第三章 静定结构内力

3-1一般方法3-2叠加法3-3多跨静定梁(multibeam)第3章静定结构内力计算3-4静定刚架(frame)3-5静定桁架(truss)3-7组合结构(structure)3-8三铰拱(threehingedarch)3-1一般方法符号规定M：不规定正负，弯矩画在受拉一侧。FN：FQ：（1）求支反力；（2）取隔离体，列平衡方程，求控制截面内力.（3）根据内力图的变化规律，画内力图。计算步骤内力图的变化规律（a）无均布荷载的区段，FQ图为水平线、M为斜线。有---------------------，FQ图为斜直线、M为曲线。凹向与均布荷载的方向一致。（b）M图的极值点在FQ

=0处或FQ图变号处。（c）铰处无力偶作用时，M=0；

有---------------，弯矩等于力偶值。（d）集中力作用时，M图是折线；FQ图有突变，突变值等于作用力。（e）集中力偶作用时，M图有突变，突变值等于力偶值。SolutionExample

DrawtheM、FQ

、FN

curves。（1）ComputethereactionsFyB5kNFyAFxA2mA2m10kNCB（2）Analysisfreebodies,computetheinternalforcesInternalforcesatcrosssectionCL5kN5kNAC2mA2m10kN5kNCBInteractionsatsectionCR5kNCB（3）DrawtheinternalforcescurvesM图FQ图FN图★取隔离体时：

a：约束必须全部断开，用相应的约束反力来代替。

b：正确选择隔离体，标上全部荷载。1简支梁的弯矩图(Momentcurvesofsimplysupportedbeam)M2M1FPl/4FPl/4(M1+M2)/2l/2l/2M1FPM2M1M2FP弯矩叠加法(superpositonofthemomentcurves)★叠加法是数值的叠加，不是图形的拼凑。(MJK+MKJ)/2ql2/8FPqlJKMKJMJKMKJMJK叠加法作弯矩图步骤：Stepsofconstructingmomentdiagrambysuperpositonofthemomentcurves（1）求得区段两端的弯矩值，将弯矩纵坐标连成直线。（2）将区段中的荷载作用在简支梁上的弯矩图叠加。2m2m4mFP=40kNq=20kN/mABCFP=40kNCBFQCMC50kN120kNmExampleFP=40kNq=20kN/m50kN70kN+40kNm40kNm120kNm40kNm40kNmM图=（1）Computethereactions（2）Analysisfreebodies,computetheinteractions（2）叠加法作弯矩图Solution=40kNm120kNm10kNm10kNm40kNmExampleDrawthemomentdiagramofthebeam2m2m4mFP=40kNq=20kN/mABCDFyA=80kN，FyB=120kN（2）ComputetheinternalforcesofparticularcorosssectionMC=120kNm，MB=40kNm（3）ComputethemaximummomentsfortheloadsofAC,CB,BDactingonthesamespansimplysupportedbeams（1）Computethereactions+40kNm10kNm10kNm40kNm120kNmSolution3-2多跨静定梁(Multi-spanstaticsbeam)只承受竖向荷载和弯矩Onlyloadedbyverticalforcesandmoments先算附属部分，后算基本部分。FP2FP1ABCFP2FP1ABFPABC基本部分：能独立承受外载。附属部分：不能独立承受外载。■基本部分上的荷载不影响附属部分受力。■附属部分上的荷载影响基本部分受力。■作用在两部分交接处的集中力，由基本部分来承担。qqq(l-x)/2ql/2l/2xl-xABCDEIfthenExample确定x值，使支座座B处弯矩与AB跨中弯矩相相等，画弯弯矩图(DeterminexthatmakingthemomentsatsupportBandthemidpointofbeamABequalsanddrawthemomentcurve.ql2/12ql2/12ql2/12Solutionql2/12ql2/12ql2/12■弯矩最大值值降低1/3,节约材料■中间支座截截面承担弯弯矩,充分发挥了了材料性能能.ql2/8ql2/8MomentCurveExampleDrawthemomentcurve.FPl/2FPl/2SolutionABDEGl/2l/2ll/2ll/2FP0FP2FP3FP/2FP/2FP3FPl/2FPFPll/2lFPFPl0FPFPl0ExampleDrawthemomentcurve.SolutionExampleDrawthemomentcurve.FP2FPFP2FPaaaaaaFP2FPa2FPaFPaFPFP2FPa2FP2FPSolutionqll/2l/2l/2l/2l/2ll/2qlqlql/2qlqlExample7ql/45ql/4ql2/2ql2/2ql2/4ql2/4MomentcurveSolutionqlql/2qlql7ql/45ql/4qlql3ql/4ql/2ql/2FQ图ShearcurveExerices10kN20kN10kNm30kN020kN10kN/m10kN10kNm1m1m1m1m1m1m20kN010kN/m10kNm10kNm5kNmMomentcurves10kN20kN10kNm30kN020kN010kN/mShearcurve20kN10kN10kN10kNlxqFyAABFyBlxqFyA0AFyB0InclinedbeamαMFQFNFyATUαqql2/8FN图Shearcurveqql2/8ql/2ql/2Momentcurve几种斜梁荷荷载换算自重人群q1αlq2lFPFP/4FN2FQ2FPM2FPFP/4FN1FQ1M1ExampleFPFP/4FN3FQ3FPM3FN4FQ4M4FP3/4l/2FPll/2FP1234FP3/4FPFP/4l/2l/23-3静定平面3-3-1Simplysupportedframe——熟练、准确确（1）ComputethereactionsFP/2FN图AxialforcesFP/2FQ图shearFPFPaM图moment2aaaFPABCExampleFyB=FP/2FxA=FPFyA=FP/2（2）DrawinternalforcescurvesSolutionABC2FPFPl/2l/2llExampleFyC=7FP/4FyA=3FP/4FxB=2FP7FP/42FPFN图axialforces7FPa/43FPa/4FPa/2FPa/4M图moment（1）Computethereactions（2）DrawinternalforcescurvesSolution2FP3FP/4FQ图shearFP7FP/4ExampleFxC=26kNFxB=6kNFyA=8kN2m3m3m5kN/mABCD8kN2m2m（1）ComputethereactionsSolution24268FN图(kN)Axialforces(kN)268FQ图(kN)shear(kN)26652M图(kNm)Moment(kNm)521212（2）DrawinternalforcescurvesExample1m3m2m4mACDB2kN/mFxB=0FyA=12kN12kNm（1）ComputethereactionsSolution（2）Drawinternalforcescurves12FN图(kN)axialforce(kN)FQ图(kN)shear(kN)48M图(kNm)moment((kNm)12164481241612（3）校核满足FPFN图FPFQ图FPFPlFPlM图FP002lFP2l2lllExample（1）Computethereactions（3）内力图校校核自行完成Solution（2）DrawinteractioncurvesqlFN图qlqlMomentcurveql2/2ql2/2ql2/8qlql0FP=qlqll/2l/2lExampleSolutionShearcurveFN图M/2lM图M/2M/2M/2lM/2l0llllMExampleSolutionM/2lM/2lFQ图FN图FPFQ图FPFPlM图FPllFPl0FPlFPExampleSolutionqlqlFN图qlqlFQ图ql2/2M图ql2/2ExampleSolutionqa2/2qa2M图qaFQ图qaFN图qaqaa/2a/2qaExampleSolutionFN图2m/lFQ图2m/lmM图2mmlm2m/l2m/llExampleSolution4m2m4m4m2m5kN5kN/m10kNm10kNm5kN5kN/m10kNm10kNm8.75kN11.25kN5kNExampleSolution11.25-8.755FQ图(kN)FN图(kN)11.255M图(kNm)102510301053-3-2Three-hingedframe——正确求出刚片间间的相互作用力力Example（1）Computethereactionsql/2ql/2qlqlqlllACBSolution!!结构对称，荷载载对称，FN、M图对称，FQ图反对称。M图ql2/2ql2/2FN图ql/2qlqlFQ图qlql/2ql/2ExamplelllACBFPFP（1）ComputethereactionsFPFPFPFPSolution!!结构对称，荷载载反对称，FN、M图反对称，FQ图对称。FN图FPFPFPlM图FPlFPFPFPFQ图Exampleqaaaaaaqaqa2qa2qaABCDEqa2qaqaqaqa2/2qa2qaqa2qaq（1）ComputethereactionsSolutionFN图2qaqa对称FQ图qaqa反对称M图对称qa2/2qa2Exampleqlllql2/2qlqlqlABC（1）ComputethereactionsSolutionqlFQ图qlqlExampleqlllql2/2qlqlqlABCFN图qlqlqlM图ql2/2ql2（1）Computethereactions（2）Drawinteractionscurves（3）内力图校核自行完成SolutionFP/3FP/32FP/3lFP3l3lABCFP/3FQ图FPFP/3M图FPlFPlFPlFP/32FP/3FN图ExampleFP/3SolutionmmM图l1l2mABCm/l2m/l1mm/l1m/l2ExampleSolutionaaaaABEFGJCFPaa变形三铰刚架（1）Computethereactions及刚片间的约束束力取整体：FxAFyBFyC2FPFJBC2FPAEGFPFPFNEFFNGJ左部分：2FPaFPaM图（2）DrawmomentcurveSolutionExampleConsiderafreebodyofwholestructure:simplesupportedframe（1）Computethereactionsandtherestrained及刚片间的约束束力CFPABaaaaDEConsideringafreebodyofmemberCD：ConsideringafreebodyofmemberEDB：FyDFPFyCFP/2FxEFP/2FyEFxDFxAFyAFyBSolutionFP/2FP/2FN图对称FP/2FQ图反对称FPl/4M图对称FreebodyofmemberABExampleqaaaABCqFreebodyofmemberCAFyAFxBqMBMABA（1）Computethereactions及刚片间的约束束力qMAC2qaFyCFxCFreebodyofmemberCBqaqMBBSolution3qa2/23qa2/2qa2/2qa2/2qa2/2M图练习aaaaFPFPFPlllllFPllllllFP3-3-3多层多跨刚架———分清基本结构和和附属结构Example20kNm40kN4m4m4m4mM图(kNm)2080601008020kN20kN40kN20kN20kN20kNm20kN20kN20kN20kNSolutionExampleFP2d2dddddFPdFPd3FPd/2M图FPFPFP/2FP/2FPFP/2FP/23FP/23FP/2FP/2Solution15kN5kN/m4m4m2m2m2mABCDEFG10kNG10kN10kN5kN5kN15kN5kN/mABCDEF10kN5kN2040203010M图(kNm)练习qlllllq14kN/m2m2m2m2m2m2m18kN/mFPaFPFPFP2aaaaa2m2m2m2m2m2m20kNqaaaaaa2aa2aaFPFPqFPaa3-3-4练习快速画M图—结构力学基本本功aa2aaamaa3kN4m4m4m2kN/m2kNllFPFP2l2lmFP=m/2aaa2ammmaa2aqaqaaaaaFPaaFPFPaaFPFPaaaFPllllllFPlllFPql/2ql/2qmmlllFPFPlllqllllFPFPllllFPFPllllFPFPllllllllExample1设C点的竖向反力为为FyC，2ADB上只有FyA、FyB、FyC未知，完全可以求出。FyBFyCFyC/2FyC/2FyC/2FyAFP2FPFPFPFPFPFP/2FP/2FPABCEFDaaaaSolutionFN图（对称）FPFPFPFQ图（反对称）FPFPFPFPM图（对称）FPa/2FPFPa3-3-5M→FQ→FN——在下册位移法中中有重要作用∑MA=0：FQBA=0∑MB=0：FQAB=ql∑MB=0：FQCB=-ql∑MC=0：FQBC=0memberBCFQBCFQCBqlql/2M→FQ：利用单杆的平衡衡条件。弯矩矩按实际方向画画，剪力按正向向画memberABExample2qlqlqABCM图ql2/2ql2/2FQBAFQABqSolutionFQ→FN：利用结点的平衡衡条件。剪力按实际方向向画，轴力按正向画。。JointBFNBCFNBA2ql∑Fx=0：FNBC=0∑Fy=0：FNBA=-2qlFQ图qlqlFN图2ql2qlqlqABC3-5静定平面桁架架1概述Staticallydeterminatetrusses桁架：结点荷荷载下的铰接接平面直杆体体系。Sign：atensileforceispositive;acompressionforceisnegative。Typesoftrusses：2Compoundtruss:由两个简单桁桁架连成的几几何不变体系系。3Complextruss：除上述两种种桁架以外，，均为复杂桁桁架。1Simletruss：由基础或基基本三角形，，通过增加二元体得到的的桁架。2结点法(methodofjoints)特点：只有两两个平衡条件件，一次最多多能解两个轴轴力。Notes:Onlytwoequlibriumconditionsarevaliable,sowecanonlyanalyzetwounknownbarforces顺序：与去掉掉二元体的顺顺序相同（简简单桁架）。。方法：利用结结点平衡条件件求轴力。Method：Computebarforcesbyequlibriumconditionsofjoint.ExampleComputetheforcesofthetruss.Solution-FP-2FP-FPFPFPaa

a123451FPFN12FN13结点12FN24FN23结点2ZeroBars无荷载作用，，且α≠0，FN1=FN2=0;Noexternalloads,andtwobarsarenotcollinear,FN1=FN2=0;无荷载作用，，单杆为零杆杆.Noexternalloads,twocollinearbars,forceinthirdbariszero.FN2FN1α≠01单杆α≠02ZeroBars无荷载作用，，且α≠0，FN1=FN2=0无荷载作用，，单杆为零杆杆无荷载作用，，且α≠0，FN1=FN2FN3=FN4无荷载作用，，α≠0FN1=FN2FN2FN1α≠01单杆α≠02特殊结点FN3FN1FN4FN2α≠012ααFN1FN2K结点去掉零杆FPFPFPExample求桁架各杆的轴力力Example求指定杆轴力解ⅠⅠⅡⅡ1求支反力2求轴力Ⅰ-Ⅰ截面FPFN15FP/4ACⅡ-Ⅱ截面FN2FN33FP/4CBDFPFP123

a

a2aaCABD3FP/45FP/43截面法(methodofsections)方法：用截出来的部分桁架的平衡条件，求轴力。

力矩法：除所求杆外，其余各杆都相交于一点。投影法：除所求杆外，其余各杆都平行。特点：只有三个平衡方程，一次最多能求三个未知数。ⅠⅠExample求指定杆轴力FPa/4a/4a/4a/4a/4a/4a/413FP/4解1Computethereactions2求轴力t3FP/4FN1Ⅰ-Ⅰ截面Example求指定杆轴力解ⅠⅠ方法1方法2D结点FPFN1D零杆tBaFP1ACDaaaⅠ-Ⅰ截面FPFN1BCDⅠⅠExample求指定杆轴力1Computethereactions然后，可以继续求求解其它杆件的轴轴力FPFP2a3aABDCEⅠ-ⅠDE5FP/2FN1FPFPB5FP/22求轴力FN1Fx1Fy1为了避免计算力臂臂，将FN1移至B点，并分解为Fx1和Fy1FPFPFPFPFN3FN1由比例关系得Ⅲ-Ⅲ：BAFPⅡ-Ⅱ：Ⅰ-Ⅰ：ⅢⅢⅡ

ⅡⅠⅠaaaaFPFP123aaABExample求指定杆轴力解FN1FN2FN3利用三个平衡方程程，求FN1、FN2、FN3。然后，求解内外两两个三角形各杆轴轴力。Example求解由两个刚片组组成的体系取出一个三角形刚刚片Example求指定杆轴力解FP1FP2AFN2FN1FN3取出另一个三角形形刚片FP3BFN2FP1FP2FP35×dA213BFxBFPCFyBⅡ-Ⅱ:同理可求出A、C两点的约束力。进进而可求其它杆件件的内力ⅠⅠⅡⅡExample求桁架各杆内力FPFP4×dABC4×dFxBFPFPFyBAⅠ-Ⅰ:FyAFxA