第章 影响线及其应用

第十一章影响线及其应用P274§11—1概述§11—2用静力法作单跨静定梁的影响线§11—3间接荷载作用下的影响线§11—4用机动法作单跨静定梁的影响线§11—5多跨静定梁的影响线§11—6桁架的影响线§11—7利用影响线求量值§11—8铁路和公路的标准荷载制§11—9最不利荷载位置§11—10换算荷载§11—11简支梁的绝对最大弯矩§11—12简支梁的包络图§11—1概述1.问题的提出工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。例如：见图。在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。为了解决这个问题，需要研究荷载移动时反力和内力的变化规律。然而不同的反力和不同截面的内力变化规律各不相同，即使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这个复杂问题的工具就是影响线。2.最不利荷载位置某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。ABRAF工程中移动荷载常由很多间距不变的竖向荷载组成，类型多种多样，不可能逐一研究。先研究最简单的荷载，即竖向单位集中荷载F=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。1231F=1F=1F=1F=1F=1所得图形表示F=1在梁上移动时反力RA的变化规律，这一图形就称为反力RA的影响线。03/41/21/43.影响线的定义指向不变的单位集中荷载(竖直向下)沿结构移动时，表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。RA的影响线ABRAF1231F=1F=1F=1F=1F=103/41/21/4§11—2用静力法作单跨静定梁的影响线1.绘制影响线的基本方法：2.静力法：1)选定一坐标系，荷载F=1置于横坐标x处;2)据静力条件求所求量值与荷载位置x之间的函数关系S(x)，即影响线方程;

3)根据方程S(x)绘影响线。静力法和机动法。3.简支梁的影响线（1）反力影响线由∑MB=0(0≤x≤l)当x=0,RA=1x=l,RA=0RA影响线1RA影响线:RB影响线由∑MA=0RBl－Fx=0(0≤x≤l)当x=0,RB=0x=l,RB=1RB影响线1yKxRARBF=1K00⊕⊕物理意义:当F=1移动到K截面时,支座A的反力RA的大小F=1（2）弯矩影响线绘制MC的影响线当F=1在C左侧移动时,取截面C以右部分:MC=RBb=(0≤x≤a)得MC影响线的左直线。x=0,MC=0x=a,MC=ab/lb当F=1在截面C右侧移动时:取截面C以左部分:MC=RAa=(a≤x≤l)得MC影响线的右直线。x=a,MC=x=l,MC=0ab/l左直线右直线xxMC影响线aF=1x0F=1RAabCRBxF=1F=111右直线左直线xxFsC影响线b/lF=1x绘制FsC的影响线（3）剪力影响线F=1RAabCRBxF=1-当F=1在AC段上移动时,取截面C以右部分:FsC=－RB(0≤x＜a)当F=1在CB段上移动时,取截面C以左部分:FsC=RA(a＜x≤l)(右直线)(左直线)4.伸臂梁的的影响线（1）反力影响响线F=1x由平衡条件求得得RA=RB=(-l1≤x≤l+l2)11（2）跨内部分分截面内力影响线MC、FsC影响线当F=1在DC段移动时，取截面C以以右部分为隔离体有有MC=RBbFsC=－RB1当F=1在CE段移动时，取截面C以以左部分为隔离体有有MC=RAaFsC=RAab1RA影响线RB影响线MC影响线FsC影响线RARBabEDABCF=1x⊕⊖(3)伸臂部分分截面内力影响响线绘制MK、FsK影响线当F=1在DK段上移动时时KDEF=1x取K以左为隔离离体MK=－xFsK=－1dd1MK影响线FsK影响线当F=1在KE段段上移动时取K以左为隔离体体F=1MK=0FsK=0绘制FsA左影响线1FsA左影响线绘制FsA右影响线11FsA右影响线0⊖⊖⊕⊕⊖⊖§11—3间接接荷载作用下的影影响线1.间接荷载（结结点荷载）桥梁结构的纵横梁梁桥面系统中的主主梁受力简图如图所示。主梁横梁（结点）纵梁计算主梁时通常假假定纵梁简支在横横梁上，横梁简支支在主梁上。荷载载直接作用在纵梁梁上，再通过横梁传到主梁，即主主梁承受结点荷载载。这种荷载称为为间接荷载或结点荷荷载。F2.间接荷载影影响线的绘制方法法以绘制MC影响线为例F=1（1）首先，将F=1移动到各结点处。F=1其MC与直接荷载作用在主梁上完全相同同。MC影响线yDyE（2）其次，当F=1在DE间移移动时，主梁在D、E处分分别受到结点荷载及的作用。xd设直接荷载作用下MC影响线在D、E处的竖标为yD、yE，在上述两结点荷载作用下下MC值为y=（直线方程）x=0,y=yDx=d,y=yEyF=1F=1CDABEF=13.结论间接荷载作用下影影响线的绘制方法法：（1）首先作出直直接荷载作用下量量值的影响线。（2）然后取各结结点处的竖标，并并将其顶点在每一一纵梁范围内连成直线。。例题F=1RB影响线MK影响线aFsK影响线（练习）a10K练习：试绘制图示示结构ME、FsE影响线。ME影响线FsE影响线15/85/83/81/21/41/41/43/25/45/43/4§11—4用机机动法作单跨静定定梁的影响线静力法和机动法是是作影响线的两种种基本方法。1.机动法的依据据——虚位移原理刚体体系在力系作用下处于于平衡的充要条件件是：在任何微小的虚位位移中，力系所作作的虚功总和为零。2.机动法简介介作反力RA的影响线，为求反反力RA，撤掉与其相应的约束束即A处的支座，，以正向反力代替。RA原结构变成有一个个自由度的几何可变体系(机构)，给此体系微小虚位移。A虚功方程：RAA+FF=0FRA=－BA令A=1RA=－F虚位移图F便代表了RA的影响线。F=1AB1RA(x)=－F(x)虚位移图影响线F=13.机动动法由前面分析析可知，欲欲作某一反反力或内力力S的影响响线，只需将与S相应的约约束撤掉，代以所求求量值S，，并使所得得机构沿S的的正向发生生单位位移，则由此得得到的竖向向位移图即为S的影影响线。这这种方法称称为机动法。优点在于不不必经过具具体计算就就能迅速绘绘出影响线线。例：用机动动法绘MC影响线ABCabMCMCABCF=1A1Fa)()114字口诀诀:求何撤何代代以何,沿何吹气位位移1。。§11—5多跨静静定梁的影影响线1.多跨跨静定梁影影响线绘制制步骤首先分清多跨静定梁梁的基本部部分和附属属部分及其其传力关系，再利利用单跨静静定梁的已已知影响线线，多跨静静定梁的影影响线即可绘绘出。2.举例例说明首先分析几几何组成并绘层叠叠图。Kal当F=1在在CE段上上移动时MK影响线与CE段单独独作为一伸臂臂梁相同。。MK影响线当F=1在在AC段上上移动时MK=0当F=1在在EF段上上移动时RF此时CE梁梁相当于在在结点E处受到到VE的作用VE=故MK影响线在EF段为直线。a绘制MK的影响线绘制FsB左的影响线按上述步骤骤绘出FsB左影响线如图图。0VEF=1101FsB左影响线F=1xE3.结论论多跨静定梁梁反力及内内力影响线线的一般作作法如下：：（1）当F=1在量值本身身梁段上移移动时，量量值的影响响线与相应单跨跨静定梁相相同。（2）当F=1在对于量值值所在部分分来说是基基本部分的的梁段上移动时时，量值影影响线的竖竖标为零。。（3）当F=1在对于量值值所在部分分来说是附附属部分的的梁段上移移动时，量量值影响线线为直线。。此外，用机机动法绘制制多跨静定定梁的影响响线也很方方便。MC影响线83000MK影响线FsC左影响线0FsC右影响线1111.500习题RB影响线ABRB11MCCAB1abbab/lMC影响线RB影响线ABRB11MCCAB1abbab/lMC影响线RB影响线ABRB11FsC影响线FsC111b/la/l表示单位移移动荷载作作用下某指指定截面内内力变化规规律的图形称为内内力的影响响线。()课堂练习2.图示示结构ME的影响线AC、CD段纵标为。F=1ABCDEAC、CD均不为零；；B.AC、CD均为零；AC为零，CD不为零；D.AC不为零，CD为零。3.图示示结构MD的影响线在在C点处的的纵坐标值值为。F=1ADCB3m2m1m4/3m1m1、图b是是图a的_________影响线，，竖标是表示P=1作用在在_________截面时时________的数数值。4.图b是图a的的_____影响线线，竖标yD表示F=1作用在___截面面时________的的数值。F=1CABDK()()ab-yD1mMKDMK§11—6桁架的的影响线(自学)1.单跨跨静定桁架架，其支座座反力的计计算与单跨跨静定梁相同同，故二者者反力影响响线相同。。2.用用静力法法作桁架架内力影影响线，，其计算算方法与桁架内内力的计计算方法法相同，，同样分分为结点点法和截截面法，不不同的是是作用的的是F=1的的移动荷荷载，只只需求出F=1在不同同位置时时内力的的影响线线方程。。下面以简支桁桁架为例，说说明桁架内力力影响线的绘制方法。。3.作桁架架的影响线解：绘S12影响线用力矩法，作作Ⅰ-Ⅰ截面。当F=1在A－1间移动动时ⅠⅠF=1F=1AB取右部为隔离离体，由∑M5=0有有RARBRB×5d－S12h=0S12=RBS12影响线当F=1在2－B间移动动时取左部为隔离离体，F=1F=1由∑M5=0有有RA×3d－S12h=0S12=RA当F=1在节节间（1-2）内移动时，S12的影响线为一直线。§11—7利利用影响线线求量值前面学习了影影响线的绘制制方法。现在在开始研究影影响线的应用用。首先讨论论如何利用影影响线求量值值。1.集中荷荷载某量值的影响响线已绘出，，若干个荷载作作用在已知位位置。F1F2Fny1y2yn据叠加原理S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=∑FiyiS影响线RF1F2Fn若集中力作用用在影响线某某一直线范围围内，则有:S影响线S影响线y1y2ynox1x2S=F1y1+F2y2+…+Fnyn0=(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg=tg∑Fixi据合力矩定定理∑Fixi=R故有S=Rtg=RR合力R作用点处影响线的竖标合力2.分布布荷载qxabS影响线微段dx上的荷载为为qxdx，则ab区区段内分布布荷载产生生的影响量量:dxyS=均布荷载（Fs=常数）S=qS影响线abqxdxω影响线在荷载范围内面积的代数和§11—8铁铁路和公路标准准荷载制(P295,了解)公路上行驶的汽汽车、拖拉机等等类型繁多，载载运情况复杂，，设计结构时不不可能对每种情情况都进行计算算，而是以一种种统一的标准荷荷载来进行设计计。这种标准荷荷载是经过统计计分析制定出来来的，它既概括括了当前各类车车辆的情况，又又适当考虑了将将来的发展。我国公路标准荷荷载，分为计算荷载和验算算荷载。计算荷载汽车—10级汽车—20级汽车—超20级汽车—15级验算荷载履带—50挂车—100挂车—120挂车—80§11—9最最不利荷载位置置使某一量值发生生最大(或最小小)值的荷载位位置，即为最不利荷载位置置。移动荷载载作用下下的结构构，各种种量值均均随荷载载位置的的变化而变变化，设设计时必必须求出出各种量量值的最最大值（（或最小值））。为此此，要首首先确定定最不利利荷载位位置。1.一一个集中中荷载最不利荷荷载位置置直观判判断。S影响线线FSmaxFSmin2.可以任意布布置的均布荷载（（如人群、货物等等）由式S=q可知S影响线SmaxSmin3.行列荷载：：行列荷载的最不利利荷载位置难于直直观判定。但据最不利荷载位置的定义义可知，当荷载移移动到该位置时，，所求量值S最大，因而而荷载由该位置不不论向左或向右移移动到邻近位置时，S值值均将减小。因此此，下面从讨论荷荷载移动时S的增量入手手解决这个问题。。一系列间距不变的的移动集中荷载设某量值S的影响响线如图,规定以顺时针为正.xyS影响线12现有一组集中荷载载处于图示位置，R1R2Rny1y2yn所产生的影响量S1为S1=R1y1+R2y2+…+Rnyn当整个荷载组向右右移动△x时，△x△y1△x△x△y2△ynn相应的量值值为S2S2=R1(y1+△y1)+R2(y2+△y2)+…+Rn(yn+△yn)故S的增量量:△S=S2－S1=R1△y1+R2△y2+…+Rn△yn=R1△xtg1+R2△xtg2+…+Rn△xtgn=△x∑Ritgi则△S=△x∑Ritgi当△x>0(荷载右右移)∑Ritgi＜0∑Ritgi0＞0同理，S有有极小值时总之，荷载载向左、右右移动微小小距离后，，∑Ritgi变号，S才可能有有极值。△S=△x∑Ritgi＜0当S有极大值的条件:当△x<0(荷载左左移)当△x>0(荷载右右移)∑Ritgi>0∑Ritgi0<0当△x<0(荷荷载左移)△S=△x∑Ritgi>0那末，在什么情情况下∑Ritgi才可能变号？式式中tgi是各段影响线的的斜率，它是常常数，并不随荷荷载移动而变号。故引起起变号就是各段段上的合力Ri的数值发生变化，显然只有当当某一集中荷载恰恰好作用在影响响线的某一个顶点处时，才有可能。能使∑Ritgi变号的荷载称为为临界荷载，此时的荷载位置称为临界荷载位置。临界荷载位置置判别式如前。。确定临界位置一一般采用试算法。一般临界位置置可能不止一个，这就就需将与各临界界位置相应的S极值均求出，，从中选出最大（（最小）值，，相应的荷载位位置就是最不利利荷载位置。为了减小试算次次数，可事先大大致估计最不利利荷载位置，对于常用的的三角形影响线，abh临界位置判别式式可进一步简化，设临界荷荷载Fcr处于三角形影响线的的顶点，RaFcrRb临界位置判别式式为：荷载左移(Ra+Fcr)tg－Rbtg＞0荷载右移Ratg－(Fcr+Rb)tg＜0将tg=和tg=代入，得三角形影响线判判别临界位置的的公式，可以形形象理解为：把Fcr归到顶点哪一边边，哪一边的平平均荷载就大。。对于均布荷载跨跨过三角形影响线线顶点的情况，，abhRaRb可由的条件来确定临临界位置。此时有∑Ritgi=得（11—7）即左、右两边的的平均荷载相等。直角三角形影响响线上面诸式不不适用。4.例题：求图示简支梁在在汽车—10级级荷载作用下截面C的最大弯弯矩。ABC40m15m25m解：作Mc影响线159·38首先考虑车队右右行将重车后轮置于于顶点。1003070kN5070306m45415423·756·257·882·250·75按式（6—6)计算有故，这是临界位位置其他行驶位置置不必考虑。。其次再考虑车车队调头向左行驶。。将重车后轮置于影响线线顶点。有故这又是一临临界位置，其它情况也不不必考虑。据上述两种临临界位置，可可分别算出相相应的MC值。经比较得得右行时MC值大，故：MCmax=70×3.75+30×6.25+100×9.38+50×7.88+70×2.25+30××0.75=1962kN·m§11—10换算荷载载在移动荷载作作用下，求结结构上某一量量值的最大（（最小）值，，一般先通过过试算确定最最不利荷载位位置，然后求求出相应的量量值，计算较较为麻烦。在在实际工作中中，为了简化化计算，可利利用编制好的的换算荷载表。换算荷载表：：是指这样一种种均布荷载K，它产生的的某一量值，与所给移移动荷载产生的该该量值的最大值Smax相等，即K=Smax由此式可求出任何何移动荷载的等效效荷载。例题：ABC40m15m25m159·38据上题的弯矩MCmax，求汽车—10级级的换算荷载。K=MC影响线MCmaxω=196221ⅹ40ⅹ9.38=10.5kN·mω换算荷载的数值与与移动荷载及影响响线的形状有关。但对竖标成成固定比例的各影影响线，其换算荷载相等。y1y2=ny1证明如下设有两影响线的竖竖标按同一比例变化化，即y2=ny1从而可知2=n1于是有K2=长度相同、顶点位位置也相同，但最最大竖标不同的各各三角形影响线是是成固定比例的，，故用同一换算荷荷载。换算荷载表（部分分）见下页。12汽车—10级的的换算荷载（kN/m每列车车）跨径或荷载长度（m）影响线顶点位置（标准荷载）端部1/8处1/4处3/8处跨中1200·0200·0200·0200·0200·02100·0100·0100·0100·0100·0366·766·766·766·766·7450·050·050·050·050·0638·937·335·233·333·3831·330·429·227·52501026·025·424·723·622·01321·520·419·919·319·41618·918·016·917·317·02017·116·015·816·115·22514·914·214·114·313·73013·312·712·612·712·33512·511·511·411·411·1例11—4利用换算荷载表表计算在汽车——10级荷载作作用下图示简支支梁截面C的最最大（小）剪力力和弯矩。ABC20m15m5m解：1.作FsC、MC影响线153.75MC影响线110.250.75FsC影响线⊕⊕2.计算MCmaxl=20m5/20=1/4由表查得K=15·8MC影响线面积=1/2×3·75×20=37·5㎡于是MCmax=K=15·8×37·5=590·5kN··m3.计算FsCmax取正号三角形计计算，从表中查的l=4mK=50.0l=5mK=？l=6mK=38.9K=44.5FsCmax=K=44.5××1/2×5××0.25=27.8kN4.计算FsCmin（略·作为课后习题）由直线内插法求求得关于内插法的说说明···abcK1K2Kh1h2hK=K2+h1+h2h2(K1+K2)=h1+h2K1h2+K2h1§11—11简简支梁的绝对最最大弯矩1.绝对最大大弯矩：梁的各截面最大大弯矩中的最大大者，称为绝对最大弯弯矩。2.确定绝对对最大弯矩的一一般方法须解决：（1）绝对最大大弯矩发生的截截面；（2）该截面发发生最大弯矩的的荷载位置。应逐个截面计算算最大弯矩，然然后加以比较。。即使取有限个截面计算算也是较繁琐的的。当梁上作用的荷荷载是集中荷载载时，问题可以以简化。在集中荷载作用用下，弯矩图的的顶点总是在集集中荷载作用处，可以断定绝绝对最大弯矩必必定发生在某一一集中荷载作用点处截面上。。余下的问题只是是确定它发生在在哪一个荷载作作用点处及该点位置。3.集中荷荷载作用下绝对对最大弯矩的确确定方法如下：任选一集中荷载载，找出该集中中荷载作用点处处截面在什么位位置弯矩有最大大值，然后按同同样方法计算其其它荷载作用处处截面的最大弯弯矩，再加以比比较，即可求出出绝对最大弯矩矩。ABF1F2FkFn取荷载Fk,其作用点处弯矩矩：Mx=RAx－Mkl/2l/2Fkx=RA/l(l－x－a)x－MkRA=R/l(l－x－a)Fk以左荷载对Fk作用点力矩总和，是与x无关的常数。Mx有极大值时即Ra有可逐个荷荷载计算算，然后后加以比比较，便可以得得出绝对对最大弯弯矩。x=l/2－a/2即当Fk与合力R对称于于梁的中中点计算步骤骤:（1）先先找出可可能使跨跨中产生生最大弯弯矩的临临界荷载载。（2）使使上述荷荷载与梁梁上所有有荷载的的合力对对称于中中截面，，计算此此时临界界荷载所所在截面面的最大大弯矩。。（3）类类似地，，计算出出其它截截面的最最大弯矩矩并加以以比较，，其中最最大者即即为绝对对最大弯弯矩。ABF1F2FkFnl/2l/2FkxR例11—5求图示简简支梁在在汽车——10级级荷载作作用下的的绝对最最大弯矩矩，并与与跨中截截面的最最大弯矩矩比较。。ABC20m解：（1）求求MCmax10m绘MC影响线105.0MC影响线6m4m5m4m100503070显然重车后后轮位于影影响线顶点点时为最不不利荷载位位置3.02.50.5MCmax=50×3.0+100×5.0+30×2.5+70×0.5=760kN··m（2）求绝绝对最大弯弯矩设发生绝对对最大弯矩矩时有四个个荷载在梁上上，其合力