2023朝阳二模数学试卷及解析

2023年北京市朝阳二模考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．中国海军第一艘国产航母001A型航母在2023年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（）（A）（B）（C）（D）2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）（A）a＜－2（B）b＞－1（C）－a＜－b（D）a＞3．如图所示，用量角器度量AOB，可以读出AOB的度数为（）（A）45°（B）55°（C）135°（D）145°4．内角和与外角和相等的多边形是（）（A）（B）（C）（D）5．在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）（A）（B）（C）（D）6．下列图标中，是轴对称的是（）（A）（B）（C）（D）7．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，eq\o\ac(○,炮)所在位置的坐标为（-3，1），eq\o\ac(○,相)所在位置的坐标为（2，-1），那么eq\o\ac(○,帅)所在位置的坐标为（）（A）（0，1）（B）（4，0）（C）（-1，0）（D）（0，-1）8．抛物线的顶点坐标为（）（A）（3，-6）（B）（3，12）（C）（-3，-9）（D）（-3，-6）9．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，OA=，∠B=22.5°，AB的长为（）（A）2（B）4（C）（D）10．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表：、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（）（A）＞＞（B）＞＞（C）＞＞（D）＞＞二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．在函数中，自变量x的取值范围是．12．分解因式：=．13．写出一个图象经过点（1,1）的函数的表达式，所写的函数的表达式为．14．在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为45m，那么这栋楼的高度为m．15．在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如下表：交通工具所需时间（单位：min）自行车14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15公共汽车10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19下面有四个推断：①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短②骑自行车上学所需的时间比较容易预计③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车其中合理的是___________________（填序号）．16．阅读下面材料:数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l和直线l外一点A．求作：直线l的平行线，使它经过点A．小强的作法如下：如图，（1）过点A作直线m，交直线l于点B；（2）以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线m于点C；（3）在直线l上取点D（不与点B重合），连接CD；（4）作线段CD的垂直平分线n，交线段CD于点E；（5）作直线AE．所以直线AE即为所求．老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：18．已知，求代数式的值．19．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．20．如图．在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．22．调查作业：了解你所在学校学生本学期社会实践活动的情况．小明、小亮和小天三位同学在同一所学校上学．该学校共有三个年级，每个年级都有6个班，每个班的人数在30～40之间．为了了解该校学生本学期社会实践活动的情况，他们各自设计了如下调查方案：小明：我给每个班学号分别为1，2，11，12，21，22的同学各发一份问卷，一两天就可以得到结果．小亮：我把要调查的问题放在某两个班的微信群里，这样群里的大部分人就可以完成调查的问题，并很快就可以反馈给我．小天：我给每个班发一份问卷，一两天就可以得到结果了．根据以上材料回答问题：小明、小亮和小天三人中，哪一位同学的调查方案能较好地获得该校学生本学期社会实践活动的情况，并简要说明其他两位同学调查方案的不足之处．23．如图，在□ABCD中，BC=2AB,E,F分别是BC,AD的中点，AE,BF相交于点O，连接EF,OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．24．阅读下列材料：自2023年以来，朝阳区统筹推进稳增长、调结构、促改革、惠民生等各项工作，经济转型发展不断加快，全区经济实力不断迈上新台阶．2023年，朝阳区生产总值3272.2亿元．2023年，朝阳区生产总值3632.1亿元，比上年增长359.9亿元．2023年，朝阳区生产总值4030.6亿元，比上年增长398.5亿元．2023年，朝阳区生产总值4337.3亿元，比上年增长7.6%．2023年，朝阳区生产总值4640.2亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2亿元，第二产业358.0亿元，第三产业4281.0亿元．2023年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%．居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2023-2023年朝阳区生产总值表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2023年朝阳区生产总值约亿元，你的预估理由是．25．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O过D，A，B三点，OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）OD，AB相交于点E，若AB=AC，OD=r，写出求AE长的思路．26．下面是小东的探究学习过程，请补充完整：（1）探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．=1\*GB3①下表是y与x的几组对应值．x…-3-2-10…y…1m…求m的值；=2\*GB3②如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：=3\*GB3③进一步探究发现，该函数图象的最高点的坐标是（0，1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：；（2）小东在（1）的基础上继续探究：他将函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到函数的图象，请写出函数的一条性质：．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+2（m≠0）与y轴的交于点，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．28．在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．（1）如图1，若∠ABC=30°，求∠CAD的度数为_______．（2）已知AC=1，BC=3．①依题意将图2补全；②求CD的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成求CD长的几种想法：想法1：延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE．要求CD的长，需证明△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形．想法2：过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G．要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形．……请你参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）．（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．图1图229．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤，则称P为⊙O的“近外点”．（1）当⊙O的半径为2时，点A（4,0），B（，0），C（0,3），D（1，-1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3,4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．2023年北京市朝阳二模考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．中国海军第一艘国产航母001A型航母在2023年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】难度：★考点：科学记数法.难度易．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）（A）a＜－2（B）b＞－1（C）－a＜－b（D）a＞【答案】B【解析】难度：★考点：数轴，绝对值，比较大小.难度易．3．如图所示，用量角器度量AOB，可以读出AOB的度数为（）（A）45°（B）55°（C）135°（D）145°【答案】C【解析】难度：★考点：量角器的使用.难度易．4．内角和与外角和相等的多边形是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】难度：★考点：多边形内角和与外角和.难度易．5．在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】难度：★考点：概率.难度易．6．下列图标中，是轴对称的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】难度：★考点：轴对称图形.难度易．7．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，eq\o\ac(○,炮)所在位置的坐标为（-3，1），eq\o\ac(○,相)所在位置的坐标为（2，-1），那么eq\o\ac(○,帅)所在位置的坐标为（）（A）（0，1）（B）（4，0）（C）（-1，0）（D）（0，-1）【答案】D【解析】难度：★考点：直角坐标系的坐标.难度易．8．抛物线的顶点坐标为（）（A）（3，-6）（B）（3，12）（C）（-3，-9）（D）（-3，-6）【答案】A【解析】难度：★考点：二次函数的顶点坐标求法：公式法或配方法.难度易．9．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，OA=，∠B=22.5°，AB的长为（）（A）2（B）4（C）（D）【答案】B【解析】难度：★考点：①同弧所对圆周角是圆心角的一半②垂径定理③勾股定理.难度易．10．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表：、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（）（A）＞＞（B）＞＞（C）＞＞（D）＞＞【答案】D【解析】难度：★★考点：数据分析方差的计算，方差越小越稳定.难度中等．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．在函数中，自变量x的取值范围是．【答案】【解析】难度★考点：二次根式的意义，，12．分解因式：=．【答案】【解析】难度★考点：因式分解：提取公因式和平方差公式13．写出一个图象经过点（1,1）的函数的表达式，所写的函数的表达式为．【答案】答案不唯一（例如或等）【解析】难度★考点：过一点的函数解析式，难度易14．在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为45m，那么这栋楼的高度为m．【答案】18【解析】难度★考点：三角形相似的简单应用，难度易15．在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如下表：交通工具所需时间（单位：min）自行车14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15公共汽车10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19下面有四个推断：①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短②骑自行车上学所需的时间比较容易预计③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车其中合理的是___________________（填序号）．【答案】①②③【解析】难度★★考点：简单数据分析：平均数，众数等16．阅读下面材料:数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l和直线l外一点A．求作：直线l的平行线，使它经过点A．小强的作法如下：如图，（1）过点A作直线m，交直线l于点B；（2）以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线m于点C；（3）在直线l上取点D（不与点B重合），连接CD；（4）作线段CD的垂直平分线n，交线段CD于点E；（5）作直线AE．所以直线AE即为所求．老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是．【答案】①同圆半径相等；②线段垂直平分线定义；③三角形中位线平行于第三条边。【解析】难度★考点：尺规作图，难度中等。三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：°【答案】原式【解析】难度★考点：本题考查了实数、特殊角的三角函数值、负指数幂的运算，综合考查了实数的混合运算，解决此类问题的关键是熟练记住特殊角的三角函数值，掌握实数的运算。难度易。18．已知，求代数式的值．【答案】原式代入上式，原式=1【解析】难度★考点：本题考查平方差公式与分式化简的混合运算；整体代入的思想。难度易。19．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】解：2x-1＜9-3x2x+3x＜9+15x＜10x＜2【解析】难度：★考点：一元一次不等式的解法20．如图．在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】证明：∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD∵AB∥CE∴∠B=∠DCE在△ABD与△ECD中，∴△ABD≌△ECD（ASA）∴AB=CE【解析】难度：★考点：等腰三角形三线合一；全等三角形的判定与性质.21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根∴△==20-8m＞0∴m＜.（2）∵m为正整数且m＜.∴m=1或2∴当m=1时，解得：，（舍）当m=2时，解得，综上，m的值为2.【解析】难度：★考点：一元二次方程根的判别式和求根公式22．调查作业：了解你所在学校学生本学期社会实践活动的情况．小明、小亮和小天三位同学在同一所学校上学．该学校共有三个年级，每个年级都有6个班，每个班的人数在30～40之间．为了了解该校学生本学期社会实践活动的情况，他们各自设计了如下调查方案：小明：我给每个班学号分别为1，2，11，12，21，22的同学各发一份问卷，一两天就可以得到结果．小亮：我把要调查的问题放在某两个班的微信群里，这样群里的大部分人就可以完成调查的问题，并很快就可以反馈给我．小天：我给每个班发一份问卷，一两天就可以得到结果了．根据以上材料回答问题：小明、小亮和小天三人中，哪一位同学的调查方案能较好地获得该校学生本学期社会实践活动的情况，并简要说明其他两位同学调查方案的不足之处．【答案】小明能较好的获得该校学生的本学期社会实践活动的情况.小亮只在两个班微信群里发放调查问卷，不具有代表性，不能很好的反映每个班情况.小天给每个班发一份问卷，调查人数太少，不能很好反映该校学生社会实践情况.【解析】难度：★考点：抽样调查.23．如图，在□ABCD中，BC=2AB,E,F分别是BC,AD的中点，AE,BF相交于点O，连接EF,OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．【答案】证明：∵ABCD为平行四边形∴AD∥BC,且AD=BC.∵E,F分别为BC,AD的中点∴AF=eq\f(1,2)AD=eq\f(1,2)BC=BE.∴AF∥BE且AF=BE∴ABEF为平行四边形又∵BC=2AB∴AB=BE∴ABEF为菱形作OH⊥BC于点H∵ABEF为菱形∴AE⊥BF，∠1=∠2∵∠ABC=60°∴∠2=30°∵BC=8∴BE=CE=BC=4∴OE=2∵∠OEB=90°-∠2=60°∴HE=OE=1，OH=3∴CH=EH+CE=5∴在Rt△OHC中，OC=【解析】难度：★★考点：菱形的判定与性质勾股定理.24．阅读下列材料：自2023年以来，朝阳区统筹推进稳增长、调结构、促改革、惠民生等各项工作，经济转型发展不断加快，全区经济实力不断迈上新台阶．2023年，朝阳区生产总值3272.2亿元．2023年，朝阳区生产总值3632.1亿元，比上年增长359.9亿元．2023年，朝阳区生产总值4030.6亿元，比上年增长398.5亿元．2023年，朝阳区生产总值4337.3亿元，比上年增长7.6%．2023年，朝阳区生产总值4640.2亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2亿元，第二产业358.0亿元，第三产业4281.0亿元．2023年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%．居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2023-2023年朝阳区生产总值表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2023年朝阳区生产总值约亿元，你的预估理由是．【答案】证明见解析【解析】难度★考点：=1\*GB3①画折线统计图=2\*GB3②估值（1）2023-2023年朝阳区生产总值折线统计图（2）5242.0，理由：增长趋势变缓．（答案不唯一）25．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O过D，A，B三点，OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）OD，AB相交于点E，若AB=AC，OD=r，写出求AE长的思路．【答案】证明见解析【解析】难度★★考点：（1）考查同弧所对的圆周角是圆心角的一半；切线定理（2）考查锐角三角函数（1）证明：连接OB，∵eq

\o(\s\up4(⌒),\s\do1(BD))=eq

\o(\s\up4(⌒),\s\do1(BD))，∠A=45°，∴∠BOD=2∠A=90°∴OD⊥OB∵OD∥BC∴OB⊥BC∵OB为半径∴直线BC是⊙O切线（2）a：由∠A=45°，AB=AC，可求得∠ABC，由（1）得OB⊥BC，可求得∠OBEb：在Rt△OBE中，OB=OD=r，利用锐角三角函数可求得BEc：过O点作OF⊥AB，利用垂径定理，可得AB=2BF，在Rt△BOF中，利用锐角三角函数可求得BF，从而求得ABd：AE=AB-BE26．下面是小东的探究学习过程，请补充完整：（1）探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．=1\*GB3①下表是y与x的几组对应值．x…-3-2-10…y…1m…求m的值；=2\*GB3②如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：=3\*GB3③进一步探究发现，该函数图象的最高点的坐标是（0，1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：；（2）小东在（1）的基础上继续探究：他将函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到函数的图象，请写出函数的一条性质：．【答案】证明见解析【解析】难度★（1）=1\*GB3①m=；=2\*GB3②=3\*GB3③当x<0时，y随x的增大而增大．（2）该函数最高点的坐标为（1,2）（或当x<1时，y随x的增大而增大）．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+2（m≠0）与y轴的交于点，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）B（1，0）；（2）m＞2或m≤【解析】解：（1）由题意，当x=0时，y=2.∴A(0,2)∵y=mx2-2mx+2=m(x-1)2+2-m，∴对称轴为直线x=1.∴B(1,0)（2）由题意，点C，D在x轴上，且与点B距离都为2，点C在点D的左侧∴C(-1,0)，D(3,0)∵y=mx2-2mx+2=m(x-1)2+2-m，∴抛物线顶点坐标为（1，-m+2）①当m＞0时，抛物线开口向上，如图所示，抛物线对称轴为x=1且过A(0，2)，（2，2）两点∴只需满足顶点（1，-m+2）在x轴的下方-m+2＜0∴m＞2②当m＜0时，抛物线开口向下，如图所示把C(-1,0)代入y=mx2-2mx+2可得m=根据a的绝对值越大抛物线开口越小可得，若抛物线与线段CD有两个公共点只需满足，开口越来越小即可，此时m≤综上所述，m＞2或m≤难度：★★考点：①二次函数交点坐标的求解方法；②抛物线对称性；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,系数a与图象开口之间的关系；④抛物线与线段交点情况的动态探究.28．在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．（1）如图1，若∠ABC=30°，求∠CAD的度数为_______．（2）已知AC=1，BC=3．①依题意将图2补全；②求CD的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成求CD长的几种想法：想法1：延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE．要求CD的长，需证明△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形．想法2：过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G．要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形．……请你参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）．（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．图1图2【答案】（1）105°；（2）①补全图形；②；（3）AC+BC=CD【解析】（1）105°（2）①补全图形，如图所示②想法1：如图，∵∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CAD+∠CBD=180°又∵∠DBE+∠CBD=180°∴∠CAD=∠DBE在等腰直角△ABD中，DA=DB由辅助线作法可知，AC=BE在△DAC和△DBE中DA=DB∠CAD=∠EBDAC=BE∴△DA