曲面的切平面与法线方程

（完整版）曲面的切平面与法线方程曲面的切平面与法线方程设尺’中曲面£的方程为F（x,y,z）=0,函数13（x,y,z）在曲面£上点/=（丽，网，工口）处可微，且K=魂）河炉、代尸⑶）加X）即（乜“ y=yco&）= , , FU印第‘，过点”0任意引一条位于曲面工上的曲线r.设其方程为,且'="对应于点里0； 乜）修《）不全为零.由于曲线「在工上，则有叫电XWQ初=□及卜』 。该方程表示了曲面上任意一条过点丫口的曲线在该点的切线都与向量力艾X。）垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点工0处的切平面。点星口称为切点。向量阳M续为曲面工在点看处的一个法向量。记为次工）=（尸@），吃⑺尸依））。基本方法：1、设点"式的，而）在曲面F（x,y,z）=0上，而F（x,y,^在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F（x,y,外二0在点丫0处的切平面方程为/片）+九）+月（4）（工-/）=口法线方程为兀―第_丁_尤_【J"看）=耳区广工区）2、设点‘式两'丁山飞）在曲面z=f （x, y）上，且z=f（x, y）在点M0 （x0, y0）处存在连续偏导数，则该曲面在点xQ”了山而）处的切平面方程为-/氏心）（1-&）--孔）+"/二口过入的法线方程为"再_厂乂一F-/8J）-"飞，网）1

(完整版)曲面的切平面与法线方程注：方法2实际上是方法1中取"(工》£)一£一 一口的情形.3、若曲面£由参数方程x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)v。)处可给出，£上的点国金即与1与uv平面上的点(4,vj对应，而x(u,v),y(u,v),z(u,v)在(v。)处可7'(工一/)+' ' —几)+ (z-zj=0弧J。) 弧J。) H%,”)7-Jo次吃力冲6三、答疑解惑问题：曲面£的参数方程为x问题：曲面£的参数方程为x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,①，£上的点耳(嵇与/)与u,v平面上的点(%,v。点(%,v。)对应，怎样确定£在点入处的法向量？注释:设x(uv),y(u,v),z(u,v)在(u。， v。)处可微，考虑在£上过点*。的两条曲线。r1：x=x(ur1：x=x(u,v。)，y=y(u,v。)z=z(u，v3r2：x=x(u。,v),y=y(u。，z=z(u。它们在点X。处的切向量分别为W=a：U阳)，员口品)，以知玲))

三=(工小瑞，Hum),或％玲))当丁1"1户口时，得£在点々处的法向量为则£在点人处的法向量为（完整版）曲面的切平面与法线方程「我F幻境2冷白（%力'

©国济'd（u,v）7承认v）/四、典型例题例1求椭球面X2+2y2+3z2=6在（1,1,1）处的切平面方程与法线方程。斤=2工=4pF=解设F（x,y,z）=X2+2y2+3z2—6,由于工''八1在全平面上处处连续，在（1,1,1）处F=2不'=4尸‘三6工一— ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2,4,6）。则所求切平面方程为-1)+4Cy-1)+^(2-1)=0即x+2y+3z=6。a-1_y-\_z-\所求法线方程为2 4 6,x-1y-1z-1即丁=亍=亍.NjE=—+¥例2求曲面2平行于z=2x+2y的切平面方程。介土 力 &解设切点为4（和％'4）.曲面2，因此班⑶ ,则曲面在工（和几，4）处的法向量为国乩D.曲面在点人处的切平面方程为丽（工-工口）+2^①一凡）一^一诙）二口又切平面与已知平面z=2x+2y平行，因此西=伙=7解得切点坐标为（阳比$）二⑷,节，(完整版)曲面的切平面与法线方程所求切平面方程为2(z-2)+2(y—1)— 3)=0,即勿十/3=口。处的切平面方程和法线方例3求曲面”"山好"& 仙般卬孔”覆3s小髀钎再腔飞2硝在点琦展商处的切平面方程和法线方程.解点刷砒,第对应曲面上的点耳国，典，马)其中丽=廿£111"二口£弟？先=仃£!!!物£111^?%=以CCiS时灾以驴匚口F砒sin6t1

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一口sm轴-asmrc：口S砒cas^

acos^sin耳j£?COS铀cos%0 =0一日那兜）sin弟一口fin物sin显一口£in孙sin国附cos6^=l?sin物sin1=a2sm2砒cas^则曲面在点帛(物，耳■)处的法向量为㈠加‘孰皿国壮盘『砒仙"血’…2所求曲面在点仆处的切平面方程为a1sin c口sd（无一"in砒cos^）+asm2物sin（y-17sinsm）十1sin审巾cos&ff（z-a2cos=0,加无沏附cos晶十”m物加晶十ees的=□即走一Rsin物走一Rsin物cos^)所求的法线方程为“2”她8£%y一厘sin研）sin鼎 e-c?cos的口~她sin稣a3sin2^cos^a-tjsin^jcos^jy-ffsin^jsma-tjsin^jcos^jy-ffsin^jsmZ-lSCOS^jgin轴wingin轴win珞COS^j（完整版）曲面的切平面与法线方程例4求过直线3x~2y~z（完整版）曲面的切平面与法线方程例4求过直线3x~2y~z=5x+y+z=02xa-2^3+2z=-且与曲面 8相切之切平面方程。解过直线的平面方程可设为3x~2y-2-5+冗（芯+y+z）=0，即（"小+（兄-2）*5-1）”5=。其法向量为1升几之一1）户（"⑶=2户（"⑶=2/—旷+2f-|记 X，则尺=4工，£=—4尸，Fs=2.设所求的切平面的切点为国"而），则曲面上2屈用‘工"处的法向量为*'0‘际2）.且有fTOC\o"1-5"\h\z◎+㈤近乜兄-2）期一（工7）即7=0 ⑴*温-2诚+2zq=| ⑵Q3422-22-1 ,6 = = =£⑶4/ 一廿02 'X由（1）、（3）解得2+E 瓦-1 15瓦F，盟一丁’,代入（2）得”一4f十3=0O解得t1=1,12二3,故人1二3,人厂7.则所求切平面方程为（完整版）曲面的切平面与法线方程3x~2y~z~5+3（元+y+=0,或京-2厂r-5+八/丁+.即6x+y+2z=5或10x+5y+6z=5。证明限⑴⑴1 ⑸X导K八斗仔。（_/+2『1_J故曲面上点黑（如无'处的法向量为 工'J则过曲面上点/（和凡'4）的切平面方程为LlxoJ看