二阶非齐次线性微分方程的解法

待定系数法常数变异法幂级数法特征根法升阶法降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程待定系数法解决常系数齐次线性微分方程L解决常系数齐次线性微分方程L^］三d2x dx +a—+ax-0,dt2 1dt2(1)这里a,a是常数.12特征方程F(特征方程F(九)-九2+a九+a12-0(1.1)(1)特征根是单根的情形设仆仆…力是特征方程的(1』)的2个彼此不相等的根，则相应的方程⑴有如下2个解：eke%t (1.2)如果九a-1,2)均为实数，则az是方程⑴的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为x-ceZ+ce勺12如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设九-a+Pi是一特征根，则九-a-Pi也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程(1)有两个复值解e(a+Pi)t-eat(cosPt+isinPt),e(a-Pi)t-eat(cosPt-isinPt).

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根九二a±2,我们可求得方程⑴的两个实值解（2）特征根有重跟的情形若0特征方程的k重零根，对应于方程⑴的k个线性无关的解Lt，t2,…tk-'。若这个k重零根九/0，设特征根为仆仆…，仆其重数为ki，k2,…士吟+勺+…£=2）。方程⑴的解为e%t,te%t,•••斡-1e\t； t •••t勺t4;…;t ，…t"e\j；对于特征方程有复重根的情况，譬如假设九二a+ip是k重特征根，则氏=a-ip也是k重特征根，可以得到方程⑴的2k个实值解eatcosPt,teatcosPt,12eatcosPt,•••,tk-ieatcosPt,eatsinPt,teatsinPt,12eatsinPt，…,^-wtsinPt.dx-x=0例1求方程dt2 的通解。解特征方程“2-1=0的根为,=1,%=-1有两个实根,均是单根,故方程的通解为x=cet+ce-t,12这里，,02是任意常数。例2求解方程d2xdt2例2求解方程d2xdt2+x=0的通解。解特征方程九2+1=0的根为々=i,九2二-i有两个复根，均是单根，故方程的通解x=0sint+0cost,12这里01,02是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法(一)化为常系数1.在自变量变换下，可化为常系数的方程一类典型的方程是欧拉方程d2y dy(2)x2 +ax—+a(2)规定(0)y规定(0)y的系数是的这里a,a为常数，它的特点是丁的阶导数(12次方乘以常数.我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。根据方程x本身的特点，我们选取自变量的变换x二①⑴，并取中⑴二e，，即变换TOC\o"1-5"\h\zx=et(t=Inx) (2.1)就可以达到上述目的(这里设x>0，当x<0时，取x=-e-t，以后为确定起见,认为x>0)。事实上，因为dy dydt dy——= =e-1——dx dtdx dtd2yd dydt d2ydy (e-t)-e-2t()dx2 dt dtdx dx2 dt代入方程(2)，则原方程变为d2y dy +(a—1) +ay—o(2.2)dt2 1dt2方程(2.2)常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换(2.1)代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。d2ydy例 求方程x2而+5xd-+4y-0的通解解此方程为欧拉方程，令"一"，则由(2.2)知，原方程化为学+4dy+4y二o (2.3)dt2 dt其特征方程为入2+4X+4=0特征根为〜=九2二一2，故方程(2.3)的通解为y=(c+ct)e-2112换回原自变量X，则原方程的通解为y=(c+clnx)x-2122.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程现在考虑二阶变异系数线性方程d2y+P(X)dy+P(X)y=0 (2.4)dx2 1dx2的系数函数Pi(X),P2(X)满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换y=a(x)z(2.5)化为常系数方程。这里a(X)是待定函数。为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到a(x)z''+[2a′x+P(x)a(x)]z'+[a”(x)+P(x)a,(x)+P(x)a(x)]z=0(2.6)1 12欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取a(X)使得z'、、'及z的系数均为常数。特别地，令z’的系数为零，即2a'+P(x)a—0可求得a(X)―e-2JP(X)dX再代入(2.6)，整理之，得到z—[P(x)--P2(x)--P(x)]z=0 (2.7)4121由此可见，方程(2.4)可经线性齐次变换y=e-2JP1(X)dx・z(2.8)化为关于z的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7),且当z的系数I(x)=P(x)-1P2(x)-1P(x)2 41 21为常数时，方程(2.7)为常系数方程。因方程(2.4)在形如(2.8)的变换下，函数1(x)的值不会改变，故称1(x)为方程(2.4)的不变式。因此，当不变式1(x)为常数时，方程(2.4)可经变换(2.8)化为常系数线性齐次方程。例求方程x2v，+xy'+(x2-1)y=0例本方程 4的通解P(x)=-,P(x)=1--1—解这里1x2 4x2，因I(x)=1----—(—)2-—(--)二14x2 4x2 x2故令HiHidy=e-2Jxdx»z就可把原方程化为常系数方程z''+z=0可求得其通解为z=ccosx+csinx代回原变量y，则得原来方程的通解为cosxsinxy=clK+c2词(二)降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则是降阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具

体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。已知史x+p(t)—+q(t)x―0 x牛0dt2dt 的一个特解1，试求该方程的通解x—xJdt解作变换x xiy，则原方程可化为一阶线性微分方程1dxx—+「2x'+p(t)xy1dx求解，得1J…y—ce—Jp(t)dtx21所以原方程的通解为c+cJ-e」p(t)dtdt.1x21法二设x2是方程的任一解，则有刘维尔公式得x1x，1x2x'2—ce-x1x，1x2x'2—ce-Jp(t)dtc中0，亦即其中常数xx'—x'x—ce—Jp(t)dt.121以积分因子77

x112乘上式两端，就可推出—(x2)——e」p(t)dtdtxx211积分上式可得到x=x1c+cJ-e」p(t)dtdt.2 1x21例求方程xy”-q+y=0的通解幂级数法解由观察知方程有一特解J1(x)=x，令则y"z+Xx',y=2z一Xx”，代入方程，得幂级数法解由观察知方程有一特解J1(x)=x，令则y"z+Xx',y=2z一Xx”，代入方程，得再令z'=u，得一阶线性齐次方程x2u'+(2-x)xu=0从而可得ex exu=c—,z=cdx+c1x2 1x2 2取，=L°2=0,便得原方程的另一解V—xJexdxy-xj(Xx2 x2显然，解YJ2线性无关，故方程的通解为j=cx+cxJexdx

1 2x2d2J考虑二阶线性微分方程dx2dx 及初值00及y(xoXyo的情况可设一般性，可设x0=0，否则，我们引进新变量t=x-x0，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于x=xo的就是to=0了.因此总认为xo=0

定理若方程⑴中的系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，且收敛区间为x<R则方程(1)有形如y=£axnnn=0的特解，也以x的特解，也以x<R为级数的收敛区间.定理若方程⑴中的系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，且收敛区间为Ixl<R则方程(1)有形如y=£axnnn=0的特解，也以x的特解，也以x<R为级数的收敛区间.定理若方程⑴中的系数p(x)和q(x)具有这样的性质，即xp(x)和x2q(x)都能展成x的幂级数，且收敛区间为x<R，若a产0，则方程⑴有形如y=xa£axn(1.1)nn=0a是一个待定的常数.级数(1-1) x<R为级数的收敛区间.的特解，也以的特解，例求方程》-2q-4y=0的满足初值条件y(0)=0及y'(0)=1的解解设y=a+ax+ax2H Faxn+•・• (1.2)0 1 2 n为方程的解.利用初值条件，可以得到

a=0,a=1,

01因而y=x+ax2f Faxn+•…y'=1+2ax+3ax2h Fnaxn-1+•…23y"=2a+3・2ixh \-n(n—l)qx〃—2H—将y,y,y”的表达式代入原方程，合并x的同次幂的项，并令各项系数等于零，得到TOC\o"1-5"\h\z八 , 八 2a=0,a=1,a=0,…a= a2 3 4 nn-1n-2因而a=1,a二0,a二一a二0,a」

52!6 763!8 94!最后得a 二1，」,a二0,2k+1 k(k-1)! k!2kk成立.对一切正整数将"i=0,1,2,---)的值代回(1.2)就得到、x5 x2k+1y—x+x3+—+•••+ +•••2!kx2k+ )x2k+ )=x(1+x2+——+ +2!=xex2,这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程y”+xy'+y—0

解因为p0ax1，p1('x元4a11,所以在y0的邻域内有形如y0工axn=0幂级数解.将'0,y0,y0代入原方程，得(2a+a)+£[n(n-1)a+(n—1)a ]^n—2=0.TOC\o"1-5"\h\z2 0 n n—2n=3x的同次幂的系数，得比较2a+a=0,6a+2a=0,

20 3 1n(n-1)a+n(n-1)a=0(n>4).

n n-2解得aa 1a― —0-,a——1,a-(1)n a2 2 3 3 2n、72nn!0，(-1)naa= 1 2n+113.••••(2n+1)所以，原方程的通解为y=a0y=a0£M"+an=0£n=0(-1)nx2n+11・3・…・(2n+1)x2y=ae-x2y=ae-2+a即0:乙 x2n+1.1 1・3・…・(2n+1)n=0方程组的消元法在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例求解线性微分方程组dx.五"-5y，〈dy~r=2x—y.Idx解从第一个方程可得

(1.2)把它代入第二个方程，就得到关于的二阶方程式d2x +9x=0.dt2不难求出它的一个基本解组为x=cos31,x=sin3t,12把x1和x2分别代入(1.2)式，得出了的两个相应的解为y=-(cos31+3sin3t),y=,(sin3t-3cos31).15 25由此得到原来微分方程组的通解为(5cos3t(5cos3t)二c11cos31+3sin3t(5sin3t )21sin3t-3cos31,其中c1和c2为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法LI-d2x其中c1和c2为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法LI-d2x…dx (')”、常用于解决常系数非齐次线性微分方程LLx」=飞+aid+a2x—内),(2)这里a,a是常数，f(t)为连续函数12类型一设f(t)=(btm+btm-1+…)t+b)e环其中九及8(i=0,1,…m)为实常数，那么方程d)有形如m-1mx=kk(Btm+Btm-i+…B+-B)e入t01m-1m的特解，其中“为特征方程方（九）二°的根入的重数（单根相当于仁1;当入不是特征根时，取％=°）而B,5,…与是待定常数，可以通过比较系数来确定J0 1m •类型二WG）=[aG）cosPt+BG）sinPt]G其中a,p是常数,而A（4B（。是带实系数的的多项式，其中一个的次数为而另一个的次数不超过也那么我们有如下结论:方程（2）有形如X—tkP（r）cosPt+^OsinPt]X—tk的特解，其中人为特征方程/Q）二0的根〃+沿的重数，而p（4qQ）均为待定的带实系数的次数不高于加的'的多项式，可以通过比较系数来确定.r.?.xnd^x^dx r求万程——2——3x=3%+l撮dt 的通解解先求对应的齐次线性微分方程d2xdx -2——-3x=0力2 dt九2—2九一3=0有两个木艮九=3,九=一1的通解.这里特征方程 1J1 1 2 ,因此，通解为％=,产'+。2'一’，其中1工2为任意常数.再求非齐次线性微分方程的

一个特解.这里/Q）=3/+1,入=0,又因为九二°不是特征根，故可取特解形如x=A+5%其中A,B待定常数,为了确定a,b,将％=A+及代入原方程，得到-2B-3A-3Bt=3t+l比较系数得

-3B=3,-2B-3A=1,TOC\o"1-5"\h\z1 ~1B=—1,A=—,x=——t,由此得 3从而3因此，原方程的通解为~ 1x=ce31+ce—t—t+—.i2 3求方程的也+4dx+4x=cos22d22 d2 通解.解特征方程"十队”=0有重根,='"-2，因此,对应的齐次线性微分方程的通解为x=(c+ct)e—21,

12其中c1,c2为任意常数现求非齐次线性微分方程的一个特解因为±2i不是特征根，我们求形如x=Acos2t+Bsin22的特解，将它代入原方程并化简得到8Bcos21—8Asin21=cos21,1比较同类项系数得.，―王从而x-8sm＞因此原方程的通解为TOC\o"1-5"\h\zx=(c+ct)e—22+—sin21.

12 8方法二由方法一知对应的齐次线性的通解为x二(cJc2t)e-22.为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程d2x dx2i不是特征根，故可设特解为Usin2t,8于是原方程的通解为 +4 +4x2i不是特征根，故可设特解为Usin2t,8于是原方程的通解为d22 d2 的特解.这是属于类型一，〜i i- 1•- cx=--e2it=--cos21+—sin21, Re8 8 8分出它的实部x=(c+ct)e—22+』sin2t12 8注：对于d2xdt2dx+ad2xdt2dx+a——+ax1dt2=f(t)+g(t),可分解为Vd2x dx +a—+axdt2 1dt2=f(t)(3)d2x dx +a—+ax—dt2 1dt2g(t)(4)，并且f(t),g(t)均满足类型一或者类型二.若 的特解分别为x,x,则原方程的特解为1 2x—x+x.12这是因为d2x dx这是因为d2x dx 1+a—i+axdt2 1dt21—f(t)d2xdx 2+a—2-+ax—g(t)dt2 1dt22d2x dx~d2(x+x)d(x+x)/ +a——+ax― 1 2-+a 1 2-+a(x+x)dt2 1dt2dt2 1dt21 2dd2dd2xdx~、=( 1+a——i+ax))dt2 1dt21=f(t)+g(t),d?xdx~、 2+a——2+ax)dt2 1dt22求x''-4x'+4x—et+e21+1的通解.对应的齐次方程的特征方程为九2—4九+4—0,即得特征根为，二九2二2.(1)对应方程x"-4x'+4x—e，设其特解为x―A・et,代入方程则的A—1,即方程x"-4x'+4x—et的一个特解为x―et⑵对应方程x"-4x1+4x―e2t，设其特解为x―B22e2t,代入方程则的B=2..~1即方程x"-4x1+4x—e2t有一个特解为x—2%2e2t.

⑶对应方程x"-4x'+4x=1，设其特解为x=0，代入方程则的c-4，..~1即方程x"-4x'+4x=e2t有一个特解为x-4所以原方程的通解为x=e21(c+ct)+et+112e21+-,12 2 4这里c1，c2是任意常数.升阶的方法升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】例用升阶法求方程x''-2x'-3x=-*+1的一个特解解两边同时逐次求导，直到右边为常数，得令x'--1，则x''=x'''-0代回原方程，得-2-3x--3t+1，解之，有x-t—1，该表达式几位方程的一个特解.例用升阶法求方程x''-2x'+5x-6”近21的一个特解解先求解方程y解先求解方程y-2y'+5y-e(1+2i)t，令y-u令y-u(t)e(i+2i)t代入方程，得u''+4iu'=1，1--i4u=-1it进一步取4，则y---ite(1+2i)t=--itet(cos2t+isin2t)44——tetsin21--itetcos21,4 4

其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为1x二一—tetcos21.4常数变易法定理如果a(t),a(t),…〃(t),f(t)12是区间a<t<b上的连续函数，X1(t),X2(t),…X“⑴是区间aVt<b上齐次线性微分方程X(〃)+a(t)X(〃T)+.・・+〃(t)X=0的基本解组，那么，非齐次线性微分方程X(n)+a(t)X(nT)+・・・+〃(t)x=f(t)1的满足初值条件M)=0,Mt)=0,…。(n-D«)=0,tG[a,b]的解有下面公式给出0(t)=Zx(tj<

kk=1 t0W[x(s),0(t)=Zx(tj<

kk=1 t0W[x(s),x(s),…，x(s)]W[X(s),X(s),…,X(s)]12W[X(s),X(s),…，X(s)]这里111 2W[X(s),X(s),…，X(s)]k1 2是在>f(s)ds,X(s),X(s),…，X(s)12W[X(s),X(s),…，X(s)]12的朗斯基行列式，中的第k歹1」代以(0,0,…,0,1)t后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解沈⑴都具有形式u(t)=cX(t)+cX(t)+…+cX(t)+。(t),11 22这里I"2,…,cn是适当选取的常数.特别地，当n=2时x"+a(t)x'H Fa(t)x=0的特解为0(t)=X(tj<1t0W[X(s),X(s)][W[X1(s),X2(s)]>f(s)ds+X2(t)Lt0W2[X1(s),X2(s)]

W[XJ(s),X2(s)]

12\f(s)ds.x(s)2X,(s)2=-X2(s),W2[X1(s),X2⑸]二X(s)1X,(s)1二X1(s),因此，当n=2时，常数变易公式变为fX(t)X(s)—X(t)X(s)2 1 1 2 W[X(s),X(s)]t0 1 2f(s)ds.而通解就是X=cX(t)+cX(t)+。(t).11 22法二设Xi(t),X2①,…,X(t)是方程X(n)+%⑴X(n-1)+...+^(t)X=0的基本解组，当满足以下条件时 X=c(t)X(t)+c(t)X(t)+...+C(t)x(t)是方程I ， ii2 2 nn 刀巳yj 4王x(n)+a(t)x(n-1)+・・・+〃(t)x=f(t)1 n的通解X(t)c'(t)+X(t)c'(t)+•••+%(t)c'(t)=01 1 2 2 nnX1(t)c'(t)+X'(t)c'(t)+