插值、拟合与数值微积分建模案例

插值、拟合与数值微积分

—建模案例1、估计水塔的水流量2、录像机计数器的用途3、汽车刹车距离问题估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）

和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。

表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。

表1水塔中水位原始数据

分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积

每个时刻水塔中水的体积？居民的用水速的？日用水量？思考数值微分模型假设

影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；

水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；

水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度；

水塔的水流量与水泵状态独立；

水流量曲线是一条连续光滑的曲线；

表1数据是准确的；表2水塔中水的体积

（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）模型建立与求解

图1水塔中水体积的散点图

图2水塔中水流速度的散点图

图3预测水塔中未知的流速

图4样条插值得到的水流速度曲线结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大;问题分析观察计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长变慢;右轮转速(角速度)不是常数;录像带运动速度(线速度)是常数.

录像带的运动速度是常数

v

；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型假设模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以请解释?2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立思考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思考参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,

再有一组(t,n)数据即可!实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t

与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b

即可。返回

汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题

正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。

实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：

后车司机从前车经过某一标志开始默数

2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样?并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候…最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比

反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计

利用交通部门提供的一组实际数据拟合k模型最小二乘法k=0.0255（用2、3列数据）计算刹车距离、刹车时间其中s为刹车距离刹车时间计算：车速(英里/小时)(英尺/秒)实际(最大)刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）1014.7---------16.51.52029.342（44）442.253044.073.5（78）82.534058.7116（124）131.93.755073.3173（186）192.44.56088.0248（268）263.85.2570102.7343（372）346.3680117.3464（506）439.76.790132.0--------544.17.5100146.7---------659.68.2计算结果“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）101.5202.25303403.75504.5605.25706806.7车速（英里/小时）0~1010~3030~6060