2023高考数学黄金解题模板专题16-三角函数的图像和性质问题

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1【全国名校大联考2023-2023年度高三第二次联考数学（文）试题】设向量，.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的单调递减区间.【答案】(1);(2).第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负：由题意可得：第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间：所以第三步，运用三角函数的图像与性质确定其单调区间：令，求得，故函数的减区间为.再根据，可得函数的减区间为.【点评】（1）由题设，根据向量数量积的坐标运算可得函数，因此函数的最小正周期为；（2）由正函数的单调递减区间为，由（1）可令（），从而可得所求函数在区间上的单调递减区间为.【变式演练1】【福建省龙岩市2023年高三毕业班教学质量检查文科数学试题】函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】整理函数的解析式有：结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，求解不等式可得函数的单调递增区间是.本题选择B选项.【变式演练2】已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为__________．【答案】点睛：这个题目考查了三角函数的图像和性质；这种题目一般应用图像的对称性，轴对称性和点对称性，再就是单调性，由单调性就可以得到周期的大概范围，解决这类题目还要注意结合函数的图像的整体性质。类型二由的图象求其函数式使用情景：一般函数求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2【安徽省十大名校2023届高三11月联考数学（文）试题】已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（）A.B.C.D.【答案】A【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与轴的交点坐标可得其周期为，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅的大小，即得到函数的解析式；最后将图像与轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小，进而可以求解.【变式演练3】【湖南省三湘名校教育联盟2023届高三第三次联考数学（文）试题】函数的图象如图所示，则（）A．在上是增函数B．在上是增函数C．在上是増函数D．在上是增函数【答案】A【变式演练4】函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由图像可知最大值为2，所以A=2，周期，代入点得，所以函数式为考点：三角函数图像及性质【变式演练5】【山西省平遥中学2023届高三3月高考适应性调研考试数学试卷】已知函数，的部分图像如图所示，已知点，，若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，所以，移动后得，所以对称轴满足，解得，所以满足条件的一条对称轴方程为。故选A。考点：的图像【变式演练6】函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考点：三角函数的图象和性质及运用．【变式演练7】【湖南省郴州市2023届高三第二次教学质量检测文科数学试题】函数(其中，)的部分图象如图所示,将函数的图象（）可得的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】D类型三求三角函数的周期使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步利用恒等变换将其化成“、”的形式；第二步运用周期的计算公式直接计算可得所求.第三步得出结论.例3若函数fx=2sinωxω>0在0,2πA.B.C.D.【答案】A【解析】第一步，利用恒等变换将其化成“、”的形式：因为f第二步，运用周期的计算公式直接计算可得所求：由题意可知，QUOTEfx=2sinωx在0,2π第三步，得出结论：所以，所以，故选A。【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题，由题意可知，在0,2π存在两个最大值，则在图象上得到第二个最大值和第三个最大值，因为在0,2π恰有两个最大值，则得到，解得答案。【变式演练8】设函数，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（）A．B．2πC．4πD．π【答案】D【解析】考点：三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.【变式演练9】【河南省八市学评2023届高三下学期第一次测评数学】记实数种的最小数为,若函数的最小正周期为1，则的值为()A．B．1C．D．【答案】C【解析】由题意，如图所示，函数和的图象关于对称，则函数的周期为的周期的一半，若的最小正周期为，则的周期为，即，解得，故选C．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数和的图象之间的关系，得到函数与和的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．【变式演练10】【青海省西宁市2023届高三下学期复习检测一（一模）数学（理)试题】已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）已知在中，的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）单调递增区间为（）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据诱导公式及降幂公式，化简函数，利用正弦函数的单调性写出单调区间；（2）先求出A，再由余弦定理求出a，根据求面积的最大值即可.试题解析：（1）令（），解得（），所以的单调递增区间为（）.【变式演练11】已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）中，锐角满足，，，求的值.【答案】（1）的最小正周期为；单调增区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得，由可求该函数的最小正周期，由可求函数的单调递增区间；（2）由先求出角，再利用正弦定理即可求.试题解析：（1）∴函数的最小正周期为.由得：∴函数的单调增区间为（2）由题意知，，又为锐角，∴，∴，由余弦定理得，∴.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理.【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.【高考再现】1.【2023年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）】已知函数，则A．的最小正周期为π，最大值为3B．的最小正周期为π，最大值为4C．的最小正周期为，最大值为3D．的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2.【2023全国I卷理，8】已知曲线，，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D3.【2023全国=3\*ROMANIII理，3】设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为B．的图像关于直线对称C．的一个零点为D．在单调递减【答案】D【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.4.【2023年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】若f(x)=cosx-sinx在A．B．C．D．π【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a的最大值点睛：函数y=Asin(1)ymax由求减区间.5.【2023山东，文7】函数最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|),y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).=3\*GB3③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.6.【2023天津理，7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.7.【2023年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知函数的图象关于直线对称，则φ的值是________．【答案】.【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数y=Asin(ωx+φ)+B（A>0,ω>0）的性质：(1)(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8.【2023高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.【答案】8【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题时，取得最小值，继而求得的值，当时，取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.9.【2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】【解析】分析：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.详解：因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为ω>0，所以当k=0时，ω取最小值为.点睛：函数y=Acos(1)ymax(2)周期(3)由ωx+φ=kπ(k∈Z)求对称轴，最大值对应自变量满足ωx+φ=2kπ(4)由求增区间;由求减区间..10.【2023高考天津，文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．【答案】【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:=1\*GB3①的单调区间长度是半个周期;=2\*GB3②若的图像关于直线对称,则或.11.【2023山东，理16】设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以即时，取得最小值.【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.12.【2023年文北京卷】已知函数f(x)=sin（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.【答案】（Ⅰ）π.（Ⅱ）.【解析】分析：（1）将f(x)化简整理成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得f(x)在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以m的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.【反馈练习】1．函数的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2023届高三第一次模拟考试数学（文）试题【答案】C【解析】，选Ｃ．2．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】【全国市级联考】河北省邯郸市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题【答案】D【解析】【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为（）A．B．C．D．【来源】【全国市级联考】河南省六市2023届高三第一次联考（一模）数学（文）试题【答案】D【解析】因为函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，所以，选D.4．若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（）A．B．C．D．【来源】【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2023届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试数学（文）试题【答案】B5．函数（，）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【来源】2023届天津市滨海新区七所重点学校高三毕业班联考数学文科试卷【答案】B【解析】由于函数最小正周期为,所以,即.向左平移得到为奇函数,故,所以.,故为函数的对称轴,选B.6．已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【来源】2023届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考高三理科数学【答案】A7．设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（）A．B．C．D．【来源】【全国百强校首发】江西省重点中学盟校2023届高三第一次联考数学（文）试题【答案】D点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.8．已知函数（），且，当取最小值时，以下命题中假命题是（）A．函数的图象关于直线对称B．是函数的一个零点C．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到D．函数在上是增函数【来源】【全国百强校】云南省昆明一中2023届高三第一次摸底测试文数学试题【答案】C【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间9．已知函数的图象如图所示，，则____.【来源】江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2023届高三4月联考数学试题【答案】10．函数的部分图象如图所示,则__________；函数在区间上的零点为__________．【来源】【全国区级联考】北京市朝阳区2023年高三一模数学（理）试题【答案】【解析】由图得,即最小正周期又因为,且,解得，由图得时,，又因