k(x−4)+1,即kx−y−4k+1=0.故| −− 2| −− √1+k2 =1,333即|2k|=√1+k2,4k2=1+k2,解得k=±√3.故直线方程为y=√3(x−4)+1,y=−√3(x−4)+1.333ρsinθ=√3ρcosθ−4√31ρsinθ=−√3ρcosθ+√31.3 3 3 345:不等式选讲】(10分f(x|xa||x3|.a1时f(x⩾6的解集;f(x−aa的取值范围.解:(1)a1时f(x|x1||x3||x1||x3|⩾6的解集.当x⩾1时,2x+2⩾6,得x⩾2;当−3<x<1时,4⩾6,此时没有x满足条件;当x⩽−3时,−2x−2⩾6,得x⩽−4.综上,解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).(2)f(x−a而由绝对值的几何意义xa−3距离的最小值.3xa−3之间时最小f(x|a3||a3|−a.3a⩾−3时,2a+3>0,得a>−2;a<−3时,−a−3>−a,此时a不存在.−综上,a> .−22021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷本试卷5页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.选择题的作答:每小题选出答案后2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.答题卡上的非答题区域均无效.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.选考题的作答:2B铅笔涂黑.题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.31.M{x|0x4}N{x|3

⩽x⩽5},则M∩N=().33A:{x|0<x⩽1} B:{x|33

⩽x<4} C:{x|4⩽x<5} D:{x|0<x⩽5}2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是().0.200.140.100.040.020A:该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B:该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C:估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D:估计该地有一半以上的农户4.58.5万元之间25 3.己知(1−i)2z=3+2i,则z=().222−2−A:−1−3i B:−1+3i C:−3+i D: 3222−2−青少年视力是社会普遍关注的问题视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,LVL=5lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(010≈1.259)().A:1.5 B:1.2 C:0.8 D:0.6F1F2C的两个焦点,PC上一点,且∠F1PF2=60◦|PF1|=3|PF2|,C的离心率为().√7A:2

√13B:2

C:√7 D:√13在一个正方体中,AEFG.A−EFG后,所得多面体的三视图中正视图如图所示().正视图A: B: C: D:{an}q,nSn.设甲:q0,乙:{Sn}是递增数列,().A:甲是乙的充分条件但不是必要条件 B:甲是乙的必要条件但不是充分条件C:甲是乙的充要条件 D:甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条2020128日,8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图A,BC三点A,BC在同一水平面上的A′B′C∠A′C′B45◦∠A′B′C60◦.CB15◦BBCC100.由B点测得A点的仰角为45◦,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为(√3≈1.732)().ABCBjCjA:346 B:373 C:446 D:4732021年高考数学全国甲卷理科真题 26α∈(0,πtan2α=cosαtanα().2√√A: 1515

2−sinα√5 √5B: C:5 3

√15D:34120随机排成一行20().A:13

B:25

C:23

D:45A,BC1O的球面上的三个点AC⊥BCACBC1,OABC的体积为().√2 √3A: B:12 12

√2 √3C: D:4 4f(xRf(x1)为奇函数f(x2)为偶函数x∈[12]时f(x)=ax2b.若9f(0)f(3)6f−A: 94−

)=().2−B: 32−

C:74

D:52二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.−曲线y=2x−1在点(1,3)处的切线方程为 −x+214.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .15.

F1F2C

x2 +16 4

=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|.则四边形PF1QF2的面积为 .16.f(x)=2cos(ωxφ的部分图像如图7π 4π所示则满足条件(f(xf(4))(f(xf30的最小正整数x为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?P(K2⩾k)0P(K2⩾k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附:K2=

,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)27 18.(12分)已知数列{an的各项均为正数Sn为{ann项和从下面中选取两个作为条件证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列; ②数列{√Sn}是等差数列; ③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.19.(12分)ABCA1B1C1中AA1B1B为正方形AB=BC=2,EFACCC1的中点DA1B1上的点BF⊥A1B1.证明:BF⊥DE;B1D为何值时,BB1C1CDFE所成的二面角的正弦值最小?A1 DB1A BC20.(12分)COx轴上lx1CPQ两点OP⊥OQ.已知点M(20)⊙Ml相切.C⊙M的方程;A1A2A3C上的三个点A1A2A1A3均与⊙M相切.A2A3与⊙M的位置关系并说明理由.2021年高考数学全国甲卷理科真题 2821.(12分)xaa0a̸=1,f(x)=ax(x0).a2时f(x的单调区间;yf(xy1有且仅有两个交点a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.4−4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.C的极坐标方程化为直角坐标方程;设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足P=√2,写出P的轨迹C1的参数方程,CC1是否有公共点.4−5:不等式选讲】(10分)f(x|x2|g(x|2x3||2x1|.yf(xyg(x的图像;f(xa⩾g(xa的取值范围.y1O1x2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷(参考答案)本试卷5页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.选择题的作答:每小题选出答案后2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.答题卡上的非答题区域均无效.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.选考题的作答:2B铅笔涂黑.题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.31.M{x|0x4}N{x|3

⩽x⩽5},则M∩N=().A:{x|0<x⩽1} B:{x|

⩽x<4} C:{x|4⩽x<5} D:{x|0<x⩽5}3 3答案:B.3解析:由集合的基本定义可知,M∩N={x|1⩽x<4}.32.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是().0.200.140.100.040.020A:该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B:该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%2021年高考数学全国甲卷理科真题解析 30C:估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D:估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间.答案:C.解析:A.低于4.5万元的比率估计为0.02×1+0.04×1=0.06=6%,正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%,正确.C.平均值为(3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02)×1=7.68万元,不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.1×1+0.14×1+0.2×1+0.2×1=0.64,正确.3.己知(1−i)2z=3+2i,则z=().A:−1−3i B:−1+3i C:−3+i D: 3 i2 2 2答案:B.

−2−解析:z=3+2i=3+2i=−2+3i=−1+3i,选B.(1−i)2 −2i 2 2青少年视力是社会普遍关注的问题视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,LVL=5lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(010≈1.259)().A:1.5 B:1.2 C:0.8 D:0.6答案:C.解析:L5lgVlgV4.95−0.1,V10

−0.1=

1010≈0.8,选C.(

F1F2C的两个焦点,PC上一点,且∠F1PF2=60◦|PF1|=3|PF2|,C的离心率为√7A:2答案:A.

√13B:2

C:√7 D:√13解析:记r1=|PF1|,r2=|PF2|.由r1=3r2及r1−r2=2a得r1=3a,r2=a.√c 7121212a2又由余弦定理知r2+r2−2rr·cos∠FPF=4c2得7a2=4c2,从而e= = .选A.121212a2在一个正方体中,AEFG.A−EFG后,所得多面体的三视图中正视图如图所示().正视图A: B:答案:D.

C: D:解析:由题可得直观图,如下图.故选D.31 解析图{an}q,nSn.设甲:q0,乙:{Sn}是递增数列,().A:甲是乙的充分条件但不是必要条件 B:甲是乙的必要条件但不是充分条件C:甲是乙的充要条件 D:甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条答案:B.解析:(i)若q=1,则Sn=na1.①a1>0,则{Sn}单调递增;②a1<0,则{Sn}单调递减.所以,甲̸⇒乙.(ii)若{Sn}单调递增,则Sn+1>Sn恒成立.所以an+1>0⇒a1qn>0恒成立,所以a1>0,q>0.所以,甲⇐乙.综上所述,甲是乙的必要条件但不是充分条件2020128日,8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图A,BC三点A,BC在同一水平面上的A′B′C∠A′C′B45◦∠A′B′C60◦.CB15◦BBCC100.由B点测得A点的仰角为45◦,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为(√3≈1.732)().A ABC CBjCj C题图

BMBj解析图A:346 B:373 C:446 D:473答案:B.解析:过C作BB′的垂线交BB′于点M,过B作AA′的垂线交AA′于点N.设B′C′=CM=m,A′B′=BN=n,在△A′B′C′中,m=n ,在△CBM中,m=100,200

′′′

sin

sin45◦′

sin75◦

sin15◦n=√31≈273,A,CABα∈(0,πtan2α=cosαtanα().

约为273+100=373.2√√A: 1515

2−sinα√5 √5B: C:5 3

√15D:3答案:A.2021年高考数学全国甲卷理科真题解析 32sin2α

2sinαcos

cosα 1

√15解析:由tan2α=cos2α=1−2sin2α=2−sinα,化简得sinα=4,从而可得tanα=15.4120随机排成一行20().A:13答案:C.

B:25

C:23

D:45解析:把位置依次标为1到6.6总数:先排2个0,有C2=15种,再排4个1,有一种,故共有15种.65满足题设的排法:先排4个1,有1种,其间有5个空,选2个空插入有C2=10种.5故P=10=2.15 3A,BC1O的球面上的三个点ACBCACBC1,OABC().√2 √3A:

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